Tích phân có cận là các hàm theo biến
Examon dắt các bạn vào một nơi khác của tích phân, nơi cận giới hạn không còn là những con số cố định mà trở thành những hàm số biến đổi linh hoạt theo biến.
Mục lục bài viết
Khi bắt đầu học về tích phân, chúng ta thường gặp những bài toán có cận là các giá trị cố định. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp các bài toán phức tạp hơn, cận có thể là các hàm số phụ thuộc vào biến. Điều này mở ra một phạm vi ứng dụng rộng lớn hơn cũng như những thách thức mới trong quá trình tính toán. Vì vậy, các bạn hãy đọc bài viết này của Examon để có phương pháp giải hiệu quả tích phân.
1. Kiến thức cần nhớ
Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên đoạn \([a ; b]\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a ; b]\).
Hiệu số \(F(a)-F(b)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) của hàm số \(f(x)\), kí hiệu là
\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\]trong đó :
\(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân,
\(a\) là cận dưới, \(b\) là cận trên,
\(f(x) \mathrm{d} x\) là biểu thức dưới dấu tích phân
\(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.
2. Phương pháp tính
Định lý: Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) là hàm khả tích trên \([\mathrm{a} ; \mathrm{b}]\), liên tục tại mọi \(\mathrm{x} \in[\mathrm{a} ; \mathrm{b}]\) thì hàm số \(\mathrm{F}(\mathrm{x})\) xác định bởi \(F(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t\) khả vi tại \(x\) và \(F^{\prime}(x)=f(x)\).
Tổng quát: \(F^{\prime}(x)=\left(\int_{u(x)}^{v(x)} f(t) d t\right)^{\prime}=v^{\prime}(x) f(v(x))-u^{\prime}(x) f(u(x))\)
Phương pháp chung: Để giải những bài toán ở phần này tất cả đều theo 2 bước chính:
- Bước 1: Đạo hàm giả thiết
- Bước 2: Biến đổi kết quả của đạo hàm để suy ra yêu cầu của bài toán.
3. Bài tập minh họa
3.1. Bài tập 1
Bài 1 : Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(R\) và \(3 x^{5}-729=\int_{a}^{x} f(t) d t\). Tìm giá trị của \(a\)?
Lời giải
Lấy đạo hàm hai vế ta được \(15 \mathrm{x}^{4}=\mathrm{f}(\mathrm{x})\)
Từ đây suy ra \(3 x^{5}-729=\int_{a}^{x} 15 x^{4} d t=\left.3 t^{5}\right|_{0} ^{x}=3\left(x^{5}-a^{5}\right) \Rightarrow a=3\)
3.2. Bài tập 2
Bài 2 : Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(R\) thỏa mãn :
\[\mathrm{f}(\mathrm{x})=\int_{0}^{\mathrm{x}}\left[\mathrm{f}^{2}(\mathrm{t})+2 \mathrm{x}\left(\mathrm{f}(\mathrm{t})-\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{t})\right)+\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{t}) \mathrm{f}(\mathrm{t})\right] \mathrm{dt}+\frac{1}{4}\]Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(f(2)\) biết \(f(0)=1\) ?
Lời giải
\(f^{\prime}(x)=f^{2}(x)+2 x\left[f(x)-f^{\prime}(x)\right]+f^{\prime}(x) f(x)\)
\(\Leftrightarrow[f(x)-(2 x+1)]\left(f^{\prime}(x)-f(x)\right)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f(x)=2 x+1 \\ f(x)=f^{\prime}(x)\end{array}\right.\)
Trường hợp 1 : \(\mathrm{f}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}+1 \Rightarrow \mathrm{f}(2)=5\)
Trường hợp 2 : \(\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x}) \Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=\) c. \(\mathrm{e}^{\mathrm{x}}\)
Mặt khác \(f(0)=1\) nên \(f(x)=e^{x} \Rightarrow f(2)=e^{2}\)
3.3. Bài tập 3
Bài 3 : Cho \([\mathrm{f}(\mathrm{x})]^{3}=\int_{0}^{x}\left([\mathrm{f}(\mathrm{t})]^{3}-\left[\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{t})\right]^{3}+3 \mathrm{f}(\mathrm{t})\left[\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{t})\right]^{2}\right) \mathrm{dt}+2018\). Tính \(\mathrm{f}(1)\).
Lời giải
Lấy đạo hàm 2 vế ta có :
\([f(x)]^{3}=[f(x)]^{3}-\left[f^{\prime}(x)\right]^{3}+3 f(x)\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(f(x)-f^{\prime}(x)\right)^{3}=0 \Leftrightarrow f(x)=f^{\prime}(x) \Rightarrow f(x)=c e^{x}\)
Thay vào giải thiết có :
\(\left(\mathrm{ce}^{x}\right)^{3}=\int_{0}^{x}\left(\left(\mathrm{ce}^{t}\right)^{3}-\left(\mathrm{ce}^{t}\right)^{3}+3 \mathrm{ce}^{t}\left(\mathrm{ce}^{t}\right)^{2}\right) \mathrm{dt}+2018\)
\(\Leftrightarrow\left(c e^{x}\right)^{3}=\int_{0}^{x}\left(3 c^{3} e^{3 t}\right) d t+2018=\left.3 c^{3} \cdot \frac{e^{3 t}}{3}\right|_{0} ^{x}+2018\)
\(\Rightarrow c=\sqrt[3]{2018} \Rightarrow f(1)=e \sqrt[3]{2018}\)
4. Lộ trình bứt phá điểm số
Qua bài viết này, chúng ta đã cùng nhau tìm hiểu và khám phá một khía cạnh đặc biệt của Toán học - tích phân có cận là các hàm theo biến. Với những ví dụ và phương pháp cụ thể đã được giới thiệu, hi vọng rằng các bạn không chỉ thấy việc tính toán trở nên dễ dàng hơn mà còn cảm nhận được sự thú vị và tinh tế của toán học.
PHƯƠNG PHÁP HỌC HIỆU QUẢ [TÍCH PHÂN]
Có bao giờ bạn tự hỏi tại điểm kiểm tra của mình thấp không?
Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".
Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?
Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:
Bước 1: Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú
Bước 2: Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện
Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:
| BÀI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SGK | Tiết |
| CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP | 7 |
| Bài 1. Mệnh đề toán học | 3 |
| Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp | 3 |
| Bài tập cuối chương I | 1 |
| CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN | 6 |
| Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 2 |
| Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 3 |
| Bài tập cuối chương II | 1 |
Bước 3: Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp
Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?
Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán
Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi.
Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON
Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 200%
Examon sẽ phân phối chương trình theo từng dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào? mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.
Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:
1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng
2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này
3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.
