Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx
Bài viết Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sin và cos bao gồm tất cả kiến thức từ A đến Z. Tham khảo ngay!
Mục lục bài viết
Có rất nhiều các dạng bài tập về phương trình lượng giác khác nhau, điều đó khiến học sinh gặp khó khăn trong việc ghi nhớ và áp dụng vào bài. Do đó, để giúp cho quá trình học tập về phương trình lượng giác của các bạn Examon đã tổng hợp đầy đủ Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx. Sau khi đọc song bài viết này Examon tin rằng các bạn sẽ vững các kiến thức về phần phương trình lượng giác.
1. Phương pháp giải
+ Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin \(x\) và cosx là phương trình có dạng:
a. \(\sin ^{2} x+b \cdot \sin x \cdot \cos x+c \cdot \cos ^{2} x=0\)trong đó \(a ; b\) và c là các số đã cho với \(a \neq 0\) hoặc \(b \neq 0\) hoặc \(c \neq 0\)
+Có hai cách để giải phương trình thuần nhất bậc hai đối với \(\sin x\) và \(\cos x\) :
* Cách 1.
Bước 1: Kiểm tra \(\operatorname{cosx}=0\) có nghiệm của phương trình.
Chú ý: \(\cos x=0 \Rightarrow \sin ^{2} x=1\)
Bước 2. Nếu \(\cos x \neq 0\) chia cả hai vế của phương trình cho \(\cos ^{2} x\).
Khi đó phương trình đã cho có dạng: a. \(\tan ^{2} x+b \cdot \tan x+c=0\)
Đây là phương trình bậc hai ẩn tanx.
Giải phương trình ta tính được tanx
\[\Rightarrow x=\ldots .\]Chú ý: \(\frac{1}{\cos ^{2} x}=1+\tan ^{2} x\) và \(\frac{1}{\sin ^{2} x}=1+\cot ^{2} x\)
* Cách 2.
Áp dụng công thức hạ bậc; công thức nhân đôi ta có:
\[\begin{array}{l}\text { a. } \sin ^{2} \mathrm{x}+\mathrm{b} \cdot \sin \mathrm{x} \cdot \cos \mathrm{x}+\mathrm{c} \cdot \cos ^{2} \mathrm{x}=0 \\\Rightarrow a \cdot \frac{1-\cos 2 x}{2}+b \cdot \frac{\sin 2 x}{2}+c \cdot \frac{1+\cos 2 x}{2}=0 \\\Rightarrow b \cdot \sin 2 \mathrm{x}+(\mathrm{c}-\mathrm{a}) \cos 2 \mathrm{x}=-\mathrm{a}-\mathrm{c}\end{array}\]Đây là phương trình bậc nhất đối với \(\sin x\) và \(\cos x\)
2. Ví dụ minh họa
2.1 Ví dụ 1
Giải phương trình: \(2 \sin ^{2} x+3 \sqrt{3} \sin x \cdot \cos x-\cos ^{2} x=4\)
A. \(\frac{\pi}{3}+k \pi\)
B. \(\frac{\pi}{6}+k \pi\)
C. \(\frac{\pi}{3}+k \pi\)
D. Vô nghiệm
Lời giải
+ Trường hợp 1.
Thay \(\cos x=0\) vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.
+ Trường hợp 2.
Với \(\cos x \neq 0\)
Chia cả hai vê phương trình cho \(\cos ^{2} \mathrm{x}\) ta được :
\[\begin{aligned}& 2 \tan ^{2} x+3 \sqrt{3} \tan x-1=\frac{4}{\cos ^{2} x} \\\Leftrightarrow & 2 \tan ^{2} x+3 \sqrt{3} \tan x-1=4\left(1+\tan ^{2} x\right) \\\Leftrightarrow & -2 \tan ^{2} x+3 \sqrt{3} \tan x-5=0\end{aligned}\]Phương trình này vô nghiệm\(\Rightarrow\) Phương trình đã cho vô nghiệm.
Chọn D.
2.2 Ví dụ 2
Phương trình \(6 \sin ^{2} x+7 \sqrt{3} \sin 2 x-8 \cos ^{2} x=6\) có các nghiệm là:
A. \(\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{2}+k \pi \\ x=\frac{\pi}{6}+k \pi\end{array}\right.\)
B. \(\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{4}+k \pi \\ x=\frac{\pi}{3}+k \pi\end{array}\right.\)
C. \(\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{8}+k \pi \\ x=\frac{\pi}{12}+k \pi\end{array}\right.\)
D. \(\left[\begin{array}{l}x=\frac{3 \pi}{4}+k \pi \\ x=\frac{2 \pi}{3}+k \pi\end{array}\right.\)
Lời giải
Trường hợp 1.
Với \(\cos x=0 \Rightarrow \sin 2 x=1\) thay vào phương trình đã cho ta được :\(6.1+0-0=6\) (luôn đúng )\(\Rightarrow\) phương trình có nghiệm \(x=\pi / 2+k \pi\)
Trường hợp 2.
Nếu \(\cos x \neq 0\) chia cả hai vế cho \(\cos 2 x\) ta được
\[\begin{array}{l}6 \tan ^{2} x+14 \sqrt{3} \tan x-8=\frac{6}{\cos ^{2} x} \Leftrightarrow 6 \tan ^{2} x+14 \sqrt{3} \tan x-8=6\left(1+\tan ^{2} x\right) \\\Leftrightarrow 14 \sqrt{3} \tan x=14 \Leftrightarrow \tan x=\frac{1}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+k \pi\end{array}\]Vậy, phương trình có nghiệm \(x=\frac{\pi}{2}+k \pi, x=\frac{\pi}{6}+k \pi\).
Chọn A
3. Bài tập rèn luyện
Bài 1. Giải phương trình: \(\sin ^{2} x+2 \sin x \cdot \cos x+3 \cos ^{2} x-3=0\).
Bài 2. Cho phương trình: \(\cos ^{2} x-\sin x \cdot \cos x-2 \sin ^{2} x-m=0\) (*).
a) Giải (*) khi \(m=1\).
b) Giải và biện luận theo m.
Bài 3. Giải phương trình:
\(2 \sin ^{2} 2 x-\sin 2 x \cdot \cos 2 x-4 \cos ^{2} 2 x=2\).
Bài 4. Giải phương trình: \(\sin 2 x-2 \sin ^{2} x=2 \cos 2 x\).
Bài 5. Giải phương trình:
\(2 \sin ^{2} x+3 \sqrt{3} \sin x \cdot \cos x-\cos ^{2} x=4\).
4. Học tập hiểu qủa cùng Examon
Trên đây là bài viết tổng hợp Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx, hy vong bài viết sẽ giúp các bạn nắm vững các kiến thức về phần phương trình lượng giác. Chúc các bạn thành công trên con đường học tập.
PHƯƠNG PHÁP HỌC HIỆU QUẢ
Có bao giờ bạn tự hỏi tại điểm kiểm tra của mình thấp không?
Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".
Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?
Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:
Bước 1: Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú
Bước 2: Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện
Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:
| BÀI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SGK | Tiết |
| CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP | 7 |
| Bài 1. Mệnh đề toán học | 3 |
| Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp | 3 |
| Bài tập cuối chương I | 1 |
| CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN | 6 |
| Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 2 |
| Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 3 |
| Bài tập cuối chương II | 1 |
Bước 3: Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp
Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?
Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán
Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi.
Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON
Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 200%
Examon sẽ phân phối chương trình theo từng dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào?
Mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.
Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:
1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng
2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này
3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.
