Rút gọn hoặc chứng minh biểu thức lượng giác

Khuất Duyên

Công thức lượng giác có rất nhiều cách để áp dụng trong đó Rút gọn hoặc chứng minh biểu thức lượng giác chiếm phần lớn. Tham khảo ngay!

menu icon

Mục lục bài viết

  • 1. Phương pháp giải
  • 2. Ví dụ minh họa
    • 2.1 Ví dụ 1
    • 2.2 Ví dụ 2
  • 3. Bài tập rèn luyện
  • 4. Phương pháp học tập hiệu quả cùng Examon

Với công thức lượng giác có rất nhiều cách áp dụng khác nhau. Một trong số đó là áp dụng để rút gọn hoặc chứng minh biểu thức lượng giác. Và để làm được bài thì các bạn cần áp dụng linh hoạt các công thức lượng giác vào bài. Và điều đó thì không phải ai cũng có thể biết để làm. 

Vậy nên Examon trong bài viết này đã nêu các phương pháp giải, ví dụ mẫu và phần bài tập củng cố để các bạn áp dụng ngay kiến thức vừa học.

 

banner

1. Phương pháp giải

1. Các phương pháp thường dùng

  • Biến đổi vế phức tạp của đẳng thức về vế đơn giản
  • Biến đổi tương đương để đẳng thức đi đến kết quả hiển nhiên đúng
  • Phối hợp cả hai cách trên.

2. Chú ý:

  • Nếu trong đẳng thức, các góc đều giống nhau, ta ưu tiên nhóm công thức cơ bản (Nhóm 1);
  • Nếu trong đẳng thức, có xuất hiện góc gấp đôi và bình phương tỉ số lượng giác, ta ưu tiên nhóm nhân đôi và hạ bậc (Nhóm 3,4 );
  • Nếu cần tách góc, ta ưu tiên nhóm công thức cộng (Nhóm 2 ).
  • Cần sử dụng linh hoạt các công thức lượng giác để biến đổi

2. Ví dụ minh họa

2.1 Ví dụ 1

Rút gọn biểu thức:

a) \(A=\sin ^{2} x+\sin ^{2} x \tan ^{2} x\);

b) \(B=\frac{2 \sin ^{2} x-1}{\sin ^{2} x-\sin x \cos x}\).

c) \(A=\cos ^{2} \alpha\left(\sin ^{2} \alpha+1\right)+\) \(\sin ^{4} \alpha\)

Lời giải

a) \(A=\sin ^{2} x+\sin ^{2} x \tan ^{2} x=\sin ^{2} x\left(1+\tan ^{2} x\right)=\sin ^{2} x \cdot \frac{1}{\cos ^{2} x}=\tan ^{2} x\).

b) \(B=\frac{2 \sin ^{2} x-1}{\sin ^{2} x-\sin x \cos x}=\frac{2 \sin ^{2} x-\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)}{\sin x(\sin x-\cos x)}=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x}=1+\cot x\);

c) \(A=\sin ^{2} \alpha\left(1-\sin ^{2} \alpha\right)+\cos ^{2} \alpha+\sin ^{4} \alpha=\sin ^{2} \alpha-\sin ^{4} \alpha+\cos ^{2} \alpha+\sin ^{4} \alpha=1\).

2.2 Ví dụ 2

Chứng minh các đẳng thức sau trong điều kiện có nghĩa của biểu thức

a) \(\sin ^{4} \alpha+\cos ^{4} \alpha=\frac{3}{4}+\frac{1}{4} \cos 4 \alpha\);

b) \(\frac{1-\cos \alpha+\cos 2 \alpha}{\sin 2 \alpha-\sin \alpha}=\cot \alpha\);

c) \(\frac{2+\sin ^{2} \alpha}{1-\sin ^{2} \alpha}=3 \tan ^{2} \alpha+2\);

d) \(\frac{\sin ^{4} \alpha-\cos ^{4} \alpha+\cos ^{2} \alpha}{2(1-\cos \alpha)}=\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}\).

Lời giải.

a) VT \(=\left(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha\right)^{2}-2 \sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \alpha=1-\frac{1}{2} \sin ^{2} 2 \alpha\) \(=1-\frac{1-\cos 4 \alpha}{4}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4} \cos 4 \alpha=\mathrm{VP}\).

b) \(\mathrm{VT}=\frac{1-\cos \alpha+2 \cos ^{2} \alpha-1}{2 \sin \alpha \cos \alpha-\sin \alpha}=\frac{\cos \alpha(2 \cos \alpha-1)}{\sin \alpha(2 \cos \alpha-1)}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\cot \alpha=\mathrm{VP}\).

c) VT \(=\frac{2+\sin ^{2} \alpha}{1-\sin ^{2} \alpha}=\frac{2+\sin ^{2} \alpha}{\cos ^{2} \alpha}=\frac{2}{\cos ^{2} \alpha}+\tan ^{2} \alpha=2+2 \tan ^{2} \alpha+\tan ^{2} \alpha=3 \tan ^{2} \alpha+2=\mathrm{VP}\).

d) \(\mathrm{VT}=\frac{\sin ^{4} \alpha+\cos ^{2} \alpha\left(1-\cos ^{2} \alpha\right)}{2(1-\cos \alpha)}=\frac{\sin ^{4} \alpha+\cos ^{2} \alpha \sin ^{2} \alpha}{2(1-\cos \alpha)}=\frac{\sin ^{2} \alpha\left(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha\right)}{2(1-\cos \alpha)}\) \(=\frac{1-\cos ^{2} \alpha}{2(1-\cos \alpha)}=\frac{1+\cos \alpha}{2}=\frac{2 \cos ^{2} \frac{\alpha}{2}}{2}=\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}=\mathrm{VP}\).

Examon.png
Luyện đề cấp tốc cùng Examon

3. Bài tập rèn luyện

Bài tập 1: Rút gọn giá trị của biểu thức sau:

a) \(A=\cos (4 \pi-\alpha) \cdot \tan (7 \pi+\alpha)+\cos \left(\frac{5 \pi}{2}-\alpha\right)+\cos \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)+\sin (5 \pi+\alpha)\);

b) \(B=2 \sin (\pi+\alpha)+\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)+\sin (\pi-\alpha)+\cos (\pi+\alpha)\);

c) \(C=\sin (\pi+\alpha)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)+\tan (\pi-\alpha) \cot (-\alpha)\);

d) \(D=\sin (5 \pi+\alpha)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)+\tan \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)+\cot (4 \pi-\alpha)\);

e) \(E=\cos (\pi-\alpha)+\sin \left(\alpha-\frac{3 \pi}{2}\right)-\tan \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) \cot \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)\);

f) \(F=\cot (\alpha-4 \pi) \cos \left(\alpha-\frac{3 \pi}{2}\right)+\cos (\alpha+6 \pi)-2 \sin (\alpha-\pi)\).

Bài tập 2: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \(\frac{\sin ^{3} x+\cos ^{3} x}{\sin x+\cos x}=1-\sin x \cos x\);

b) \(\frac{\sin ^{2} x-\cos ^{2} x}{1+2 \sin x \cos x}=\frac{\tan x-1}{\tan x+1}\);

c) \((1+\cot x) \sin ^{3} x+(1+\tan x) \cos ^{3} x=\sin x+\cos x\);

d) \(\frac{(\sin x+\cos x)^{2}-1}{\cot x-\sin x \cos x}=2 \tan ^{2} x\);

e) \(\frac{\sin ^{2} x+2 \cos ^{2} x-1}{\cot ^{2} x}=\sin ^{2} x\);

f) \(\frac{\sin ^{2} x-\tan ^{2} x}{\cos ^{2} x-\cot ^{2} x}=\tan ^{6} x\);

g) \(\cos ^{4} x-\sin ^{4} x=\cos 2 x\);

h) \(\cos ^{4} x-2 \cos ^{2} x=\sin ^{4} x-1\);

i) \(\sin ^{4} x+\sin ^{2} x \cdot \cos ^{2} x+\cos ^{2} x=1\);

j) \(\frac{1-\sin ^{2} x \cos ^{2} x}{\cos ^{2} x}-\cos ^{2} x=\tan ^{2} x\).

4. Phương pháp học tập hiệu quả cùng Examon

Như vậy, Examon đã tổng hợp song tất cả từ phương pháp giải đến bài tập để các bạn học sinh dễ dàng ghi nhớ và học có hiệu quả hơn. Hy vọng sau bài viết, các bạn học sinh đã nắm vững kiến thức về dạng rút gọn hoặc chúng minh biểu thức lượng giác. Đồng hành cùng Examon mỗi ngày để tiến xa hơn trong học tập.

PHƯƠNG PHÁP HỌC HIỆU QUẢ cùng EXAMON

Có bao giờ bạn tự hỏi tại điểm kiểm tra của mình thấp không?

Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".

Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?

Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:

Bước 1:  Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú

Bước 2:  Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện 

Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:

 

BÀI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SGKTiết
CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP7
Bài 1. Mệnh đề toán học3
Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp3
Bài tập cuối chương I1
CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN6
Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn2
Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn3
Bài tập cuối chương II1

 

Bước 3:  Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp

Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?

Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán 

Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi. 

Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON

Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 200%

Examon sẽ phân phối chương trình theo từng dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào? mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.

Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

Sơ đồ tối ưu hoá cải thiện Điểm số cho học sinh