Tích phân hàm ẩn - Hàm luôn đồng biến (nghịch biến) trên R
Tích phân hàm ẩn tuy có phần bí ẩn như chính tên gọi của nó nhưng lại là một mảnh ghép thú vị trong bức tranh toàn cảnh về tích phân.
Mục lục bài viết
Trong chương trình Toán 12, chúng ta thường bắt gặp những hàm số hiện ra một cách rõ ràng nhưng cũng có những hàm số ẩn đòi hỏi chúng ta phải vận dụng tư duy để bóc tách và hiểu rõ bản chất của chúng.
Một trong những khái niệm thú vị và không kém phần thử thách chính là tích phân hàm ẩn. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau bước vào giải mã và chinh phục những bài toán liên quan đến tích phân hàm ẩn!
1. Kiến thức cần nhớ
Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên đoạn \([a ; b]\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a ; b]\).
Hiệu số \(F(a)-F(b)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) của hàm số \(f(x)\), kí hiệu là
\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\]trong đó :
\(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân,
\(a\) là cận dưới, \(b\) là cận trên,
\(f(x) \mathrm{d} x\) là biểu thức dưới dấu tích phân
\(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.
2. Phương pháp chung
Cho hàm số \(y=f(x)\) thỏa mãn \(g[f(x)]=x\) và \(g(t)\) là hàm đơn điệu (luôn đồng biến hoặc nghịch biến) trên R.Hãy tính tích phân \(I=\int_{a}^{b} f(x) d x\)
Phương pháp giải :
Đặt \(y=f(x) \Rightarrow x=g(y) \Rightarrow d x=g^{\prime}(y) d y\)
Đổi cận \(\left\{\begin{array}{l}x=a \rightarrow g(y)=a \Leftrightarrow y=\alpha \\ x=b \rightarrow g(y)=b \Leftrightarrow y=\beta\end{array}\right.\)
Suy ra \(I=\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{\alpha}^{\beta} y g(y) d y\)
3. Bài tập minh họa
3.1. Bài tập 1
Bài 1 : Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(2 f^{3}(x)-3 f^{2}(x)+6 f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}\). Tính tích phân \(I=\int_{0}^{5} f(x) \mathrm{d} x\).
Lời giải
Đặt \(y=f(x) \Rightarrow x=2 y^{3}-3 y^{2}+6 y \Rightarrow \mathrm{d} x=6\left(y^{2}-y+1\right) \mathrm{d} y\).
Đổi cận:
\(x=0 \Rightarrow 2 y^{3}-3 y^{2}+6 y=0 \Leftrightarrow y=0\)
\(x=5 \Rightarrow 2 y^{3}-3 y^{2}+6 y=5 \Leftrightarrow y= 1\).
Khi đó \(I=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} y .6\left(y^{2}-y+1\right) \mathrm{d} y=6 \int_{0}^{1}\left(y^{3}-y^{2}+y\right) \mathrm{d} y=\frac{5}{2}\).
3.2. Bài tập 2
Bài 2 : Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(x+f^{3}(x)+2 f(x)=1, \forall x \in \mathbb{R}\). Tính \(I=\) \(\int_{-2}^{1} f(x) d x\).
Lời giải
Đặt \(y=f(x) \Rightarrow x=-y^{3}-2 y+1 \Rightarrow \mathrm{d} x=\left(-3 y^{2}-2\right) \mathrm{d} y\).
Đổi cận:
\(x=-2 \Rightarrow-y^{3}-2 y+1=-2 \Leftrightarrow y=1\)
\(x=1 \Rightarrow-y^{3}-2 y+1=1 \Leftrightarrow y=0\).
Khi đó \(I=\int_{-2}^{1} f(x) d x=\int_{0}^{1} y(-3y^2-2)d y=\int_{0}^{1}\left(-3 y^{3}-2y\right) d y=\frac{-7}{4}\)
3.3. Bài tập 3
Bài 3 : Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f^{3}(x)+f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}\). Tính \(I=\int_{0}^{2} f(x) d x\)
Lời giải
Đặt \(y=f(x) \Rightarrow x=y^{3}+y \Rightarrow d x=\left(3 y^{2}+1\right) d y\)
Đổi cận \(\left\{\begin{array}{l}x=0 \rightarrow y^{3}+y=0 \Leftrightarrow y=0 \\ x=2 \rightarrow y^{3}+y=2 \Leftrightarrow y=1\end{array}\right.\)
Khi đó \(I=\int_{0}^{2} f(x) d x=\int_{0}^{1} y\left(3 y^{2}+1\right) d y=\int_{0}^{1}\left(3 y^{3}+y\right) d y=\frac{5}{4}\)
4. Bí quyết học tập đạt kết quả cao cùng Examon
Tích phân hàm ẩn tuy là một khái niệm khá trừu tượng nhưng lại ẩn chứa vẻ đẹp và sự logic rất riêng của toán học. Hy vọng rằng bài viết này đã giúp các bạn học sinh thêm hiểu rõ về tích phân hàm ẩn và có thể tự tin hơn khi giải quyết các bài toán liên quan. Chúc các bạn sẽ có thêm hành trang để tiếp tục khám phá thế giới toán học diệu kì với niềm đam mê và sự nhiệt huyết!
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!