Tích phân hàm ẩn dạng 2

•Tính chất 1. Tích phân tại một giá trị xác định của biến số thì bằng 0 , tức là \(\int_{a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0\) 

•Tính chất 2. Đổi cận thì đổi dấu, tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=-\int_{b}^{a} f(x) \mathrm{d} x\).

•Tính chất 3. Tách đôi tích phân, tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x\)

•Tính chất 4. Nếu hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=0\)

•Tính chất 5. Nếu hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm số chắn trên \([-\mathrm{a} ; \mathrm{a}]\) thì \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=2 \int_{0}^{a} f(x) d x\)

•Tính chất 6. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm chẵn trên \(\mathrm{R}\) thì: \(\quad \int_{-\alpha}^{\alpha} \frac{f(x)}{a^{x}+1} d x=\int_{0}^{\alpha} f(x) d x\) (với \(\alpha \in \mathrm{R}^{+}\)và \(\mathrm{a}\gt 0\) )

•Tính chất 7. Hằng số trong tích phân có thể đưa ra ngoài dấu tích phân, tức là

\(\int_{a}^{b} k f(x) \mathrm{d} x=k \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \text {  }\)

\((k\) là hằng số\()\)

•Tính chất 8. Tích phân một tổng bẳng tổng\((k\) các tích phân, tức là

\(\int_{a}^{b}[f(x) \pm g(x)] \mathrm{d} x\)

\(=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \pm \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x .\)

•Tính chất 9. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục trên \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\) thì \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x\)

•Tính chất 10. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và \(f(a+b-x)=f(x)\) hoặc \(f(a+b-x)=-f(x)\)

• Chú ý: 

- Tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) chỉ phụ thuộc vào hàm \(f\) và các cận \(a, b\) mà không phụ thuộc vào biến số \(x\), tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t\).

 - Nếu hàm số \(f(x)\) liên tục và không âm trên đoạn \([a ; b]\), thì tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) là diện tích \(S\) của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của \(f(x)\), trục \(O x\) và hai đường thẳng \(x=a, x=b\).Vậy \(S=\int_{a}^{b} f(x) d x\)

• Giả sử hàm số \(y=f(x)\) là hàm số liên tục và không âm trên đoạn \([a ; b]\). Khi đó, tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y=f(x)\), trục hoành \(O x\) và hai đường thẳng \(x=a, x=b\), với \(a\lt b\).

\(S=\int_{a}^{b} f(x) d x\)

- Chẳng hạn: \(F(x)=x^{3}+C\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=3 x^{2}\) nên tích phân

+ Lưu ý: Giá trị của tích phân không phụ thuộc vào hằng số \(C\). Trong tính toán, ta thường chọn \(C=0\).

- Chẳng hạn: Hàm số \(f(x)=x^{2}+2 x+1\) có đồ thị \((C)\) và \(f(x)=(x+1)^{2} \geq 0\), với \(\forall x \in \mathbb{R}\).

• Diện tích "tam giác cong" giới hạn bởi (C) , trục \(O x\) và hai đường thẳng \(x=-1\) và \(x=1\) là \(S=\int_{-1}^{1} f(x) d x=\int_{-1}^{1}\left(x^{2}+2 x+1\right) d x\) \(=\left.\left(\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+x\right)\right|_{-1} ^{1}=\frac{8}{3}\).

+ Lưu ý: Ta còn gọi hình phẳng trên là "hình thang cong".

Cho \(f(x)\) không âm thỏa mãn điều kiện \(f(x) \cdot f^{\prime}(x)=2 x \sqrt{f^{2}(x)+1}\) và \(f(0)=0\). Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y=f(x)\) trên \([1 ; 3]\) là? 

Lời giải chi tiết:

Biến đổi:

\(\Leftrightarrow \frac{f(x) \cdot f^{\prime}(x)}{\sqrt{f^{2}(x)+1}}=2 x\)

\(\Rightarrow \int \frac{f(x) \cdot f^{\prime}(x)}{\sqrt{f^{2}(x)+1}} d x=\int 2 x d x\)

\(\\\Leftrightarrow \sqrt{f^{2}(x)+1}=x^{2}+C\)

Với 

\(f(0)=0 \Rightarrow C=1\)

\(\Rightarrow \sqrt{f^{2}(x)+1}=x^{2}+1\)

\(\Rightarrow f^{2}(x)=x^{4}+2 x^{2}=g(x)\)

Ta có: 

\(g^{\prime}(x)=4 x^{3}+4 x\gt 0, \forall x \in[1 ; 3]\). 

Suy ra \(g(x)\) đồng biến trên \([1 ; 3]\)

Suy ra: 

\(g(1) \leq g(x)=f^{2}(x) \leq g(3)\)

\(\Rightarrow 3 \leq f^{2}(x) \leq 99\)

\(\xrightarrow{f(x)>0} \sqrt{3} \leq f(x) \leq 3 \sqrt{11}\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\min _{1: 3\}} f(x)=\sqrt{3} \\\operatorname{Max}_{\sqrt{3}} f(x)=3 \sqrt{11}\end{array}\right.\)

-> Đáp án: \(3 \sqrt{11}+\sqrt{3}\)

Xét hàm số \(I = \frac{\pi}{20}\) liên tục trên \(f{\left( x \right )}\) và thỏa mãn điều kiện: \(x = 0 \Rightarrow u = 0\). 

Tích phân \(x = 1 \Rightarrow u = 1\) bằng?

Lời giải chi tiết:

Từ:

 \(4 x f{\left( x^{2} \right )} + 3 f{\left( x - 1 \right )} = \sqrt{1 - x^{2}}\)+) 

Đặt 

\(4 x . f{\left( x^{2} \right )} + 3 f{\left( x - 1 \right )} = \sqrt{1 - x^{2}}\)

 \(\Rightarrow 2 \int_{0}^{1} 2 x f{\left( x^{2} \right )} dx + 3 \int_{0}^{1} f{\left( 1 - x \right )} dx\)

\(= \int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} dx \quad \left( \ast \right )\)

Với \(I = \frac{\pi}{6}\) và \(I = \frac{\pi}{16}\).

Khi đó: \(\int_{0}^{1} 2 x f\left(x^{2}\right) \mathrm{d} x\)

\(=\int_{0}^{1} f(u) \mathrm{d} u=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)

+) Đặt \(t=1-x \Rightarrow \mathrm{d} t=-\mathrm{d} x\); 

Với \(x=0 \Rightarrow t=1\) và \(x=1 \Rightarrow t=0\)

Khi đó: \(\int_{0}^{1} f(1-x) \mathrm{d} x\)

\(=\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)

Thay \((1),(2)\) vào \((*)\) ta được:

\(2 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x+3 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)

\(=\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x\)

\(\Leftrightarrow \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)

\(=\frac{1}{5} \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{20} .\)

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \([0 ; 1]\) thỏa mãn:

\(f(x)=6 x^{2} f\left(x^{3}\right)-\frac{6}{\sqrt{3 x+1}}\). 

Tính \(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)

Lời giải chi tiết:

\(f(x)=6 x^{2} f\left(x^{3}\right)-\frac{6}{\sqrt{3 x+1}}\)

\(\Leftrightarrow f(x)-2.3 x^{2} . f\left(x^{3}\right)=-\frac{6}{\sqrt{3 x+1}}\)

 với \(A=1\), \(B=-2 \text {. }\)

Áp dụng công thức ta có: 

\(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)

\(=\frac{1}{1+(-2)} \int_{0}^{1}-\frac{6}{\sqrt{3 x+1}} \mathrm{~d} x=4\).

Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f(-x)+2018 f(x)=2 x \sin x\). Tính giá trị của \(I=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x\).

Lời giải chi tiết:

Áp dụng Hệ quả 2: \(A\). \(f(x)+B f(-x)=g(x)\)

\(\Rightarrow f(x)=\frac{g(x)}{A+B}\) 

với \(g(x)\) là hàm số chẵn. 

Ta có \(f(-x)+2018 f(x)=2 x \sin x\)

\(\Rightarrow f(x)=\frac{2 x \sin x}{2019}\)

\(I=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x\)

\(x=\frac{2}{2019} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \mathrm{~d} x \stackrel{\text { casio }}{=} \frac{4}{2019}\)