Rút gọn biểu thức lượng giác

1. Phương pháp giải

Sử dụng công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn.

2. Ví dụ minh họa

Dưới đây là một số ví dụ minh họa cho cách làm dạng bài rút gọn biểu thức lượng giác.

Ví dụ 1:

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức:

\[\begin{array}{l}A=\cos 10 x+2 \cos ^{2} 4 x \\+6 \cos 3 x \cdot \cos x-\cos x-8 \cos x \cdot \cos ^{3} 3 x\end{array}\]

Lời giải

Ta có:

\[\begin{array}{l}A=\cos 10 x+(1+\cos 8 x)-\cos x-2\left(4 \cos ^{3} 3 x-3 \cos 3 x\right) \cos x \\=(\cos 10 x+\cos 8 x)+1-\cos x-2 \cos 9 x \cdot \cos x \\=2 \cos 9 x \cdot \cos x+1-\cos x-2 \cos 9 x \cdot \cos x=1-\cos x\end{array}\]

Ví dụ 2:

Ví dụ 2. Rút gọn các biểu thức sau:\(B=\sin ^{2} x+\sin ^{2} x \cdot \tan ^{2} x\);

Lời giải

\(\begin{array}{l}\text { } B=\sin ^{2} x+\sin ^{2} x \cdot \tan ^{2} x=\sin ^{2} x\left(1+\tan ^{2} x\right) \\ =\sin 2 x \cdot \frac{1}{\cos ^{2} x}=\frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x}=\tan ^{2} x .\end{array}\)

Ví dụ 3:

Ví dụ 3. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \(\cos ^{4} x-\sin ^{4} x=2 \cos ^{2} x-1\);

b) \(\frac{\cos ^{2} x+\tan ^{2} x-1}{\sin ^{2} x}=\tan ^{2} x\)

Lời giải

\(\begin{array}{l}\text { a) VT }=\cos ^{4} x-\sin ^{4} x=\left(\cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right)\left(\cos ^{2} x+\sin ^{2} x\right) \\ =\left[\cos ^{2} x-\left(1-\cos ^{2} x\right)\right] \cdot 1=2 \cos ^{2} x-1=V P\end{array}\)\(\begin{array}{l}\text { b) } \mathrm{VT}=\frac{\cos ^{2} x+\tan ^{2} x-1}{\sin ^{2} x}=\frac{\cos ^{2} x}{\sin ^{2} x}+\frac{\tan ^{2} x}{\sin ^{2} x}-\frac{1}{\sin ^{2} x} \\ =\cot ^{2} x+\frac{\frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x}}{\sin ^{2} x}-\left(1+\cot ^{2} x\right)=\cot ^{2} x+\frac{1}{\cos ^{2} x}-1-\cot ^{2} x \\ =\frac{1}{\cos ^{2} x}-1=\left(1+\tan ^{2} \mathrm{x}\right)-1=\tan ^{2} \mathrm{x}=\mathrm{VP} .\end{array}\)

Ví dụ 4:

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức:

\[C=\sin ^{2} x+2 \sin (a-x) \cdot \sin x \cdot \cos a+\sin ^{2}(a-x)\]

Lời giải

\(\begin{array}{l}C=\sin ^{2} x+2 \sin (a-x) \cdot \sin x \cdot \cos a+\sin ^{2}(a-x) \\ =\sin ^{2} x+\sin (a-x)(2 \sin x \cos a+\sin (a-x)) \\ =\sin ^{2} x+\sin (a-x)(2 \sin x \cos a+\sin a \cos x-\cos a \sin x) \\ =\sin ^{2} x+\sin (a-x)(\sin x \cos a+\sin a \cos x) \\ =\sin ^{2} x+\sin (a-x) \sin (a+x) \\ =\sin ^{2} x+\frac{1}{2}(\cos 2 x-\cos 2 a) \\ =\sin ^{2} x+\frac{1}{2}\left(1-2 \sin ^{2} x-\left(1-2 \sin ^{2} a\right)\right) \\ =\sin ^{2} x+\sin ^{2} a-\sin ^{2} x=\sin ^{2} a .\end{array}\)

3. Lời kết

Dạng bài rút gọn biểu thức thật dễ đúng nào. Tuy chỉ thay đổi yêu cầu đề bài nhưng vẫn chỉ là vận dụng những công thức lượng giác cơ bản đã học. Nên đừng lo có quá nhiều dạng bài để học chỉ cần nắm chắc kiến thức căn bản bạn đã nắm được đa số cách làm các dạng toán rồi.

4. Học Toán không khó

Nếu bạn đang cảm thấy môn Toán của mình đang lung lay thì đừng ngần ngại để Examon giúp bạn cải thiện bộ môn này nhé. Không những Toán mà tụi mình còn giúp bạn được nhiều môn khác nữa cơ.

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!