Tích phân hàm ẩn - Hàm số ở dưới mẫu
Bài viết dưới đây Examon sẽ cung cấp chi tiết nhất về phương pháp giải để các bạn có thể tự tin giải bài toán tích phân.
Mục lục bài viết
Tích phân hàm ẩn luôn là một đề tài hấp dẫn và đầy thử thách trong chương trình Toán lớp 12. Trong đó, việc giải quyết tích phân hàm ẩn với hàm số ở dưới mẫu đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về tích phân cũng như các kỹ thuật biến đổi linh hoạt. Bài viết này Examon sẽ cùng bạn đọc tìm hiểu phương pháp hiệu quả để giải mã dạng toán này cùng với những bài tập minh họa cụ thể.
1. Kiến thức cần nhớ
Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên đoạn \([a ; b]\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a ; b]\).
Hiệu số \(F(a)-F(b)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) của hàm số \(f(x)\), kí hiệu là
\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\]trong đó :
\(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân,
\(a\) là cận dưới, \(b\) là cận trên,
\(f(x) \mathrm{d} x\) là biểu thức dưới dấu tích phân
\(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.
2. Phương pháp chung
Phương pháp : Cho \(f(x) \cdot f(a+b-x)=k^{2}\), khi đó \(I=\int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d} x}{k+f(x)}=\frac{b-a}{2 k}\)
Chứng minh :
Đặt \(t=a+b-x \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d t=-d x \\ f(x)=\frac{k^{2}}{f(t)}\end{array}\right.\) và \(x=a \Rightarrow t-b ; x=b \Rightarrow t=a\).
Khi đó \(I=\int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d} x}{k+f(x)}=\int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d} x}{k^{2}}=\frac{1}{k} \int_{a}^{b} \frac{\mathrm{f}(x) \mathrm{d} x}{k+f(x)}\).
\(2 I=\int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d} x}{k+f(x)}+\frac{1}{k} \int_{a}^{b} \frac{\mathrm{f}(x) \mathrm{d} x}{k+f(x)}=\frac{1}{k} \int_{a}^{b} \mathrm{~d} x=\frac{1}{k}(b-a) \Rightarrow I=\frac{b-a}{2 k}\).
3. Bài tập minh họa
3.1. Bài tập 1
Bài 1 : Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), ta có \(f(x)\gt 0\) và \(f(0) \cdot f(2018-x)=1\). Tính tích phân sau \(I=\int_{0}^{2018} \frac{\mathrm{d} x}{1+f(x)}\)
Lời giải
Ta có \(I=\int_{0}^{2018} \frac{1}{1+f(x)} \mathrm{d} x=\frac{2018-1}{2.1}=1009\).
3.2. Bài tập 2
Bài 2 : Cho hàm số \(f(x)\) liên tục và nhận giá trị dương trên \([0 ; 1]\). Biết \(f(x) \cdot f(1-x)=1\) với \(\forall x \in\) \([0 ; 1]\). Tính giá trị \(I=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{1+f(x)}\)
Lời giải
Ta có: \(1+f(x)=f(x) f(1-x)+f(x) \Rightarrow \frac{f(x)}{1+f(x)} \quad=\frac{1}{f(1-x)+1}\)Xét \(I=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{1+f(x)}\).
Đặt \(t=1-x \Leftrightarrow x=1-t \Rightarrow \mathrm{d} x=-\mathrm{d} t\).
Đổi cận: \(x=0 \Rightarrow t=1 ; x=1 \Rightarrow t=0\).
Khi đó \(I=-\int_{1}^{0} \frac{\mathrm{d} t}{1+f(1-t)}=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} t}{1+f(1-t)}=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{1+f(1-x)}=\int_{0}^{1} \frac{f(x) \mathrm{d} x}{1+f(x)}\)
Mặt khác \(\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{1+f(x)}+\int_{0}^{1} \frac{f(x) \mathrm{d} x}{1+f(x)}=\int_{0}^{1} \frac{1+f(x)}{1+f(t)} \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x=1\) hay \(2 I=1\).
Vậy \(I=\frac{1}{2}\).
3.3. Bài tập 3
Bài 3 : Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f(x)\gt 0\) khi \(x\) \(\in[0 ; 5]\) Biết \(f(x) \cdot f(5-x)=1\) .Tính tích phân \(I=\int_{0}^{5} \frac{\mathrm{d} x}{1+f(x)}\).
Lời giải
Đặt \(x=5-t \Rightarrow \mathrm{d} x=-\mathrm{d} t\)
Đổi cận : \(x=0 \Rightarrow t=5 ; x=5 \Rightarrow t=0\)
\(I=-\int_{5}^{0} \frac{\mathrm{d} t}{1+f(5-t)}=\int_{0}^{5} \frac{f(t) \mathrm{d} t}{1+f(t)}\left(\right.\) do \(\left.f(5-t)=\frac{1}{f(t)}\right)\)
\(\Rightarrow 2 I=\int_{0}^{5} \mathrm{~d} t=5 \Rightarrow I=\frac{5}{2}\).
4. Chinh phục bài tập tích phân cùng Examon
Như vậy, Examon đã giới thiệu đến các bạn phương pháp chung để giải quyết bài toán tích phân hàm ẩn với hàm số ở dưới mẫu. Hy vọng rằng thông qua những bài tập minh họa cụ thể, các bạn đã nắm vững và có thể tự tin vận dụng chúng để giải quyết các bài tập tương tự.
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!