Tập xác định của hàm số lượng giác

1. Lý thuyết

* Tập xác định của hàm số lượng giác

- Hàm số \(y=\sin x, y=\cos x\) xác định trên \(\mathbb{R}\).Khi đó, \(\mathrm{y}=\sin [\mathrm{u}(\mathrm{x})], \mathrm{y}=\cos [\mathrm{u}(\mathrm{x})]\) xác định khi và chỉ khi \(\mathrm{u}(\mathrm{x})\) xác định.

- Hàm số \(\mathrm{y}=\tan \mathrm{x}\) có tập xác định là \(\mathrm{D}=\mathbb{R} \backslash\left\{\left.\frac{\pi}{2}+\mathrm{k} \pi \right\rvert\, \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\right\}\).Khi đó, \(\mathrm{y}=\tan [\mathrm{u}(\mathrm{x})]\) có nghĩa khi và chỉ khi \(\mathrm{u}(\mathrm{x})\) xác định và \(u(x) \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z}\).

- Hàm số \(y=\cot x\) có tập xác định là \(D=\mathbb{R} \backslash\{k \pi \mid k \in \mathbb{Z}\}\).Khi đó, \(y=\cot [u(x)]\) có nghĩa khi và chỉ khi \(u(x)\) xác định và \(u(x) \neq k \pi, k \in \mathbb{Z}\).

2. Chú ý

* Một số chú ý khi tìm điè̀u kiện xác định:

- Hàm số \(y=\sqrt{f(x)}\) xác định khi \(\mathrm{f}(\mathrm{x}) \geq 0\).- Hàm số \(y=\frac{1}{f(x)}\) xác định khi \(\mathrm{f}(\mathrm{x}) \neq 0\).

- Hàm số \(y=\frac{1}{\sqrt{f(x)}}\) xác định khi \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\gt 0\).

- Một số trường hợp đặc biệt:

\[\begin{array}{l}\sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k \pi, k \in \mathbb{Z} \\\cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z} \\\sin x \neq \pm 1 \Leftrightarrow x \neq \pm \frac{\pi}{2}+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z} \\\cos x \neq 1 \Leftrightarrow x \neq k 2 \pi, k \in \mathbb{Z} \\\cos x \neq-1 \Leftrightarrow x \neq \pi+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z}\end{array}\]

3. Ví dụ

Dưới đây là một số ví dụ tìm về tập xác định của hàm số lượng giác

Ví dụ 1:

Ví dụ 1.Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y=\tan \left(x-\frac{\pi}{6}\right)\);

b) \(y=\cot \left(-2 x-\frac{\pi}{3}\right)\)

Lời giải

a) Biểu thức \(\tan \left(x-\frac{\pi}{6}\right)\) có nghĩa khi \(\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right) \neq 0\), tức là \(x-\frac{\pi}{6} \neq \frac{\pi}{2}+k \pi(k \in \mathbb{Z})\). Hay \(x \neq \frac{2 \pi}{3}+k \pi(k \in \mathbb{Z})\).

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \(\mathrm{D}=\mathbb{R} \backslash\left\{\left.\frac{2 \pi}{3}+\mathrm{k} \pi \right\rvert\, \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\right\}\).

b) Biểu thức \(\cot \left(-2 x-\frac{\pi}{3}\right)\) có nghĩa khi và chỉ khi \(-2 x-\frac{\pi}{3} \neq k \pi(k \in \mathbb{Z})\), tức là \(x \neq-\frac{\pi}{6}-\frac{k \pi}{2} \quad(k \in \mathbb{Z})\).

Tập xác định của hàm số là \(\mathrm{D}=\mathbb{R} \backslash\left\{-\frac{\pi}{6}-\frac{\mathrm{k} \pi}{2}, \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\right\}\).

Ví dụ 2:

Ví dụ 2.Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y=\frac{\sin 2 x+1}{\sin 4 x-1}\)

b) \(y=2 \cos \sqrt{x^{2}-3 x+2}\).

Lời giải

a) Biểu thức \(\frac{\sin 2 x+1}{\sin 4 x-1}\) có nghĩa khi \(\sin 4 \mathrm{x} \neq 1\), tức là \(4 x \neq \frac{\pi}{2}+k 2 \pi(k \in \mathbb{Z})\).

Hay \(x \neq \frac{\pi}{8}+\frac{k \pi}{2}(k \in \mathbb{Z})\).

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \(\mathrm{D}=\mathbb{R} \backslash\left\{\left.\frac{\pi}{8}+\frac{\mathrm{k} \pi}{2} \right\rvert\, \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\right\}\).

b) Biểu thức \(2 \cos \sqrt{x^{2}-3 x+2}\) có nghĩa khi \(x^{2}-3 x+2 \geq 0\), tức là \(x \leq 1\) hoặc \(x \geq 2\).

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \(D=(-\infty ; 1]\) U \([2 ;+\infty)\).

Ví dụ 3:

Ví dụ 3. Tìm \(m\) để hàm số \(y=\sqrt{5-m \sin x-(m+1) \cos x}\) xác định trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải

Hàm số xác định trên \(\mathbb{R}\) khi chỉ khi \(5-m \sin x-(m+1) \cos x \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}\)

\[\begin{array}{l}\Leftrightarrow \mathrm{m} \sin \mathrm{x}+(\mathrm{m}+1) \cos \mathrm{x} \leq 5, \forall \mathrm{x} \in \mathbb{R} \\\Leftrightarrow \frac{m}{\sqrt{m^{2}+(m+1)^{2}}} \sin x+\frac{m+1}{\sqrt{m^{2}+(m+1)^{2}}} \cos x \leq \frac{5}{\sqrt{m^{2}+(m+1)^{2}}}, \forall x \in \mathbb{R} \\\left.\Leftrightarrow \sin (x+\alpha) \leq \frac{5}{\sqrt{m^{2}+(m+1)^{2}}}, \forall x \in \mathbb{R} \text { (với a thỏa mãn } \cos \alpha=\frac{m}{\sqrt{m^{2}+(m+1)^{2}}}\right) \\\Leftrightarrow \frac{5}{\sqrt{2 m^{2}+2 m+1}} \geq 1 \Leftrightarrow \sqrt{2 m^{2}+2 m+1} \leq 5 \\\Leftrightarrow 2 m^{2}+2 m-24 \leq 0 \Leftrightarrow-4 \leq m \leq 3 .\end{array}\]

Vậy \(m \in[-4 ; 3]\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

4. Lời kết

Hy vọng những kiến thức trên đây sẽ giúp các bạn làm tốt các bài tập phần tích phân. Điều gì quan trọng thì luôn phải nhắc 3 lần: “làm bài nhớ tập xác định, làm bài tập xác định, làm bài nhớ tập xác định”, ghi nhớ điều này thì bạn sẽ hạn chế được lỗi sai khi làm bài.

5. Tích phân không khó

Lượng giác là một chương toán với nhiều dạng đề khó nên hãy tập trung nghe giảng và làm bài tập để học tốt chương này bạn nhé.

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!