Tích phân hàm hữu tỷ

1. Hàm hữu tỷ là gì ?

1.1. Hàm phân thức hữu tỷ

Hàm phân thức hữu tỷ có dạng \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) trong đó \(P(x), Q(x)\) là các đa thức với các hệ số thực.

1.2. Hàm phân thức thực sự

Phân thức thực sự là phân thức hữu tỉ \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) trong đó bậc \( P(x)\lt \) bậc \(Q(x)\)

1.3. Phân thức đơn giản

Công thức chung :

\(\frac{A}{x-a} ; \frac{A}{(x-a)^{k}} ; \frac{B x+C}{x^{2}+p x+q} ; \frac{B x+C}{\left(x^{2}+p x+q\right)^{k}}\left(\Delta=p^{2}-4 q\lt 0 ; k \in N\right)\)

2. Phương pháp giải

2.1. Đặt vấn đề

Xét \(I^{*}=\int \frac{P^{*}(x)}{Q(x)} d x\) với \(P(x), Q(x)\) là các đa thức với hệ số thực.

Nếu bậc của \( P^{*}(x) \geq \) bậc của \(Q(x)\) thì thực hiện phép chia đa thức ta có:

\(\frac{P^{*}(x)}{Q(x)}=G(x)+\frac{P(x)}{Q(x)}\)

Mà bậc của \(P(x) \)\(<\) bậc của \(Q(x)\)

\(\Rightarrow \int \frac{P^{*}(x)}{Q(x)} d x=\int G(x) d x+\int \frac{P(x)}{Q(x)} d x\)

Ta có dễ dàng tính được \(\int G(x) d x\) nên việc tính \(I^{*}=\int \frac{P^{*}(x)}{Q(x)} d x\) được đưa về tính \(I=\int \frac{P(x)}{Q(x)} d x\) với bậc của \(P(x)\)\(<\) bậc của \(Q(x)\)

2.2. Phương pháp chung tính I

Định lý: Nếu \(Q(x)=A\left(x-a_{l}\right)^{r_{i}} \ldots\left(x-a_{k}\right)^{r_{k}}\left(x^{2}+p_{l} x+q_{l}\right)^{s_{l}} \ldots\left(x^{2}+p_{m} x+q_{m}\right)^{s_{m}}\) thì mọi phân thức hữu tỉ thực sự \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) đều biểu diễn được dưới dạng:

\[\begin{array}{l}\frac{P(x)}{Q(x)}=\left(\frac{A_{1,1}}{x-a_{l}}+\cdots+\frac{A_{r_{t}, 1}}{\left(x-a_{1}\right)^{r_{k}}}\right)+\ldots+\left(\frac{A_{1, k}}{x-a_{k}}+\frac{A_{2, k}}{\left(x-a_{k}\right)^{2}}+\cdots+\frac{A_{r_{t}, k}}{\left(x-a_{k}\right)^{r_{k}}}\right) \\\quad+\left(\frac{B_{1,1} x+C_{1,1}}{x^{2}+p_{1} x+q_{1}}+\frac{B_{2, 1} x+C_{2, 1}}{\left(x^{2}+p_{1} x+q_{1}\right)^{2}}+\ldots+\frac{B_{s_{t, 1}} x+C_{s_{t, 1}}}{\left(x^{2}+p_{1} x+q_{1}\right)^{s_{1}}}\right)+\ldots+ \\\quad+\left(\frac{B_{1, m} x+C_{1, m}}{x^{2}+p_{m} x+q_{m}}+\frac{B_{2, m} x+C_{2, m}}{\left(x^{2}+p_{m} x+q_{m}\right)^{2}}+\ldots+\frac{B_{s_{m}, m} x+C_{s_{m, m}}}{\left(x^{2}+p_{m} x+q_{m}\right)^{s_{m}}}\right)\end{array}\]

3. Bài tập minh họa

Ví dụ 1 : Tính tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau: \(I=\int_{0}^{1} \frac{4 x+11}{x^{2}+5 x+6} d x\).

Lời giải :

Ta có: \(f(x)=\frac{2(2 x+5)+1}{x^{2}+5 x+6}=2 \cdot \frac{2 x+5}{x^{2}+5 x+6}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}\)

\(=2 \cdot \frac{2 x+5}{x^{2}+5 x+6}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}\).

Suy ra: \(I=\int_{0}^{1} f(x) d x=\int_{0}^{1}\left(2 \cdot \frac{2 x+5}{x^{2}+5 x+6}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}\right) d x\)

\(=\left.\left(2 \ln \left|x^{2}+5 x+6\right|+\ln \left|\frac{x+2}{x+3}\right|\right)\right|_{0} ^{1}\)

\(=2 \ln 3-\ln 2\).

Ví dụ 2: Tính tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau: \(I=\int_{0}^{3} \frac{x^{3}}{x^{2}+2 x+1} d x\).

Lời giải

Chia đa thức \(x^{3}\) cho đa thức \(x^{2}+2 x+1\) ta có :

\[\frac{x^{3}}{x^{2}+2 x+1}=x-2+\frac{3 x+2}{x^{2}+2 x+1} \text {. }\]

\(I=\int_{0}^{3} \frac{x^{3}}{x^{2}+2 x+1} d x=\int_{0}^{3}(x-2) d x+\int_{0}^{3} \frac{3 x+3-1}{x^{2}+2 x+1} d x\)

\(=\left.\left(\frac{x^{2}}{2}-2 x\right)\right|_{0} ^{3}+\frac{3}{2} \int_{0}^{3} \frac{d\left(x^{2}+2 x+1\right)}{x^{2}+2 x+1}-\int_{0}^{3} \frac{d x}{(x+1)^{2}}\)

\(=-\frac{3}{2}+\left.\frac{3}{2} \ln (x+1)^{2}\right|_{0} ^{3}+\left.\frac{1}{x+1}\right|_{0} ^{3}\)

\(=-\frac{3}{2}+\frac{3}{2} \ln 16+\frac{1}{4}-1=-\frac{9}{4}+6 \ln 2\)

Ví dụ 3: Tính các tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau: \(I=\int_{0}^{2} \frac{x}{(x+1)^{3}} d x\)

Lời giải

Ta có: \(\frac{x}{(x+1)^{3}}=\frac{(x+1)-1}{(x+1)^{3}}=\frac{1}{(x+1)^{2}}-\frac{1}{(x+1)^{3}}\).

\(I=\) \(\int_{0}^{2} \frac{x}{(x+1)^{3}} d x=\int_{0}^{2}\left[\frac{1}{(x+1)^{2}}-\frac{1}{(x+1)^{3}}\right] d x\)

\(\left.\left[-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2} \frac{1}{(x+1)^{2}}\right]\right|_{0} ^{2}=\frac{2}{9}\)

4. Cách học tích phân hiệu quả

Examon đã cung cấp cho bạn phương pháp giải chung các bài tập tích phân của hàm hữu tỷ. Chúng ta đã đi qua các bước cơ bản nhất để giải bài toán này, từ tìm hiểu như thế nào là phân thức hữu tỷ, đến việc chia nhỏ phân số phức tạp thành các phần nhỏ hơn để dễ tính tích phân. Hy vọng rằng những kiến thức đã được chia sẻ sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về phương pháp giải tích phân của hàm hữu tỷ và áp dụng thành công vào các bài tập khác.

Đã bao giờ bạn thấy rằng mình mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề đó là: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Bộ đề ôn thi cấp tốc 30 ngày cùng Examon

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!