TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

1. Mở đầu nguyên hàm

Định nghĩa : Hàm số \(F(x)\) được gọi là nguyên hàm số \(f(x)\) trên \([a;b]\) nếu

\(\begin{array}{c}F^{\prime}(x)=f(x), \forall x \in(a, b) \\ \text { và } F^{\prime}\left(a^{+}\right)=f(a), F^{\prime}\left(b^{-}\right)=f(b)\end{array}\)

2. Tích phân bất định là gì ?

Dựa vào định nghĩa nguyên hàm ta có thể suy ra tích phân bất định như sau :

Tập hợp tất cả những nguyên hàm của \(\mathrm{f}\) trên \([\mathrm{a}, \mathrm{b}]\) được gọi là tích phân bất định của \(\mathrm{f}\) trên [a, b], ký hiệu: \(\int f(x) d x\). Nếu \(\mathrm{F}\) là một nguyên hàm của \(\mathrm{f}\) thì

\[\int f(x) d x=\{F(x)+C | C \in R\}\]

Viết gọn: \(\int f(x) d x=F(x)+C\)

3. Tích chất

\(\begin{array}{l}\left(1)\int f(x) d x\right)^{\prime}=f(x) . \\ (2)\int F^{\prime}(x) d x=F(x) + C\end{array}\)

\((3)\begin{aligned} & \int[f(x)+b g(x)] d x = a \cdot \int f(x) d x+b \cdot \int g(x) d x\end{aligned}\)

4. Bảng tích phân cơ bản

(1). \(\int d x=x+C\)

(2). \(\int 0 d x=C\)

(3). \(\int x^{a} d x=\frac{x^{a+1}}{\alpha+1}+C\)

(4). \(\int(a x+b)^{n} d x=\frac{(a x+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C\)

(5). \(\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x=\tan x+C\)

(6). \(\int \frac{1}{\sin ^{2} x} d x=-\cot x+C\)

(7). \(\int \frac{d x}{x}=\ln |x|+C\)

(8). \(\int \frac{1}{a x+b} d x=\frac{1}{a} \ln |a x+b|+C\)

(9). \(\int e^{x} d x=e^{x}+C\)

(10). \(\int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C(a\gt 0, a \neq 1)\)

(11). \(\int \cos x d x=\sin x+C\)

(12). \(\int \sin x d x=-\cos x+C\)

(13). \(\int \frac{1}{2 \sqrt{x}} dx=\sqrt{x}+\mathrm{C}\)

(14). \(\int \frac{d x}{\sqrt{a x+b}}=\frac{2}{a} \sqrt{a x+b}+C\)

(15). \(\int \mathrm{e}^{\mathrm{ax}+\mathrm{b}} \mathrm{dx}=\frac{1}{\mathrm{a}} \mathrm{e}^{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}+\mathrm{C}\)

(16). \(\int \frac{1}{(\mathrm{ax}+\mathrm{b})^{2}} \mathrm{dx}=-\frac{1}{\mathrm{a}} \cdot \frac{1}{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}+\mathrm{C}\)

(17). \(\int \cos (\mathrm{ax}+\mathrm{b}) \mathrm{dx}=\frac{1}{\mathrm{a}} \sin (\mathrm{ax}+\mathrm{b})+\mathrm{C}\)

(18). \(\int \sin (a x+b) d x=-\frac{1}{a} \cos (a x+b)+C\)

(19). \(\int \frac{1}{\sin ^{2}(\mathrm{ax}+\mathrm{b})} \mathrm{dx}=-\frac{1}{\mathrm{a}} \cot (\mathrm{ax}+\mathrm{b})+\mathrm{C}\)

(20). \(\int \frac{1}{\cos ^{2}(a x+b)} d x=\frac{1}{a} \tan (a x+b)+C\)

5. Các phương pháp tính tích phân bất định

5.1. Áp dụng bảng tích phân cơ bản

Ví dụ : Tính tích phân \(\int\left(2 x \sqrt{x}-2^{x}\right) d x\).

Lời giải

\(\int\left(2 x \sqrt{x}-2^{x}\right) d x\)

\(\begin{array}{l}=2 \cdot \int x^{3 / 2} d x-\int 2^{x} d x \\ =2 \cdot \frac{x^{5 / 2}}{5 / 2}-\frac{2^{x}}{\ln 2}+c \\ =\frac{4}{5} \cdot \sqrt{x^{5}}-\frac{2^{x}}{\ln 2}+C\end{array}\)

5.2. Phương pháp đổi biến

Phương pháp :

Giả sử f là hàm số có nguyên hàm trên miền \(K\).

Đặt \(x=\varphi(t)\), với \(\varphi\) là hàm khả vi đơn điệu đối với biến t và miền giá trị của \(\varphi(t)\) chứa trong \(K\).

Khi đó

\[\int f(x) d x=\int f(\varphi(t)) \varphi^{\prime}(t) d t\]

Ví dụ : Tính \(I=\int \frac{\sin \sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x\).

Lời giải

Đặt \(x=t^{3} \Rightarrow d x=3 t^{2} d t, \sqrt[3]{x^{2}}=t^{2}, \sqrt[3]{x}=t\)

\[\Rightarrow I=\int \frac{(\sin t) 3 t^{2} d t}{t^{2}}=\int 3 \sin t d t=-3 \cos t+C\]

\(\Rightarrow I=-3 \cos \sqrt[3]{x}+C\)

5.3. Tích phân từng phần

Phương pháp :

\[\int u d v=u \cdot v-\int v d v\]

Chú ý : Thứ tự ưu tiên đặt u : nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ.

Ví dụ : Tính : \(\int x^{2} e^{x} d x\)

Lời giải

Đặt

\(u=x^{2} \Rightarrow d u=2 x d x\)

\(d v=e^{x} d x\), chọn \(v=e^{x}\)

Do đó: \(\int x^{2} e^{x} d x=u v-\int v d u=x^{2} e^{x}-\int 2 x e^{x} d x\)

Đặt \(u=2 x \Rightarrow d u=2 d x ; d v=e^{x} d x\) chọn \(v=e^{x}\)

\[\Rightarrow \int x^{2} e^{x} d x=x^{2} e^{x}-\left[2 x e^{x}-\int 2 e^{x} d x\right]=x^{2} e^{x}-2 x e^{x}+2 e^{x}+C\]

6. Sai lầm khi luyện đề

Hy vọng rằng sau khi đọc bài viết này, các bạn học sinh đã có cái nhìn tổng quan và hiểu rõ hơn về tích phân bất định. Đừng ngần ngại thắc mắc hay tiếp tục tìm hiểu về chủ đề này, vì kiến thức toán học sẽ luôn là một nguồn cảm hứng không ngừng cho sự sáng tạo và khám phá. Hãy cùng nhau học tập và khám phá thế giới toán học đầy mê hoặc này nhé! Chúc các bạn thành công và hứng thú trong việc học tập!

Các bạn học sinh hay mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Bộ đề ôn thi cấp tốc 30 ngày cùng Examon

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!