Sự liên hệ giữa nguyên hàm và tích phân
Với mối liên hệ giữa nguyên hàm và tích phân sau đây bạn sẽ có thêm sự hiểu rõ về các điểm khác biệt của nguyên hàm.
Mục lục bài viết
Nguyên hàm và tích phân là hai khái niệm quan trọng trong giải tích và có mối quan hệ mật thiết với nhau. Sự liên hệ này được thể hiện rõ nhất qua định lý cơ bản của giải tích
Dưới đây là phân tích chi tiết về mối liên hệ giữa nguyên hàm và tích phân. Cùng tìm hiểu nhé!
1. Nguyên hàm
Định nghĩa:
Nguyên hàm của một hàm số f(x) là một hàm F(x) sao cho F'(x) = f(x). Tập hợp tất cả các nguyên hàm của f(x) được gọi là họ nguyên hàm của f(x) và được viết dưới dạng F(x)+C trong đó C là hằng số tùy ý
Ví dụ:
Nguyên hàm của f(x)=3x^2 là F(x) = x^3 + C, với C là hằng số tùy ý
2. Tích phân
2.1. Tích phân xác định
Tích phân xác định của một hàm số f(x) từ a đến b là giá trị giới hạn của tổng các giá trị f(x) nhân với các đoạn chia nhỏ của miền giá trị từ a đến b
Nó được kí hiệu là \(\int_{a}^{b}\)f(x)dx
\(\int_{a}^{b}\)f(x) dx = F(b) - F(a)
2.2. Tích phân bất định
Tích phân bất định của một hàm số f(x) là tập hợp tất cả các nguyên hàm của f(x).
Nó được kí hiệu là \(\int f(x)\) dx và bằng F(x)+C
3. Định lí cơ bản của giải tích
3.1. Phần 1
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a,b] thì :
\(\int_{a}^{b}\)f(x) dx = F(b) - F(a)
Điều này có nghĩa là để tính tích phân xác định của f(x) từ a đến b, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm của f(x) và lấy giá trị cảu nó tại b trừ đi giá trị của nó tại a
3.2. Phần 2
Nếu f(x) liên tục trên [a,b] và F(x) = \(\int_{a}^{x}\)f(t)dt, thì F(x) là một nguyên hàm của f(x)
Nói cách khác F'(x)=f(x)
Điều này khẳng định rằng nguyên hàm có thể được tính bằng cách tính tích phân hàm số từ một điểm cố định đến biến số x
4. Ví dụ minh họa
4.1. Tìm tích phân xác định của hàm bậc hai
Gia sử chúng ta cần tích tích phân của hàm số \(f(x)=3 x^{2}\) từ 0 đến 2
b1. tìm nguyên hàm của f(x)
Nguyên hàm của \(f(x)=3 x^{2}\) là \(F(x)\).
áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản
\[\int 3 x^{2} d x=3 \int x^{2} d x=3 \cdot \frac{x^{3}}{3}+C=x^{3}+C\]Vậy \(F(x)=x^{3}+C\).
b2. áp dụng định lí cơ bản của giải tích tính tích phân xác định
\[\int_{0}^{2} 3 x^{2} d x=F(2)-F(0)\]Với \(F(x)=x^{3}\), ta có
\[\begin{array}{l}F(2)=2^{3}=8 \\F(0)=0^{3}=0\end{array}\]do đó
\[\int_{0}^{2} 3 x^{2} d x=8-0=8\]
4.2. Tính tích phân xác định của hàm bật nhớ
Gia sử chúng ta cần tính tích phân xác định của hàm số \(f(x)=4 x+1\) từ 1 đến 3
b1. tìm nguyên hàm của f(x)
nguyên hàm của \(f(x)=4 x+1\) là \(F(x)\).
ta tính như sau
\[\int(4 x+1) d x=\int 4 x d x+\int 1 d x\]áp dụng công thức
\[\begin{array}{l}\int 4 x d x=4 \int x d x=4 \cdot \frac{x^{2}}{2}=2 x^{2} \\\int 1 d x=x\end{array}\]vậy
\[\int(4 x+1) d x=2 x^{2}+x+C\]Vậy \(F(x)=2 x^{2}+x+C\).
b2. áp dụng định lí cơ bản của giải tích, tính tích phân xác định
\[\int_{1}^{3}(4 x+1) d x=F(3)-F(1)\]Với \(F(x)=2 x^{2}+x\), ta có
\[\begin{array}{l}F(3)=2 \cdot 3^{2}+3=2 \cdot 9+3=18+3=21 \\F(1)=2 \cdot 1^{2}+1=2 \cdot 1+1=2+1=\curvearrowleft\end{array}\]do đó
\(\int_{1}^{3}(4 x+1) d x=21-3=18\)
4.3. Tính tích phân xác định của hàm số mũ
tính tích phân xác định của hàm số \(f(x)=e^{x}\) từ 0 đến 1 .
nguyên hàm của \(f(x)=e^{x}\) là \(F(x)\) :
\[\int e^{x} d x=e^{x}+C\]vậy \(F(x)=e^{x}+C\).
tính tích phân xác định
\[\int_{0}^{1} e^{x} d x=F(1)-F(0)\]Với \(F(x)=e^{x}\), ta có:
\[\begin{array}{l}F(1)=e^{1}=e \\F(0)=e^{0}=1\end{array}\]do đó
\[\int_{0}^{1} e^{x} d x=e-1\]
4.4. Tính tích phân xác định của hàm lượng giác
tính tích phân xác định của hàm số \(f(x)=\sin x\) từ 0 đến \(\frac{\pi}{2}\).
b1. Nguyên hàm của \(f(x)=\sin x\) là \(F(x)\) :
\[\int \sin x d x=-\cos x+C\]Vậy \(F(x)=-\cos x+C\).
b2. tính tích phân xác định
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x=F\left(\frac{\pi}{2}\right)-F(0)\]Với \(F(x)=-\cos x\), ta có
\[\begin{array}{l}F\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)=-0=0 \\F(0)=-\cos (0)=-1\end{array}\]do đó
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x=0-(-1)=1\]
CẦM NANG ÔN THI
Qua các ví dụ minh họa trên, chúng ta thấy rõ mỗi liên hệ giữa nguyên hàm và tích phân. Việc tìm nguyên hàm của hàm số là bước cơ bản để tính tích phân xác định, nhờ vào định lý cơ bản của giải tích.
Điều này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về các áp dụng nguyên hàm trong việc tính toán các giá trị tích phân xác định trong thực tế
Việc đi học thêm 1 lớp có 30 hs nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đều có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi VĂN HỌC yếu SINH HỌCnhư vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng \(1 / 2\) time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VẬT LÝ giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.
Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phẩm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư Al sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIẺ̉M SỐ nhanh \(200 \%\)
Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau:
1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định
2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này
3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.
Từ tiêu chí số \(\mathbf{3}\) Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ Al Gia sư Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống đề thi Examon,
gia sư Al sẽ ghi lại tất cả các lỗi sai của bạn đưa vể hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh
Từ đó đưa ra các đề xuất bài tập phù hợp với từng cá nhân nhằm giúp người học rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc ĐIÊM SỐ mình mơ ước.