Tài liệu tự học Nguyên hàm
Hãy bắt đầu với việc học bảng nguyên hàm kết hợp làm thêm bài tập đơn giản để hiểu sâu hơn trước khi đi đến các dạng nâng cao.
Mục lục bài viết
Tài liệu tự học được thiết kế để cung cấp cho bạn những kiến thức và các đầu mục bài tập cần có để có thể tự học về Nguyên hàm. Đây là những kinh nghiệm đã được tích lũy và có chọn lọc một cách cẩn thận dành cho các bạn học sinh 12.
Chúc bạn học thật tốt, thật vui nhé qua Tài liệu tự học Nguyên hàm này nhé!
1. Nguyên hàm dạng bảng
Với dạng CT:
\(\int k d x=k x+C \quad(k=\) const \()\)
Ta có bảng Nguyên Hàm sau:
\(\int 0 \mathrm{~d} x=C\)
\(\int 1 \mathrm{~d} x=x+C\)
\(\int x^{\alpha} \mathrm{d} x=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\)
\(\int \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\ln |x|+C\)
\(\int \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x=\mathrm{e} e^{x}+C\)
\(\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} \mathrm{~d} u=\sqrt{u}+C\)
\(\int a^{x} \mathrm{~d} x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C\)
\(\int \cos x \mathrm{~d} x=\sin x+C\)
\(\int \sin x \mathrm{~d} x=-\cos x+C\)
\(\int \frac{1}{\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x=\tan x+C\)
\(\int \frac{1}{\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x=-\cot x+C\)
\(\int \frac{1}{2 \sqrt{x}} \mathrm{~d} x=\sqrt{x}+C\)
TỪ bảng cơ bản ta có được bản Nguyên Hàm rộng hơn :
\(\int 0 \mathrm{~d} u=C\)
\(\int 1 \mathrm{~d} u=u+C\)
\(\int u^{\alpha} \mathrm{d} u=\frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\)
\(\int \frac{1}{u} \mathrm{~d} u=\ln |u|+C\)
\(\int \mathrm{e}^{u} \mathrm{~d} u=\mathrm{e}^{u}+C\)
\(\int \cos u \mathrm{~d} u=\sin u+C\)
\(\int \frac{1}{\cos ^{2} u} \mathrm{~d} u=\tan u+C\)
\(\int \frac{1}{\sin ^{2} u} \mathrm{~d} u=-\cot u+C\)
2. Nguyên hàm dạng bài tập
2.1. NH hàm số cơ bản
Dạng 1: Nguyên hàm của hàm số mũ và hàm số đa thức
- \(\int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\) (với \(n \neq-1\) )
- \(\int e^{x} d x=e^{x}+C\)
- Bài tập 1: Tìm NH của \(f(x)=x^{3}\).
-Lời giải:\(\int x^{3} d x=\frac{x^{4}}{4}+C\)
- Bài tập 2: Tìm NH của \(f(x)=e^{x}\).
- Lời giải: \(\int e^{x} d x=e^{x}+C\)
Dạng 2: NH của hàm lượng giác
- \(\int \sin (x) d x=-\cos (x)+C\)
- \(\int \cos (x) d x=\sin (x)+C\)
- \(\int \tan (x) d x=-\ln |\cos (x)|+C\)
- BT 1 Tìm nguyên hàm của \(f(x)=\sin (x)\).
- Cách giải: \(\int \sin (x) d x=-\cos (x)+C\)
- Bài tập 2: Tìm NH của \(f(x)=\cos (x)\).
- Lời giải: \(\int \cos (x) d x=\sin (x)+C\)
Dạng 3: NH của hàm logarit
- \(\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C\)
- Baitap: Tìm NH của \(f(x)=\frac{1}{x}\).
-Lời giải: \(\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C\)
2.2. NH hàm phức tạp
Dạng 1: NH của hàm hợp sử dụng PP đổi biến
- Nếu \(u=g(x)\),
thì \(\int f(g(x)) g^{\prime}(x) d x=\int f(u) d u\).
Ví dụ: \(\int x e^{x^{2}} d x\)
Đă̆t \(u=x^{2}, d u=2 x d x\),
suy ra:
\[\int x e^{x^{2}} d x=\frac{1}{2} \int e^{u} d u=\frac{1}{2} e^{u}+C=\frac{1}{2} e^{x^{2}}+C\]
3. Tìm Nguyên hàm
3.1. PP đổi biến tổng quát
- Bước 1: Chọn \(t=\varphi(x)\).
Trong đó \(\varphi(x)\)là hàm số thích hợp
- Bước 2: Tính vi phân 2 vế \(\mathrm{dt}=\varphi^{\prime}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}\)
- Bước 3:
Biểu thị \(\mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}=\mathrm{g}[\varphi(\mathrm{x})] \varphi^{\prime}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}=\mathrm{g}(\mathrm{t}) \mathrm{dt}\)
- Bước 4: Khi đó
\(I=\int f(x) d x=\int g(t) d t=G(t)+C\)
Ví dụ:
Tìm NH của hàm số \(I=\int \frac{1}{x \sqrt{\ln x+1}} d x\)
Hướng dẫn làm
-Bước 1: Chọn \(t=\sqrt{\ln x+1} \Rightarrow t^{2}=\ln x+1\)
- Bước 2: Tính vi phân 2 vế \(\mathrm{dt}=-3 \sin x . \mathrm{dx}\)
- Bước 3: Biểu thị \(\int f(x) d x=-\frac{1}{3} \int \frac{1}{t} . d t\)
- Bước 4: Khi đó
\(I=-\frac{1}{3} \ln |t|+C=-\frac{1}{3} \ln |1+3 \cos x|+C\)
Lợi ích của tự học
- Tự học là gì ? Hiểu đơn giản, tự học chính là tự tìm tòi, học hỏi kiến thức, chủ động tiếp thu thông tin và kiến thức mới. Quá trình tự học có thể thông qua các tài liệu như sách vở, internet, hoặc qua bạn bè thầy cô cha mẹ,...mà không cần ai phải nhắc nhở
2. Ý nghĩa: Người học sẽ không phụ thuộc vào người dạy, mà là người tự làm chủ kiến thức của mình. Nếu không tự học bạn sẽ k theo kịp kiến thức trên lớp, cũng như mở rộng thêm kiến thức cho mình.
3. Lợi ích :
- luôn cập nhật kiến thức hằng ngày, hằng giờ
- Giúp ng học biết thêm nhiều kiến thức mới mẻ, bổ ích
- mà không có trong sách vở,..
- Cải thiện năng suất và hiệu quả học tập
- Nâng cao kỹ năng mềm,...
- Giúp mỗi người phát triển bản thân và trở nên toàn diện hơn
Giá trị tốt đẹp của bộ đề
Việc đi học thêm 1 lớp có 30 hóc sinh nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi hs đều có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi TíCH \(\mathrm{PHÂN}\) yếu XÁC SUẤT như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng \(1 / 2\) time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VECTO giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.
Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phẩm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư Al sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIÊM SỐ nhanh \(200 \%\)
Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau:
1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học là điều cần thiết đối với mỗi người
2: Nâng cao tư duy giải bàii: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này
3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian hơn để khám phá lỗi sai của bản thân chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.
Từ tiêu chí số \(\mathbf{3}\) Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ Al Gia sư Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống đề thi Examon, gia sư Al sẽ ghi lại tất cả các lỗi sai của bạn đưa về hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh giúp nhanh cán mốc ĐIEื̉M SỐ mình mơ ước.