Số hạng tổng quát của cấp số nhân

1. Lý thuyết

Dãy số ( \(u_{n}\) ) là một cấp số nhân khi \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=q\) không phụ thuộc vào \(n\) và q là công bội.
Công thức số hạng tổng quát: \(u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1}\) với \(\forall n \in N, n \geq 2\)

2. Công thức

Công thức số hạng tổng quát: \(u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1}\) với \(\forall n \in N, n \geq 2\)

Do đó để tìm được số hạng tổng quát, ta cần tìm số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân.

3. Ví dụ minh họa

3.1 Ví dụ 1

Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) với \(u_{1}=2\) và \(u_{2}=-6\).

a) Xác định công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân.

b) Tính số hạng thứ 300 của cấp số nhân.

c) Số 118098 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\mathrm{q}=\frac{\mathrm{u}_{2}}{\mathrm{u}_{1}}=\frac{-6}{2}=-3\)

Số hạng tổng quát của cấp số nhân: \(u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1}=2 .(-3)^{n-1}\)

b) Số hạng thứ 300 của cấp số nhân: \(u_{300}=2 \cdot(-3)^{300-1}=-2.3^{299}\).

c) Gọi số hạng thứ k là số 118098 , ta có \(u_{k}=u_{1} \cdot \mathrm{q}^{\mathrm{k}-1}=118098\)

\[\Leftrightarrow 2 .(-3)^{k-1}=118098 \Leftrightarrow(-3)^{k-1}=59049=(-3)^{10} \Leftrightarrow k=11\]

Vậy số 118098 là số hạng thứ 11 của cấp số nhân.

3.2 Ví dụ 2

Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) với \(\mathbf{u}_{2}=\frac{1}{4} ; \mathbf{u}_{5}=16\).

a) Tìm u uà công bội d.

b) Xác định công thức tổng quát của cấp số nhân.

c) Tính số hạng thứ 250 của cấp số nhân.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\[\left\{\begin{array} { l } { u _ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } } \\{ u _ { 5 } = 1 6 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { u _ { 1 } q = \frac { 1 } { 4 } } \\{ u _ { 1 } q ^ { 4 } = 1 6 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { q ^ { 3 } = 6 4 = 4 ^ { 3 } } \\{ u _ { 1 } q = \frac { 1 } { 4 } }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}q=4 \\u_{1}=\frac{1}{16}\end{array}\right.\right.\right.\right.\]

Vậy \(\mathrm{u}_{1}=\frac{1}{16} ; \mathrm{q}=4\).

b) Số hạng tổng quát: \(\mathrm{u}_{\mathrm{n}}=\mathrm{u}_{1} \mathrm{q}^{\mathrm{n}-1}=\frac{1}{16} \cdot 4^{\mathrm{n}-1}=4^{\mathrm{n}-3}\)

c) Số hạng thứ 250 của cấp số nhân: \(u_{250}=4^{250-3}=4^{247}\).

4. Bài tập cơ bản

4.1 Bài 1

Cho cấp số nhân \(\left( u_{n} \right )\) biết \(\left \lbrace \begin{matrix} u_{4} - u_{2} = 50 \\ u_{3} - u_{1} = 25 \end{matrix} \right .\).

a) Tìm số hạng đầu, công sai của cấp số nhân.

b) Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\left\{\begin{array}{l}\mathrm{u}_{4}-\mathrm{u}_{2}=50 \\ \mathrm{u}_{3}-\mathrm{u}_{1}=25\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{u}_{1} \cdot \mathrm{q}^{3}-\mathrm{u}_{1} \cdot \mathrm{q}=50 \\ \mathrm{u}_{1} \cdot \mathrm{q}^{2}-\mathrm{u}_{1}=25\end{array}\right.\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u_{1} \cdot q\left(q^{2}-1\right)=50 \\ u_{1} \cdot\left(q^{2}-1\right)=25\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}q=2 \\ u_{1}=\frac{25}{3}\end{array}\right.\right.\)

Vậy số hạng đầu \(u_{1}=\frac{25}{3}\), công sai \(q=2\).

b) Số hạng tổng quát của cấp số nhân: \(\mathrm{u}_{\mathrm{n}}=\frac{25}{3} \cdot 2^{\mathrm{n}-1}\).

c) Tổng 90 số hạng đầu của cấp số nhân:

\[\mathrm{S}_{90}=\frac{\mathrm{u}_{1}\left(1-\mathrm{q}^{\mathrm{n}}\right)}{1-\mathrm{q}}=\frac{\frac{25}{3}\left(1-2^{90}\right)}{1-2} \approx-1,03 \cdot 10^{28}\]

4.2 Bài 2

Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) biết \(u_{1}+u_{5}=51 ; u_{2}+u_{6}=102\). Hỏi số 12288 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) ?

Lời giải chi tiết

Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho. Theo đề bài, ta có

\[\left\{\begin{array} { l } { u _ { 1 } + u _ { 5 } = 5 1 } \\{ u _ { 2 } + u _ { 6 } = 1 0 2 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { u _ { 1 } + u _ { 1 } \cdot q ^ { 4 } = 5 1 } \\{ u _ { 1 } \cdot q + u _ { 1 } \cdot q ^ { 5 } = 1 0 2 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}u_{1}\left(1+q^{4}\right)=51 \\u_{1} q\left(1+q^{4}\right)=102\end{array}\right.\right.\right.\]

Lấy (2) chia (1) ta được

\[q=2 \Rightarrow u_{1}=3 \Rightarrow u_{n}=3.2^{n-1}\]

Mặt khác \(u_{n}=12288 \Leftrightarrow 3 \cdot 2^{n-1}=12288 \Leftrightarrow 2^{n-1}=2^{12} \Leftrightarrow n=13\)

4.3 Bài 3

Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) với \(u_{4}=108\) và \(u_{2}=3\). Viết số hạng tổng quát của cấp số nhân; biết q > 0 ?

A. \(u_{n}=3^{n}\)

B. \(u_{n}=\frac{1}{3} 3^{n}\)

C. \(u_{n}=\frac{1}{2} 6^{n-1}\)

D. \(\frac{3^{n-1}}{2}\)

Lời giải chi tiết

Ta có:\(\mathrm{u}_{4}=\mathrm{u}_{2} \cdot \mathrm{q}^{2} \Leftrightarrow 108=3 . \mathrm{q}^{2}\)\(\Leftrightarrow q^{2}=36\).

Kết hợp với \(q\gt 0=>q=6\).

Khi đó; \(u_{1}=\frac{u_{2}}{q}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

=> Số hạng tổng quát của cấp số nhân là:

\(u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1}=\frac{1}{2} \cdot 6^{n-1}\)

Chọn C.

5. Bứt phá điểm số cùng Examon

Như vậy, Examon đã tổng hợp song tất cả các kiến thức có liên quan đến số hạng tổng quát của cấp số nhân ở trong bài viết này. Examon tin rằng sau khi các bạn đọc song và làm được hết các bài tập ở trên thì các bạn đã nắm được 90% kiến thức của bài. Theo dõi Examon để biết thêm nhiều kiến thức mới mỗi ngày.

Việc đi học thêm 1 lớp có 30 hs nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đều có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi TÍCH PHÂN yếu XÁC SUẤT như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng ½ time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VECTƠ giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.

Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phẩm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư AI sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIỂM SỐ nhanh 200%

Sơ đồ tối ưu hoá cải thiện Điểm số cho học sinh

Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

Từ tiêu chí số 3 Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ AI Gia sư Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống đề thi Examon, gia sư AI sẽ ghi lại tất cả các lỗi sai của bạn đưa về hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh từ đó đưa ra các đề xuất bài tập phù hợp với từng cá nhân nhằm giúp người học rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc ĐIỂM SỐ mình mơ ước.