Quy tắc tính nguyên hàm cơ bản
Có những quy tắc tính nguyên hàm nếu biết được bạn sẽ thật sự có được một trợ thủ đắc lực trong việc giải nguyên hàm đó.
Mục lục bài viết
Quy tắc tính nguyên hàm cơ bản là một phần quan trọng trong giải tích toán học, được sử dụng để tìm hàm số gốc từ đạo hàm của nó. Để tính nguyên hàm của một hàm số, chúng ta cần hiểu và áp dụng một số quy tắc cơ bản.
Đầu tiên, quy tắc cộng và trừ cho phép ta tính nguyên hàm của tổng hoặc hiệu của hai hàm số bằng cách tính riêng lẻ từng nguyên hàmrồi cộng hoặc trừ kết quả. Thứ hai, quy tắc nhân với hằng số cho phép ta đưa hằng số ra ngoài dấu nguyên hàm, giúp đơn giản hóa quá trình tính toán.
Thứ ba, quy tắc nguyên hàm cơ bản cho các mũ và đa thức. Ngoài ra, chúng ta có quy tắc đổi biến số, thường được áp dụng khi hàm sô cần tìm nguyên hàm có dạng phức tạp. Đổi biến số giúp đơn giản hóa bài toán bằng cách thay đổi biến số gốc thành biến sô mới, từ đó tính nguyên hàm dễ dàng hơn.
Quy tắc cuối cùng là tích phân từng phần, hữu dụng khi tính nguyên hàm của tích hai hàm số. Quy tắc này dựa trên công thức tích phân của tích hai hàm số \(u\) và \(v\). Công thức này là tích phân của \(u\) nhân dv bằng \(u\) nhân \(v\) trừ đỉ tích phân của \(v\) nhân du.
Để áp dụng quy tắc này, ta cần xác định đúng các hàm số u và dv sao cho việc tính tích phân của \(v\) nhân du trở nên đơn giản hơn. Hiểu và áp dụng chính xác không chỉ giúp ta tính nguyên hàm chính xác mà còn giúp ta có cái nhìn sâu hơn về cấu trúc của các hàm số.
Các quy tắc này đóng vai trò nền tảng trong giải tích toán học, giúp giải quyết nhiều bài toán trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Nhờ đó, chúng ta có thể ứng dụng giải tích vào nhiều tình huống thực tế, từ việc tính toán diện tích dưới đồ thị đến giải các phương trình vi phân phức tạp.
1. Định nghĩa nguyên hàm
1.1. Khái niệm cơ bản
Khái niệm:
Nguyên hàm của một hàm f(x) là một hàm F(x) sao cho F'(x)=f(x)
Tính chất:
1. Nếu \(f(x)=k\) (k là hằng số), thì \(\int f(x) d x=k x+C\)
2. \(\int(f(x)+g(x)) d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x\)
3. \(\int k f(x) d x=k \int f(x) d x\)
4. \(\int(f(x))^{\wedge} n d x=1 /(n+1)(f(x))^{\wedge}(n+1)+C\), với \(n \neq-1\)
5. \(\int 1 / f(x) d x=\ln |f(x)|+C\), với \(f(x)\gt 0\)
1.2. Biểu thức toán học
trong đó:
- \(\int\) là kí hiệu cho phép tích phân
- f(x) là hàm số cần tích phân
- dx biểu thị cho biến số tích phân
- C là hằng số tích phân, được gọi là hằng số tích phân bất định.
giải thích:
- Biểu thức \(\int f(x) d x\) là nguyên hàm của f(x), thể hiện việc tích phân của hàm số f(x) theo biến số x
- Hằng số C là hằng số bất định xuất hiện qua quá trình tích phân, vì khi tích phân, ta chỉ xác định được nguyên hàm đến một hằng số giao động
1.3. Mối quan hệ với đạo hàm
Mối quan hệ giữa nguyên hàm và đạo hàm là rất mật thiết. Cụ thể như sau:
- Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x), thì f(x) là đạo hàm của F(x)
+ kí hiệu: F'(x)=f(x)
- Tìm nguyên hàm từ đạo hàm
+ Nếu biết f(x) là đạo hàm của F(x), thì F(x) là nguyên hàm của f(x)
+ Kí hiệu \(\int f(x) d x=F(x)+C\)
- Tính chất
+ Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) thì F'(x)=f(x)
+ Nếu G(x) là nguyên hàm khác của f(x), thì G(x)=F(x) + C, với C là hằng số
2. Quy tắc tính nguyên hàm cơ bản
2.1. Quy tắc tổng
Đối với 2 hàm số f(x) và g(x), nguyên hàm của tổng là tổng nguyên hàm của:
\[\int[f(x)+g(x)] d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x\]
2.2. Quy tắc hằng số nhân
Nguyên hàm của một hằng số nhân với một hàm số là hằng số nhân với nguyên hàm của hàm số đó
\[\int k \cdot f(x) d x=k \cdot \int f(x) d x\]
2.3. Quy tắc phép nhân
Nguyên hàm của tích hai hàm số là tích của nguyên hàm
\[\int f(x) \cdot g(x) d x \neq f(x) \cdot \int g(x) d x\]
Thay vào đó, cần sử dụng phép tích phân bằng phéo đạo hàm ngược
2.4. Quy tắc phép chia
Nguyên hàm của một thương của hai hàm số là thương của nguyên hàm
\[\int \frac{f(x)}{g(x)} d x \neq \frac{\int f(x) d x}{\int g(x) d x}\]
Tương tự, cần áp dụng phương pháp phép tích phân bằng phép đạo hàm ngược
3. Bài tập củng cố kiến thức
Bài tập 1: Tính các nguyên hàm đơn giản
a. Tính nguyên hàm của \(x^{n}\), với \(n \neq-1\).
giải:
\(\int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C, \quad\) nếu \(n \neq-1\)
b. Tính nguyên hàm của sin(x)
giải:
\(\int \sin (x) d x\)= - cos(x)+C
c. Tính nguyên hàm của \(e^{x}\)
giải:
\(\int e^{x} d x=e^{x}+C\)
Bài tập 2: Áp dụng quy tắc tổng & hằng số nhân
a. Tính nguyên hàm của \(3 x^{2}+2 x-5\)
giải:
\(\int\left(3 x^{2}+2 x-5\right) d x=\int 3 x^{2} d x+\int 2 x d x-\int 5 d x\)
\(=\frac{3 x^{3}}{3}+\frac{2 x^{2}}{2}-5 x+C\)
\(=x^{3}+x^{2}-5 x+C\)
b. Tính nguyên hàm của \(4 \sin (x)+3 \cos (x)\)
giải:
\(\int(4 \sin (x)+3 \cos (x)) d x=4 \int \sin (x) d x+3 \int \cos (x) d x\)
\(=4(-\cos (x))+3(\sin (x))+C\)
\(=-4 \cos (x)+3 \sin (x)+C\).
Bài tập 3: Áp dụng quy tắc phép nhân và phép chia
a. Tính nguyên hàm của \(x \cdot\left(x^{2}+1\right)\).
giải:
\[\begin{array}{l}\int x \cdot\left(x^{2}+1\right) d x=\int\left(x^{3}+x\right) d x \\=\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{2}}{2}+C\end{array}\]
b. Tính nguyên hàm của \(\frac{2 x+3}{x^{2}+1}\).
giải:
\[\int \frac{2 x+3}{x^{2}+1} d x=\int \frac{2 x}{x^{2}+1} d x+\int \frac{3}{x^{2}+1} d x\]
Để tích phân các thành phần này, bạn cần sử dụng phép tích phân bằng cách đạo hàm ngược
4. Tổng kết kinh nghiệm giải bài tập
- Đối với từng bài tập, sử dụng nguyên tắc tính nguyên hàm từng thành phần của biểu thức
- Phân tích biểu thức thành các thành phần đơn giản hơn để tính toán dễ dàng hơn
- Áp dụng quy tắc phép nhân, phép chia và các quy tắc khác để đưa ra kết quả chính xác
- Đừng quên thêm hằng số C và cuối kết quả vì đây là hằng số của tích phân
Tổng ôn kì thi THPT QG
Việc đi học thêm 1 lớp có 30 hs nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đều có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi TícH PHÂN yếu XÁC SUẤT như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng \(1 / 2\) time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VECTƠ giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.
Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phẩm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư Al sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIẺM SỐ nhanh \(200 \%\)
Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau:
Tiêu 1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định
Tiêu 2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này
Tiêu 3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và của người khác là 7 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.
Từ tiêu chí số \(\mathbf{3}\) Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ Al Gia sư Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống đề thi Examon,
gia sư Al sẽ ghi lại tất cả các lỗi sai của bạn đưa vể hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh từ đó đưa ra các đề xuất bài tập phù hợp với từng cá nhân nhằm giúp người học rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc ĐIẺM SỐ mình mơ ước.
NHỮNG Lợı ÍCH MÀ HỆ THỐNG CÁ NHÂN HÓA VIỆC HỌC CỦA EXAMON MANG LAI
T1: Giúp học sinh rèn luyện kỹ năng Tự học: 1 kỹ năng sẽ sử dụng cho việc phát triển bản thân suốt đời
T2: Giúp học sinh hình thành Tư duy giải bài trước khi giải: Đây là kỹ năng giải quyết vấn đề giúp hs tự tin và có chính kiến của riêng mình
T3: Công nghệ Al phân tích năng lực học sinh đề xuất hs Luyện tập những chỗ sai rút ngắn thời gian cải thiện điểm số: Hệ thống \(\mathrm{Al}\) bên dưới giúp phát hiện năng lực học sinh một cách chính xác từ đó có kế hoạch cải thiện năng lực nhanh chóng
