Sử dụng cung liên kết để tính các giá trị lượng giác

1. Phương pháp giải

1.1 Cách làm

Sử dụng công thức các cung có liên quan đặc biệt.

1.2 Kiến thức cần nhớ

a/ Cung đối nhau : \(\alpha\) và \(-\alpha\)

\[\begin{array}{ll}\cos (-\alpha)=\cos \alpha & \sin (-\alpha)=-\sin \alpha \\\tan (-\alpha)=-\tan \alpha & \cot (-\alpha)=-\cot \alpha\end{array}\]

b/ Cung bù nhau: \(\alpha\) và \(\pi-\alpha\)

\[\begin{array}{ll}\sin (\pi-\alpha)=\sin \alpha & \cos (\pi-\alpha)=-\cos \alpha \\\tan (\pi-\alpha)=-\tan \alpha & \cot (\pi-\alpha)=-\cot \alpha\end{array}\]

c/ Cung hơn kém : \(\alpha\) và \(\pi+\alpha\)

\(\sin (\pi+\alpha)=-\sin \alpha \quad \cos (\pi+\alpha)=-\cos \alpha\)\(\tan (\pi+\alpha)=\tan \alpha \quad \cot (\pi+\alpha)=\cot \alpha\)

d/ Cung phụ nhau: \(\alpha\) và \(\frac{\pi}{2}-\alpha\)

\[\begin{array}{ll}\sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos \alpha & \cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin \alpha \\\tan \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cot \alpha & \cot \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\tan \alpha\end{array}\]

2. Ví dụ minh họa

2.1 Ví dụ 1

Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha=\frac{2017 \pi}{3}\).

Lời giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}\text {} \frac{2017 \pi}{3}=\frac{\pi}{3}+672 \pi \\ \Rightarrow \cos \left(\frac{2017 \pi}{3}\right)=\cos \left(\frac{\pi}{3}+672 \pi\right)=\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} . \\ \Rightarrow \sin \frac{2017 \pi}{3}=\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \tan \frac{2017 \pi}{3}=\sqrt{3} \text { , } \cot \frac{2017 \pi}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}} .\end{array}\)

2.2 Ví dụ 2

Rút gọn biểu thức \(A=\cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\cos (2 \pi-x)+\cos (3 \pi+x)\).

Lời giải chi tiết

Ta có

\(\left\{\begin{array}{l}\cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x \\ \cos (2 \pi-x)=\cos x \quad \Rightarrow A=-\sin x+\cos x-\cos x=-\sin x \text {. } \\ \cos (3 \pi+x)=-\cos x\end{array}\right.\)

2.3 Ví dụ 3

Cho tam giác \(A B C\), chứng minh rằng \(\sin (A+B+2 C)=-\sin C\).

Lời giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}\text { } A+B+C=180^{\circ} \Rightarrow A+B+2 C=180^{\circ}+C \text {. } \\ \Rightarrow \sin (A+B+2 C)=\sin \left(180^{\circ}+C\right)=-\sin C .\end{array}\)

3. Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho \(\tan (\pi+x)=1-\sqrt{2}\) với \(\frac{3 \pi}{2}\lt \alpha\lt 2 \pi\). Tính \(\cot \left(\frac{\pi}{2}+x\right)\).

Bài 2. Tính giá trị của biểu thức

\(A=\sin \frac{7 \pi}{6}+\cos 9 \pi+\tan \left(-\frac{5 \pi}{4}\right)+\cot \frac{7 \pi}{2}\).

Bài 3. Rút gọn biểu thức \(D=\cos (5 \pi-x)-\sin \left(\frac{3 \pi}{2}+x\right)+\tan \left(\frac{3 \pi}{2}-x\right)+\cot (3 \pi-x)\).

Bài 4. Rút gọn biểu thức \(A=\cos (5 \pi-x)-\sin \left(\frac{3 \pi}{2}+x\right)+\tan \left(\frac{3 \pi}{2}-x\right)+\cot (3 \pi-x)\).

Bài 5. Với điều kiện có nghĩa, hãy rút gọn biểu thức sau

\[B=\sqrt{2}-\frac{1}{\sin (x+2013 \pi)} \cdot \sqrt{\frac{1}{1+\cos x}+\frac{1}{1-\cos x}} \text { với } \pi\lt x\lt 2 \pi \text {. }\]

Bài 6. Tính \(\mathrm{L}=\tan 20^{\circ} \cdot \tan 45^{\circ} \cdot \tan 70^{\circ}\).

Bài 7. Tính \(G=\cos ^{2} \frac{\pi}{6}+\cos ^{2} \frac{2 \pi}{6}+\ldots+\cos ^{2} \frac{5 \pi}{6}+\cos ^{2} \cos ^{2} \pi\).

Bài 8. Tính \(A=\sin 390^{\circ}-2 \sin 1140^{\circ}+3 \cos 1845^{\circ}\).

Bài 9. Tính giá trị biểu thức \(\frac{\tan 225^{\circ}-\cot 81^{\circ} \cdot \cot 69^{\circ}}{\cot 261^{\circ}+\tan 201^{\circ}}\).

Bài 10. Tính \(\cos a+\cos \left(a+\frac{\pi}{5}\right)+\cos \left(a+\frac{2 \pi}{5}\right)+\ldots+\cos \left(a+\frac{9 \pi}{5}\right)\).

4. Nâng cấp kiến thức cùng Examon

Qua bài viết, Examon đã giới thiệu cho các bạn về phương pháp giải, ví dụ minh họa cũng như bài tập củng cố. Examon tin rằng sau khi các bạn đọc song và làm được các bài tập trên thì các bạn đã nắm vững được cách tính các giá trị lượng giác bằng việc sử dụng các cung liên kết đặc biệt. Theo dõi Examon để biết thêm nhiều dạng bài tập mới về lượng giác nhé!

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!