Tích phân hàm lượng giác

\(\begin{array}{c}\int \sin (a x+b) d x \\ =\frac{1}{a} \int \sin (a x+b) d(a x+b) \\ =-\frac{1}{a} \cos (a x+b)+C \\ \int \cos (a x+b) d x \\ =\frac{1}{a} \int \cos (a x+b) d(a x+b) \\ =\frac{1}{a} \sin (a x+b)+C\end{array}\)

Ví dụ 1: Tính tích phân \(I = \int \cos (1-2x) d x\)

Lời giải.

\(\begin{array}{l}\text { } I = \int \cos (1-2x) d x \\ =-\frac{1}{2} \int \cos (1-2 x) d(1-2x) \\ =-\frac{1}{2} \sin (1-2 x) + C\end{array}\)

Ví dụ 2: Tính tích phân \(I = \int \sin (2 x+3) d x\)

Lời giải.

\(\begin{array}{l}\text { }I =  \int \sin (2 x+3) d x \\ =\frac{1}{2} \int \sin (2 x+3) d(2 x+3) \\ =-\frac{1}{2} \cos (2 x+3)+C\end{array}\)

Công thức chung : 

\(\int\) \(sinax. sinbxdx\)

\(\int \operatorname{sinax} \cdot \cos b x d x\)

\(\int \operatorname{cosax} \cdot \cos b x d x\)

Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng :

\(\sin a \sin b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)]\)

\(\cos a \cos b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)+\cos (a+b)]\)

\(\operatorname{sinacos} b=\frac{1}{2}[\sin (a+b)+\sin (a-b)]\)

\(\cos a \sin b=\frac{1}{2}[\sin (a+b)-\sin (a-b)]\)

\(\Rightarrow\) Đưa về dạng 1 : Biểu thức dưới dấu tích phân là hàm sin/cos

Ví dụ 1: Tính tích phân \(\int \sin 3 x \cdot \cos 5 x \cdot d x\)

Lời giải.

Ta có:

Ví dụ 2: Tính tích phân \(\int \cos x \cdot \cos 3 x d x\)

Lời giải.

 \(\begin{aligned}\int \cos x \cdot \cos 3 x d x \\=\frac{1}{2} \int(\cos x+\cos 4 x) d x \\ = \frac{1}{2}\left(\sin x+\frac{1}{4} \sin 4 x\right)+C \\ & =\frac{1}{2} \sin x-\frac{1}{8} \sin 4 x+C\end{aligned}\)

Công thức chung : 

\(\int \sin^{2}{ax} dx\)

\(\int \cos^{2}{ax} dx\)

\(\int \sin^{3}{ax} dx\)

\(\int \cos^{3}{ax} dx\)

Ta sử dụng công thức hạ bậc và nhân ba : 

\(\begin{array}{l}\cos ^{2} a=\frac{1+\cos 2 a}{2} \\ \sin ^{2} a=\frac{1-\cos 2 a}{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\cos ^{3} a=\frac{3 \cos a+\cos 3 a}{4} \\ \sin ^{3} a=\frac{3 \sin a-\sin 3 a}{4}\end{array}\)

\(\Rightarrow\) Đưa về dạng 1 : Biểu thức dưới dấu tích phân là hàm sin/cos

Ví dụ : Tính tích phân \(\int  \cos ^{2} x d x\)

Lời giải.

\(\begin{aligned} \text { } \int & \cos ^{2} x d x \\ = & \frac{1}{2} \int(1+\cos 2 x) d x \\ = & \frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2} \sin 2 x\right)+C \\ = & \frac{1}{2} x+\frac{1}{4} \sin 2 x+C\end{aligned}\)

Công thức chung : 

Đặt \(t=\tan x\)

Ví dụ : Tính tích phân \(\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \tan ^{4} x d x\)

Lời giải.

Ta có: \(\tan ^{4} x=\frac{\sin ^{4} x}{\cos ^{4} x}=\frac{\left(1-\cos ^{2} x\right)^{2}}{\cos ^{4} x}=\frac{1}{\cos ^{4} x}-2 \frac{1}{\cos ^{2} x}+1\)

Do đó:

\(I=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \tan ^{4} x d x=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos ^{4} x}-2 \frac{1}{\cos ^{2} x}+1\right) d x\)

\(\left.=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\left(1+\tan ^{2} x\right) \frac{d x}{\cos ^{2} x}-[2 \tan x+x]\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\)

\(=\left.\left(\tan x+\frac{1}{3} \tan ^{3} x\right)\right|_{\frac{\pi}{4}} ^{\frac{\pi}{3}}-\left(2 \sqrt{3}-2+\frac{\pi}{12}\right)\)

\(=\left(2 \sqrt{3}-\frac{4}{3}\right)-\left(2 \sqrt{3}-2+\frac{\pi}{12}\right)=\frac{2}{3}+\frac{\pi}{12}\).

Công thức chung : 

\(\int \frac{d x}{a \sin x \pm b \cos x}\)

\(\begin{array}{c}=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \int\frac{d x}{\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \sin x\pm \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \cos x} \\ =\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \int \frac{d x}{\cos \alpha \sin x \pm \sin \alpha \cos x} \\ =\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \int \frac{d x}{\sin (x \pm \alpha)}\end{array}\)

Lưu ý : 

\(\begin{array}{l}\sin x+\cos x=\sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \\ \sin x-\cos x=\sqrt{2} \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right) \\ \cos x-\sin x=-\sqrt{2} \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\end{array}\)

Ví dụ : Tính tích phân \(\int \frac{d x}{\sin x+\sqrt{3} \cos x}\)

Lời giải.

\(\begin{array}{c}\int \frac{d x}{\sin x+\sqrt{3} \cos x} \\ =\frac{1}{2} \int \frac{d x}{\frac{1}{2} \sin x+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x} \\ =\frac{1}{2} \int \frac{d x}{\cos \frac{\pi}{3} \sin x+\sin \frac{\pi}{3} \cos x} \\ =\frac{1}{2} \int \frac{d x}{\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)} \\ =\frac{1}{2} \ln \left|\tan \left(\frac{x}{6}+\frac{\pi}{6}\right)\right|+C\end{array}\)