Tích phân hàm ẩn - Phương pháp từng phần
Bài viết này Examon sẽ giới thiệu và chỉ ra phương pháp tích phân từng phần áp dụng vào các bài toán tích phân hàm ẩn.
Mục lục bài viết
Tích phân hàm ẩn luôn là một dạng toán đầy thách thức trong chương trình Toán lớp 12. Trong đó, việc lựa chọn phương pháp giải phù hợp đóng vai trò then chốt để tìm ra lời giải cho bài toán. Bài viết này Examon sẽ tập trung vào phương pháp tích phân từng phần, một phương pháp mạnh mẽ và linh hoạt giúp các bạn giải mã các bài toán tích phân hàm ẩn một cách dễ dàng và hiệu quả hơn.
1. Kiến thức cần nhớ
Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên đoạn \([a ; b]\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a ; b]\).
Hiệu số \(F(a)-F(b)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) của hàm số \(f(x)\), kí hiệu là
\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\]trong đó :
\(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân,
\(a\) là cận dưới, \(b\) là cận trên,
\(f(x) \mathrm{d} x\) là biểu thức dưới dấu tích phân
\(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.
2. Phương pháp chung
Dấu hiệu : Tích phân từng phần với hàm ẩn thường áp dụng cho những bài toán mà giả thiết hoặc kết luận có một trong các tích phân sau:
\(\int_{a}^{b} u(x) \cdot f^{\prime}(x)\) hoặc \( \int_{a}^{b} u^{\prime}(x) \cdot f(x) \cdot d x \)
Phương pháp : Sử dụng công thức tích phân từng phần
Nếu \(u(x), v(x)\) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn \([a, b]\) thì :
\(\int_{a}^{b} u(x) v^{\prime}(x) d x=\left.[u(x) \cdot v(x)]\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} v(x) u^{\prime}(x) d x\)
3. Bài tập minh họa
3.1. Bài tập 1
Bài 1 : Cho hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\) liên tục, có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f^{\prime}(0) \cdot f^{\prime}(2) \neq 0\) và \(g(x) f^{\prime}(x)=x(x-2) \mathrm{e}^{x}\). Tính giá trị của tích phân \(I=\int_{0}^{2} f(x) \cdot g^{\prime}(x) \mathrm{d} x\) ?
Lời giải
Ta có : \(g(x) f^{\prime}(x)=x(x-2) \mathrm{e}^{x} \Rightarrow g(0)=g(2)=0\) (vì \(f^{\prime}(0) \cdot f^{\prime}(2) \neq 0\) )
\(I=\int_{0}^{2} f(x) \cdot g^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} g(x)=\left.(f(x) \cdot g(x))\right|_{0} ^{2}-\int_{0}^{2} g(x) \cdot f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\)
\(=-\int_{0}^{2}\left(x^{2}-2 x\right) \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x=4\).
3.2. Bài tập 2
Bài 2 : Cho hàm số \(y=f(x)\) với \(f(0)=f(1)=1\). Biết rằng \(\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x}\left[f(x)+f^{\prime}(x)\right] \mathrm{d} x=a \mathrm{e}+b, a, b \in \mathbb{R}\). Giá trị của biểu thức \(a^{2019}+b^{2019}\) bằng bao nhiêu ?
Lời giải
Ta có \(\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x}\left[f(x)+f^{\prime}(x)\right] \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} f(x) \mathrm{d} x+\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\).
Đặt \(u=f(x), \mathrm{d} v=\mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x\); ta có \(\mathrm{d} u=f^{\prime}(x) \mathrm{d} x, v=\mathrm{e}^{x}\).
Khi đó :
\(\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} f(x) \mathrm{d} x=\left.\left[\mathrm{e}^{x} f(x)\right]\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\)
\(\Leftrightarrow \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} f(x) \mathrm{d} x+\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\left.\left[\mathrm{e}^{x} f(x)\right]\right|_{0} ^{1}\)
Theo đề bài \(\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x}\left[f(x)+f^{\prime}(x)\right] \mathrm{d} x=a \mathrm{e}+b, a, b \in \mathbb{R}\) suy ra \(a=1, b=-1\).
Do đó \(a^{2019}+b^{2019}=1^{2019}+(-1)^{2019}=0\).
3.3. Bài tập 3
Bài 3 : Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(\int_{0}^{1}(x+1) f^{\prime}(x) d x=10\) và \(2 f(1)-f(0)=2\). Tính \(I=\int_{0}^{1} f(x) d x\).
Lời giải
Ta có : \(A=\int_{0}^{1}(x+1) f^{\prime}(x) d x\)
Đặt \(u=x+1 \Rightarrow d u=d x, d v=f^{\prime}(x) d x\) chọn \(v=f(x)\)
\(\Rightarrow A=\left.(x+1) \cdot f(x)\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} f(x) d x\)
\(=2 f(1)-f(0)-\int_{0}^{1} f(x) d x=2-\int_{0}^{1} f(x) d x=10 \)
\(\Rightarrow I = \int_{0}^{1} f(x) d x=-8\)
4. Cùng Examon thực hành và rèn luyện kỹ năng giải bài tập tích phân.
Qua bài viết trên, chúng ta có thể thấy phương pháp tích phân từng phần là một công cụ hữu hiệu để giải quyết các bài toán tích phân hàm ẩn. Hy vọng rằng qua các bài tập minh họa mà Examon đã cung cấp các bạn có thêm những kiến thức bổ ích và kỹ năng cần thiết để tự tin hơn trong việc giải quyết dạng toán này.
Có bao giờ bạn tự hỏi tại điểm kiểm tra của mình thấp không?
Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".
Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?
Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:
Bước 1: Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú
Bước 2: Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện
Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:
| BÀI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SGK | Tiết |
| CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP | 7 |
| Bài 1. Mệnh đề toán học | 3 |
| Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp | 3 |
| Bài tập cuối chương I | 1 |
| CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN | 6 |
| Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 2 |
| Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 3 |
| Bài tập cuối chương II | 1 |
Bước 3: Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp
Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?
Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán
Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi.
Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON
Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 300%
Examon sẽ phân môn theo chương theo dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào?
Mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.
Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:
1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng
2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này
3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.
