Tích phân đổi biến lớp 12

1. Tích phân đổi biến là gì?

•Tích phân đổi biến là một phương pháp được sử dụng để giải các bài tập tích phân bằng cách thay đổi biến số. Bằng cách đó, ta có thể đưa bài toán đang thực hiện về một dạng đơn giản hơn để có thể tính tích phân một cách dễ dàng.

• Tích phân đổi biến có dạng:

\(\int_{a}^{b}[f(x)] \cdot u^{\prime}(x) \cdot d x\)

\(=\left.F[u(x)]\right|_{a} ^{b}=F[u(b)]-F[u(a)]\)

2. Các bước tính.

2.1. Bước 1

• Biến đổi để chọn phép đặt \(t=u(x) \Rightarrow d t=u^{\prime}(x) \cdot d x\)

2.2. Bước 2

• Đổi cận: \(\left\{\begin{array}{l}x=b \\ x=a\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}t=u(b) \\ t=u(a)\end{array}\right.\right.\)

2.3. Bước 3

• Đưa về dạng \(I=\int_{u(a)}^{u(b)} f(t) \cdot d t\) đơn giản hơn và dễ tính toán.

3. Một số phương pháp đổi biến.

3.1. Đổi biến dạng 1.

\(I=\int_{a}^{b} \frac{f(x)}{g(x)} \cdot d x\)

\(=\underbrace{\int_{a}^{b} h(x) \cdot d x}_{I_{1}}\)

\(+\underbrace{\int_{a}^{b} f(g(x)) \cdot \frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}}_{I_{2}} \cdot d x\)

3.2. Đổi biến dạng 2.

Nghĩa là nếu gặp tích phân chứa căn thức thì có khoảng \(80 \%\) sẽ đặt \(t=\) căn trừ một số truờng hợp ngoại lệ sau:

\(I_{1}=\int f\left(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\right) \cdot x^{chan} . d x \longrightarrow\) đặt \(x=a \cdot \sin t\) hoặc \(x=a \cdot \cos t\).

4. Định nghĩa tích phân

• Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên \(K\) và \(a, b\) là hai số bất kì thuộc \(K\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\) thì hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân của \(f(x)\) từ \(a\) đến \(b\) và kí hiệu là:

\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\]

• Ta gọi: \(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, \(f(x) \mathrm{dx}\) là biểu thức dấu tích phân và \(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý: Trong trường hợp \(a=b\) hoặc \(a\gt b\), ta có quy ước:

\[\int_{a}^{a} f(x) d x=0 ; \int_{a}^{b} f(x) d x=-\int_{b}^{a} f(x) d x\]

Nhận xét:

• Tích phân của hàm số \(f\) từ a đến b có thể kí hiệu bởi \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) hoặc \(\int_{a}^{b} f(u) d u\) hoặc \(\int_{a}^{b} f(t) d t\).

• Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số \(f\) và các cận \(a, b\) mà không phụ thuộc vào biến số \(x\) hay \(t\).

• Ý nghĩa hình học của tích phân:

• Nếu hàm số \(f(x)\) liên tục và không âm trên đoạn \([a, b]\), thì tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) là diện tích \(\mathbf{S}\) của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của \(f(x)\), trục \(O x\) và hai đường thẳng \(x=a, x=b\). Vậy \(S=\) \(\int_{a}^{b} f(x) d x\)

5. Tính chất cần nắm.

Tính chất 1. Tích phân tại một giá trị xác định của biến số thì bằng 0 , tức là \(\int_{a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0\)

Tính chất 2. Đổi cận thì đổi dấu, tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=-\int_{b}^{a} f(x) \mathrm{d} x\).

Tính chất 3. Tách đôi tích phân, tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x\)

Tính chất 4. Nếu hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=0\)

Tính chất 5. Nếu hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm số chắn trên \([-\mathrm{a} ; \mathrm{a}]\) thì \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=2 \int_{0}^{a} f(x) d x\)

Tính chất 6. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm chẵn trên \(\mathrm{R}\) thì: \(\quad \int_{-\alpha}^{\alpha} \frac{f(x)}{a^{x}+1} d x=\int_{0}^{\alpha} f(x) d x\) (với \(\alpha \in \mathrm{R}^{+}\)và \(\mathrm{a}\gt 0\) )

Tính chất 7. Hằng số trong tích phân có thể đưa ra ngoài dấu tích phân, tức là

\(\int_{a}^{b} k f(x) \mathrm{d} x=k \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \text { }\)

\((k\) là hằng số\()\)

Tính chất 8. Tích phân một tổng bẳng tổng\((k\) các tích phân, tức là

\(\int_{a}^{b}[f(x) \pm g(x)] \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \pm \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x .\)

Tính chất 9. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục trên \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\) thì \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x\)

Tính chất 10. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và \(f(a+b-x)=f(x)\) hoặc \(f(a+b-x)=-f(x)\)

• Chú ý:

- Tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) chỉ phụ thuộc vào hàm \(f\) và các cận \(a, b\) mà không phụ thuộc vào biến số \(x\),

tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t\).

6. Bài tập vận dụng.

6.1. Bài tập 1.

Biết \(\int_{1}^{2} \frac{x}{3 x+\sqrt{9 x^{2}-1}} \mathrm{~d} x\)

\(=a+b \sqrt{2}+c \sqrt{35}\)

với \(a, b, c\) là các số hữu tỷ, tính \(P=a+2 b+c-7\).?

A. \(-\frac{1}{9}\).

B. \(\frac{86}{27}\).

C. -2 .

D. \(\frac{67}{27}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có\(\int_{1}^{2} \frac{x}{3 x+\sqrt{9 x^{2}-1}} \mathrm{~d} x\)

\(=\int_{1}^{2} x\left(3 x+\sqrt{9 x^{2}-1}\right) \mathrm{d} x\)

\(=\int_{1}^{2}\left(3 x^{2}-x \sqrt{9 x^{2}-1}\right) \mathrm{d} x\)

\(=\int_{1}^{2} 3 x^{2} \mathrm{~d} x-\int_{1}^{2} x \sqrt{9 x^{2}-1} \mathrm{~d} x\)

\(=\left.x^{3}\right|_{1} ^{2}+\int_{1}^{2} x \sqrt{9 x^{2}-1} \mathrm{~d} x\)

\(=7+\int_{1}^{2} x \sqrt{9 x^{2}-1} \mathrm{~d} x\)

Tính \(\int_{1}^{2} x \sqrt{9 x^{2}-1} d x\).

Đặt \(\sqrt{9 x^{2}-1}=t \Rightarrow 9 x^{2}-1\)

\(=t^{2} \Rightarrow x \mathrm{~d} x=\frac{t \mathrm{~d} t}{9}\)

Khi \(x=1\) thì \(t=2 \sqrt{2}\);

khi \(x=2\) thì \(t=\sqrt{35}\).

Khi đó \(\int_{1}^{2} x \sqrt{9 x^{2}-1} \mathrm{~d} x=\int_{2 \sqrt{2}}^{\sqrt{35}} t \frac{t \mathrm{~d} t}{9}\)

\(=\left.\frac{t^{3}}{27}\right|_{2 \sqrt{2}} ^{\sqrt{35}}=\frac{35}{27} \sqrt{35}-\frac{16}{27} \sqrt{2}\)

Vậy \(\int_{1}^{2} \frac{x}{3 x+\sqrt{9 x^{2}-1}} \mathrm{~d} x\)

\(=7-\frac{35}{27} \sqrt{35}+\frac{16}{27} \sqrt{2} \)

\(\Rightarrow a=7, b=\frac{16}{27}, c=-\frac{35}{27}\)

Vậy \(P=a+2 b+c-7\)

\(=7+\frac{32}{27}-\frac{35}{27}-7=-\frac{1}{9}\)

6.2. Bài tập 2.

Cho hàm số \(f(x)\) có \(f(1)=0\) và \(f^{\prime}(x)=2019.2020 x(x-1)^{2018}, \forall x \in \mathbb{R}\)Khi đó \(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\) bằng?

A. \(\frac{2}{2021}\).

B. \(\frac{1}{1011}\).

C. \(-\frac{2}{2021}\).

D. \(-\frac{1}{1011}\).

Lời giải chi tiết:

Cần nhớ: \(\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=f(x)+C\)

và \(\int(a x+b)^{\alpha} \mathrm{d} x\)

\(=\frac{1}{a} \frac{(a x+b)^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C(\alpha \neq-1)\)

Ta có \(f(x)=\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\)

\(= \int 2019.2020 . x(x-1)^{2018} \mathrm{~d} x\)

\(=2019.2020 \int x(x-1)^{2018} \mathrm{~d} x\)

Đặt \(t=x-1 \Rightarrow \mathrm{d} t=\mathrm{d} x\) và \(x=t+1\).

Suy ra

\(f(x)=2019.2020 \int(t+1) t^{2018} \mathrm{~d} t\)

\(=2019.2020 \int\left(t^{2019}+t^{2018}\right) \mathrm{d} t\)

\(=2019.2020\left(\frac{t^{2020}}{2020}+\frac{t^{2019}}{2019}\right)+C\)

\(=2019 t^{2020}+2020 t^{2019}+C \text {. }\)

Từ đó \(f(x)=2019(x-1)^{2020}\)

\(+2020(x-1)^{2019}+C\)

Mà \(f(1)=0 \Leftrightarrow 2019(1-1)^{2020}\)

\(+2020(1-1)^{2019}+C=0 \Leftrightarrow C=0\)

Suy ra \(f(x)=2019(x-1)^{2020}\)

\(+2020(x-1)^{2019}\)

Vậy \(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)

\(=\int_{0}^{1}\left[2019(x-1)^{2020}+2020(x-1)^{2019}\right] \mathrm{d} x\)

\(=\left.\left[2019 \cdot \frac{(x-1)^{2021}}{2021}+2020 \cdot \frac{(x-1)^{2020}}{2020}\right]\right|_{0} ^{1}\)

\(=-\left(-\frac{2019}{2021}+1\right)=-\frac{2}{2021} \text {. }\)

Lời kết

Vậy là Examon đã giúp bạn tổng hợp đầy đủ các kiến thức, công thức và phương pháp giải bài tập tích phân đổi biến qua bài viết trên. Hy vọng rằng bạn đã có cho mình những kiến thức hữu ích và nắm được các công thức và phương pháp giải quyết các bài tập tích phân liên quan đến đổi biến. Để có thể học tốt hơn chương Tích phân nói riêng cũng như môn toán nói chung bạn cần nắm vững các khiến thức về tích phân và cần có phương pháp, kế hoạch giải đề một cách thường xuyên và hiệu quả thì mới nhận được nhiều kết quả tốt và tiền bộ. Vậy bạn có biết vì sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy chưa?

Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau. Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

• Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.

• Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.

• Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!

Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.

Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!

Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.

Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!