Tích phân hàm Min Max

• Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên đoạn \([a ; b]\). 

• Giả sử \(\mathrm{F}(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a ; b]\). 

• Hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) (hay tích phân xác định trên đoạn \([a ; b]\) ) của hàm số \(f(x)\), ki hiệu là \(\int_{a}^{b} f(x) d x\).

• Ta còn dùng ki hiệu \(\left.F(x)\right|_{a} ^{b}\) để chỉ hiệu số \(F(b)-F(a)\)

• Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên \(K\) và \(a, b\) là hai số bất kì thuộc \(K\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\) thì hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân của \(f(x)\) từ \(a\) đến \(b\) và kí hiệu là:

\(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\)

Ta gọi: \(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, \(f(x) \mathrm{dx}\) là biểu thức dấu tích phân và \(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý: Trong trường hợp \(a=b\) hoặc \(a\gt b\), ta có quy ước:

\(\int_{a}^{a} f(x) d x=0 ; \int_{a}^{b} f(x) d x\)

\(=-\int_{b}^{a} f(x) d x\)

• Tích phân của hàm số \(f\) từ \(a\) đến \(b\) có thể kí hiệu bởi \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) hay \(\int_{a}^{b} f(t) d t\). 

• Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào \(f\) và các cận \(a, b\) mà không phụ thuộc vào biến số \(x\) hay \(t\).

• Tức là: \(\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(t) d t=\int_{a}^{b} f(u) d u\)

• Nếu hàm số \(f(x)\) liên tục và không âm trên đoạn \([a, b]\), thì tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) là diện tích \(\mathbf{S}\) của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của \(f(x)\), trục \(O x\) và hai đường thẳng \(x=a, x=b\). Vậy \(S=\) \(\int_{a}^{b} f(x) d x\)

Chú ý:

• Trong trường hợp \(a=b\) hoặc \(a\gt b\) ta quy ước:

\(\int_{a}^{a} f(x) d x=0 ; \int_{a}^{b} f(x) d x\)

\(=-\int_{b}^{a} f(x) d x\)

 - Nếu hàm số \(f(x)\) liên tục và không âm trên đoạn \([a ; b]\), thì tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) là diện tích \(S\) của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của \(f(x)\), trục \(O x\) và hai đường thẳng \(x=a, x=b\).Vậy \(S=\int_{a}^{b} f(x) d x\)

• Giả sử hàm số \(y=f(x)\) là hàm số liên tục và không âm trên đoạn \([a ; b]\). Khi đó, tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y=f(x)\), trục hoành \(O x\) và hai đường thẳng \(x=a, x=b\), với \(a\lt b\).

\(S=\int_{a}^{b} f(x) d x\)

- Chẳng hạn: \(F(x)=x^{3}+C\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=3 x^{2}\) nên tích phân

+ Lưu ý: Giá trị của tích phân không phụ thuộc vào hằng số \(C\). Trong tính toán, ta thường chọn \(C=0\).

- Chẳng hạn: Hàm số \(f(x)=x^{2}+2 x+1\) có đồ thị \((C)\) và \(f(x)=(x+1)^{2} \geq 0\), với \(\forall x \in \mathbb{R}\).

• Diện tích "tam giác cong" giới hạn bởi (C) , trục \(O x\) và hai đường thẳng \(x=-1\) và \(x=1\) là \(S=\int_{-1}^{1} f(x) d x=\int_{-1}^{1}\left(x^{2}+2 x+1\right) d x\) \(=\left.\left(\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+x\right)\right|_{-1} ^{1}=\frac{8}{3}\).

+ Lưu ý: Ta còn gọi hình phẳng trên là "hình thang cong".

•  Yêu cầu: Tính tích phân

\(I=\int_{a}^{b} \min \{f(x) ; \mathrm{g}(x)\} \mathrm{d} x ;\)

\( I=\int_{a}^{b} \max \{f(x) ; \mathrm{g}(x)\} \mathrm{d} x\)

• Phương pháp: 

Tính \(I=\int_{a}^{b} \min \{f(x) ; \mathrm{g}(x)\} \mathrm{d} x \)

\((I=\int_{a}^{b} \max \{f(x) ; \mathrm{g}(x)\} \mathrm{d} x\) tương tự)

• Bước 1: Xét dấu của \(f(x)-g(x)\) trên khoảng \((a ; b)\)

- Giải phương trình \(f(x)-g(x)=0 \Leftrightarrow x=x_{i} \in(a ; b)\)

- Lập bảng xét dấu của \(f(x)-g(x)\) trên khoảng \((a ; b)\)

• Bước 2: Chèn cận \(x_{i}\) và chọn hàm \(\min \{f(x) ; \mathrm{g}(x)\}\) như sau:

- Nếu \(f(x)-g(x)\gt 0\) trên khoảng \(K\) thì \(\min \{f(x) ; g(x)\}=g(x)\).

- Nếu \(f(x)-g(x)\lt 0\) trên khoảng \(K\) thì \(\min \{f(x) ; g(x)\}=f(x)\).Từ đó, ta được các tích phân cơ bản.

Tính \(I=\int_{0}^{2} \min \left\{x ; x^{2}\right\} \mathrm{d} x\).

Lời giải chi tiết:

Xét trên khoảng \((0 ; 2)\), ta có: 

\(x-x^{2}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0(l) \\ x=1\end{array}\right.\).

BXD:

Ta có:\(x-x^{2}\gt 0\) với mọi \(x \in(0 ; 1)\) nên \(\min \left\{x ; x^{2}\right\}=x^{2}\).\(x-x^{2}\lt 0\) với mọi \(x \in(1 ; 2)\) nên \(\min \left\{x ; x^{2}\right\}=x\).

Suy ra:

\(I=\int_{0}^{1} \min \left\{x ; x^{2}\right\} \mathrm{d} x\)

\(+\int_{1}^{2} \min \left\{x ; x^{2}\right\} \mathrm{d} x\)

\(=\int_{0}^{1} x^{2} \mathrm{~d} x+\int_{1}^{2} x \mathrm{~d} x\)

\(=\frac{1}{3}+\frac{3}{2}=\frac{11}{6} .\)

Tính \(I=\int_{-1}^{1} \max \left\{e^{x} ; 2^{x}\right\} d x\)

Lời giải chi tiết:

Xét trên khoảng \((-1 ; 1)\), ta có: \(e^{x}-2^{x}=0 \Leftrightarrow x=0\)

BXD:

Ta có:

\(e^{x}-2^{x}\lt 0\) 

với mọi \(x \in(-1 ; 0)\) 

nên \(\max \left\{x ; x^{2}\right\}=2^{x}\).\(e^{x}-2^{x}\gt 0\) 

với mọi \(x \in(0 ; 1)\) 

nên \(\max \left\{x ; x^{2}\right\}=e^{x}\).

Suy ra:

\(I=\int_{-1}^{0} \max \left\{\mathrm{e}^{x} ; 2^{x}\right\} \mathrm{d} x\)

\(+\int_{0}^{1} \max \left\{\mathrm{e}^{x} ; 2^{x}\right\} \mathrm{d} x\)

\(=\int_{-1}^{0} 2^{x} \mathrm{~d} x+\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x\)

\(=\left.\frac{2^{x}}{\ln 2}\right|_{-1} ^{0}+\left.\mathrm{e}^{x}\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{2 \ln 2}+e-1 .\)

1. Cho hàm số: 

\(y=f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2} & \text { khi } x \geq 0 \\ -x & \text { khi } x \leq 0\end{array}\right.\). 

Biết hàm số \(f\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). 

Tính \(I=\int_{-1}^{1} f(x)\).

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(I=\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)

\(=\int_{-1}^{0} f(x) \mathrm{d} x+\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)

\(=\int_{-1}^{0}-x \mathrm{~d} x+\int_{0}^{1} x^{2} \mathrm{~d} x\)

\(=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6} .\)

2. Cho hàm số:

\(y=f(x)=\left\{\begin{array}{ll}(2 x-1)^{3} & \text { khi } x \geq 1 \\ 2^{x}-1 & \text { khi } x \leq 1\end{array}\right.\)

Biết hàm số \(f\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Tính \(I=\int_{-2}^{3} f(x) \mathrm{d} x\).

Lời giảiTa có:

\(I=\int_{-2}^{1} f(x) \mathrm{d} x+\int_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x\)

\(=\int_{-2}^{1}\left(2^{x}-1\right) \mathrm{d} x+\int_{1}^{3}(2 x-1)^{3} \mathrm{~d} x\)

\(=\frac{7}{2 \ln 2}+78 .\)

3. Cho hàm số:

\(y=f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-2(x+1) & \text { khi } x \leq 0 \\ k\left(1-x^{2}\right) & \text { khi } x \geq 0\end{array}\right.\)

Xác định \(k\) để \(\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x=1\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)

\(=\int_{-1}^{0} f(x) \mathrm{d} x+\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)

\(=\int_{-1}^{0}-2(x+1) \mathrm{d} x\)

\(+\int_{0}^{1} k\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} x \\\Leftrightarrow 1\)

\(=-1+k \frac{2}{3} \Leftrightarrow k=3 .\)