Tích phân hàm số hữu tỷ
Trong bài viết hôm nay hãy cùng tìm hiểu phương pháp tính tích phân hàm số hữu tỷ cùng Examon nhé!
Mục lục bài viết
Trong chương trình toán lớp 12, Tích phân nói chung và tính tích phân hàm số hữu tỷ nói riêng là những phần bài học tương đối khó nhằn với các em học sinh, vì chưa nắm vững khiến thức cũng như chưa nắm được các công thức và phương pháp tính tích phân hàm số hữu tỷ. Hiểu được vấn đề đó, trong bài viết hôm nay Examon sẽ giúp các bạn tìm hiểu phương pháp tính tích phân hàm số hữu tỷ đơn giản và một số bài tập mẫu để các bạn dễ hình dung và dễ dàng áp dụng giả các bài tập tích phân liên quan.

1. Phương pháp tính.
• Tính \(I=\int_{a}^{b} \frac{P(x)}{Q(x)} d x\) ? với \(P(x)\) và \(Q(x)\) là các đa thức không chứa căn.
• Nếu bậc của tử \(P(x) \geq\) bậc mẫu \(Q(x) \xrightarrow{P P}\) chia đa thức.
• Nếu bậc của tử \(P(x)\lt\) bậc mẫu \(Q(x)\) mà mẫu số phân tích được thành tích số \(\xrightarrow{P P}\) đồng nhất thức để đưa thành tống của các phân số.
- Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp:
• \(\frac{1}{(a x+m)(b x+n)}\)\(=\frac{1}{a n-b m}\left(\frac{a}{a x+m}-\frac{b}{b x+n}\right)\)
\(\frac{m x+n}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}\)
\(=\frac{(A+B) x-(A b+B a)}{(x-a)(x-b)} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}A+B=m \\ A b+B a=-n\end{array}\right.\).
• \(\frac{1}{(x-m)\left(a x^{2}+b x+c\right)}\)\(=\frac{A}{x-m}+\frac{B x+C}{\left(a x^{2}+b x+c\right)}\)
với \(\Delta=b^{2}-4 a c\lt 0\).
• \(\frac{1}{(x-a)^{2}(x-b)^{2}}\)
\(=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a)^{2}}+\frac{C}{x-b}+\frac{D}{(x-b)^{2}}\).
+ Nếu bậc tử \(P(x)\) \lt bậc mẫu \(Q(x)\) mà mẫu không phân tích được thành tích số, ta xét một số trường hợp thường gặp sau:
\(I_{1}=\int \frac{d x}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{n}},\left(n \in N^{*}\right)\)
\(\xrightarrow{P P} x=a \cdot \tan t \cdot\)
\(I_{2}=\int \frac{d x}{a x^{2}+b x+c},(\Delta\lt 0)\)
\(=\int \frac{d \mathrm{x}}{a\left[\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}+\left(-\frac{\Delta}{4 a}\right)\right]}\).
Ta sẽ đặt \(\longrightarrow x+\frac{b}{2 a}=\sqrt{-\frac{\Delta}{4 a}} \tan t\).
• \(I_{3}=\int \frac{p x+q}{a x^{2}+b x+c} d x\) với \(\Delta=b^{2}-4 a c\lt 0\).
Ta sẽ phân tích: \(I_{3}=\frac{p}{2 a} \underbrace{\int \frac{(2 a x+b) d x}{a x^{2}+b x+c}}_{A}\)\(+\left(q-\frac{b \cdot p}{2 a}\right) \cdot \underbrace{\int \frac{d x}{a x^{2}+b x+c}}_{I_{2}}\)
và giải \(\mathrm{A}\) bằng cách đặt \(t=\) mẫu số.
2. Tính chất Tích phân.
• Tính chất 1. Tích phân tại một giá trị xác định của biến số thì bằng 0 , tức là \(\int_{a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0\)
• Tính chất 2. Đổi cận thì đổi dấu, tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=-\int_{b}^{a} f(x) \mathrm{d} x\).
• Tính chất 3. Tách đôi tích phân, tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x\)
• Tính chất 4. Nếu hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=0\)
• Tính chất 5. Nếu hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm số chắn trên \([-\mathrm{a} ; \mathrm{a}]\) thì \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=2 \int_{0}^{a} f(x) d x\)
• Tính chất 6. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm chẵn trên \(\mathrm{R}\) thì: \(\quad \int_{-\alpha}^{\alpha} \frac{f(x)}{a^{x}+1} d x=\int_{0}^{\alpha} f(x) d x\) (với \(\alpha \in \mathrm{R}^{+}\)và \(\mathrm{a}\gt 0\) )
• Tính chất 7. Hằng số trong tích phân có thể đưa ra ngoài dấu tích phân, tức là
\[\int_{a}^{b} k f(x) \mathrm{d} x=k \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \text { }\]\((k\) là hằng số\()\)
• Tính chất 8. Tích phân một tổng bẳng tổng\((k\) các tích phân, tức là
\[\int_{a}^{b}[f(x) \pm g(x)] \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \pm \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x .\]• Tính chất 9. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục trên \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\) thì \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x\)
• Tính chất 10. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và \(f(a+b-x)=f(x)\) hoặc \(f(a+b-x)=-f(x)\)
Chú ý: Tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) chỉ phụ thuộc vào hàm \(f\) và các cận \(a, b\) mà không phụ thuộc vào biến số \(x\), tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t\).
3. Ý nghĩa hình học.
4. Bài tập.
4.1. Bài 1
Biết \(I=\int_{-1}^{0} \frac{3 x^{2}+5 x-1}{x-2} d x\)
\(=a \ln \frac{2}{3}+b,(a, b \in \mathbb{R})\). Khi đó giá trị của \(a+4 b\) bằng?
A. 50
B. 60
C. 59
D. 40
Lời giải chi tiết:
Ta có \(I=\int_{-1}^{0} \frac{3 x^{2}+5 x-1}{x-2} d x\)
\(=\int_{-1}^{0}\left(3 x+11+\frac{21}{x-2}\right) d x\)
\(=\left.\left(\frac{3}{2} x^{2}+11 x+21 \cdot \ln |x-2|\right)\right|_{-1} ^{0}\)
\(=21 \cdot \ln \frac{2}{3}+\frac{19}{2}\).
Suy ra \(a=21, b=\frac{19}{2}\).
Vậy \(a+4 b=59\)
=> Chọn đáp án C.
4.2. Bài 2
Biết \(\int_{0}^{1} \frac{x^{2}-2}{x+1} d x=\frac{-1}{m}+n \ln 2\), với \(m, n\) là các số nguyên. Tính \(m+n\).
A. \(S=1\).
B. \(S=4\).
C. \(S=-5\).
D. \(S=-1\).
Lời giải chi tiết:
\(\int_{0}^{1} \frac{x^{2}-2}{x+1} d x=\int_{0}^{1}(x-1) d x\)
\(-\int_{0}^{1} \frac{d x}{x+1}=\left.\frac{(x-1)^{2}}{2}\right|_{0} ^{1}\)
\(-\ln |x+1|_{0}^{1}=\frac{-1}{2}-\ln 2\)
\(\Rightarrow m=2, n=-1 \Rightarrow m+n=1\)
=> Chọn đáp án A.
4.3. Bài 3
Tích phân \(I=\int_{0}^{1} \frac{(x-1)^{2}}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x=a-\ln b\) trong đó \(a, b\) là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức \(a+b\).
A. 1 .
B. 0 .
C. -1 .
D. 3 .
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(I=\int_{0}^{1} \frac{(x-1)^{2}}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x\)
\(=\int_{0}^{1}\left(1-\frac{2 x}{x^{2}+1}\right) \mathrm{d} x\)
\(=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x-\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}+1} \mathrm{~d}\left(x^{2}+1\right)\)
\(=\left.x\right|_{0} ^{1}-\left.\ln \left(x^{2}+1\right)\right|_{0} ^{1}=1-\ln 2\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=2\end{array} \Rightarrow a+b=3\right.\).
=> Chọn đáp án D.
4.4. Bài 4
Biết \(\int_{3}^{5} \frac{x^{2}+x+1}{x+1} \mathrm{~d} x=a+\ln \frac{b}{2}\) với \(a, b\) là các số nguyên. Tính \(S=a-2 b\)
A. \(S=2\).
B. \(S=-2\).
C. \(S=5\).
D. \(S=10\).
Lời giải chi tiết:
\(\int_{3}^{5} \frac{x^{2}+x+1}{x+1} \mathrm{~d} x=\int_{3}^{5}\left(x+\frac{1}{x+1}\right) \mathrm{d} x\)
\(=\left.\left(\frac{x^{2}}{2}+\ln |x+1|\right)\right|_{3} ^{5}=8+\ln \frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=8 \\ b=3\end{array} \Rightarrow S=a-2 b=2\right.\)
=> Chọn đáp án A.
Lời kết
Trên đây Examon đã giúp bạn tìm hiểu chi tiết cách tính tích phân hàm số hữu tỉ chi tiết và đơn giản nhất, cùng với một số bài tập vận dụng mẫu giúp bạn hình dung cụ thể hơn. Hy vọng rằng qua bài viết này bạn đã hiểu được một phương pháp tính tích phân mới và có thể áp dụng giải bài tập tích phân liên quan. Để học tốt chương Tích phân nói chung và tích phân hàm số hữu tỷ nói riêng bạn cần chăm chỉ luyện đề thật nhiều nhé!
Vậy bạn đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không?
Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau. Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
• Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
• Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
• Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!