Sử dụng đạo hàm để tính tích phân

\((u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}\)

Nếu \([f(x) \cdot g(x)]^{\prime}=h(x)\) thì \(f(x) \cdot g(x)=\int h(x) d x\).

Nếu \(u=u(x)\) và \(v=v(x)\) thì \(\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}}\) với \(v \neq 0\).

Nếu \(\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^{\prime}=h(x)\) thi \(\frac{f(x)}{g(x)}=\int h(x) d x\).

Đặc biệt : 

Nếu \(u=u(x)\) thì \(\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{u^{2}}\) với \(u \neq 0\).

Nếu \(\left(\frac{1}{f(x)}\right)^{\prime}=g(x)\) thì \(\frac{1}{f(x)}=\int g(x) d x\)

Nếu \(u=u(x)\) thì \((\sqrt{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}\) với \(u\gt 0\).

Nếu \([\sqrt{f(x)}]^{\prime}=h(x)\) thì \(\sqrt{f(x)}=\int h(x) d x\).

Nếu \(u=u(x)\) thì \(\left(e^{u}\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot e^{u}\);

Nếu \(\left(e^{f(x)}\right)^{\prime}=g(x)\) thì \(e^{f(x)}=\int g(x) d x\).

Nếu \(u=u(x)\) nhận giá trị dương trên \(K\) thì \([\ln u]^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}\) trên \(K\).

Nếu \([\ln (f(x))]^{\prime}=g(x)\) thì \(\ln (f(x))=\int g(x) d x\).

Bài 1 : Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn điều kiện: \(x^{6}\). \(\left[f^{\prime}(x)\right]^{3}+\) 27. \([f(x)-1]^{4}=0, \forall x \in \mathbb{R}\) và \(f(1)=0\). Giá trị của \(f(2)\) bằng bao nhiêu ?

Lời giải

Ta có:

\(x^{6} \cdot\left[f^{\prime}(x)\right]^{3}+27 \cdot[f(x)-1]^{4}=0, \forall x \in \mathbb{R}\).

\(x^{6} \cdot\left[f^{\prime}(x)\right]^{3}=-27 \cdot[f(x)-1]^{4}\).

\(\Rightarrow \frac{\left[f^{\prime}(x)\right]^{3}}{[f(x)-1]^{4}}=-\frac{27}{x^{6}} \Leftrightarrow \frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt[3]{f(x)-1} \cdot[f(x)-1]}=-\frac{3}{x^{2}}\).

\(\Rightarrow \int \frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt[3]{f(x)-1}[f(x)-1]} \mathrm{d} x=\int-\frac{3}{x^{2}} \mathrm{~d} x \quad(*)\).

Đặt \(t=\sqrt[3]{f(x)-1} \Rightarrow t^{3}=f(x)-1 \Rightarrow 3 t^{2} \mathrm{~d} t=f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\)

(*) \(\Rightarrow \int \frac{3}{t^{2}} \mathrm{~d} t=\int \frac{-3}{x^{2}} \mathrm{~d} x \Rightarrow-\frac{3}{t}=\frac{3}{x}+C \Rightarrow \frac{-3}{\sqrt[3]{f(x)-1}}=\frac{3}{x}+C\).

\(\begin{array}{l}\text { Vì } f(1)=0 \Rightarrow \frac{-3}{\sqrt[3]{f(1)-1}}=\frac{3}{1}+C \Rightarrow C=0 \\ \Rightarrow \sqrt[3]{f(x)-1}=-x \Rightarrow f(x)=1-x^{3} \Rightarrow f(2)=-7\end{array}\)

Bài 2 : Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f^{\prime}(x)+2 x . f(x)=\mathrm{e}^{x} f(x)\) với \(f(x) \neq 0, \forall x\) và \(f(0)=1\). Tính \(|f(1)|\) 

Lời giải

Từ già thiết: \(f^{\prime}(x)+2 x . f(x)=\mathrm{e}^{x} f(x)\), ta có

Mà \(f(0)=1\) nên \(C=-1\). 

Khi đó ta được: \(\ln |f(x)|=\mathrm{e}^{x}-x^{2}-1\). 

Thế \(x=1\), ta có: \(\ln |f(1)|=\mathrm{e}-2 \Rightarrow|f(1)|=\mathrm{e}^{\mathrm{e}-2}\).

Bài 3 : Cho \(f(x)\) liên tục không âm trên \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\), thỏa mãn \(f(x) \cdot f^{\prime}(x)=\cos x \sqrt{1+f^{2}(x)}\) với mọi \(x \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\) và \(f(0)=\sqrt{3}\). Giá trị của \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)\) bằng bao nhiêu ? 

Lời giải

Với \(x \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\) ta có \(f(x) \cdot f^{\prime}(x)=\cos x \sqrt{1+f^{2}(x)} \Rightarrow \frac{2 f(x) \cdot f^{\prime}(x)}{2 \sqrt{1+f^{2}(x)}}=\cos x(*)\).

Suy ra \(\sqrt{1+f^{2}(x)}=\sin x+C\).

Ta có \(f(0)=\sqrt{3} \Rightarrow C=2\), dẫn đến \(f(x)=\sqrt{(\sin x+2)^{2}-1}\). 

Vậy \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)=2 \sqrt{2}\).