Tính chẵn, lẻ, chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác
Có rất nhiều vấn đề liên quan đến hàm số lượng giác một trong số đó xét tính chẵn lẻ, chu kì. Examon sẽ giúp bạn tìm hiểu rõ hơn về vấn đề này.
Mục lục bài viết
Để học tốt bất kì môn học nào, ta cần phải nắm rõ mọi kiến thức liên quan để có thể giải bài tập. Đối với hàm số lượng giác cũng vậy, để giải một bài toán ta cần nắm rõ các công thức và phương pháp giải.
Do đó, Examon đã tổng hợp lại toàn bộ kiến thức từ A đến Z về Xét tính chẵn lẻ, chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác, hy vọng bài viết sẽ giúp các bạn củng cố thêm kiến thức và có nhiều cách giải mới để áp dụng vào bài tập
1. Kiến thức cần nhớ
1.1 Tính tuần hoàn, tính chu kì
Định nghĩa: Hàm số \(y=f(x)\) có tập xác định được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số \(\mathrm{T} \neq 0\) sao cho với mọi \(x \in D\) ta có:
\((x-T) \in D\) và \((x+T) \in D\)
\( f(x+T)=f(x)\).
Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó. Người ta chứng minh được rằng hàm số \(\mathrm{y}=\sin x\) tuần hoàn với chu kì \(\mathrm{T}=2\) \(\pi\); hàm số \(y=\cos x\) tuần hoàn với chu kì \(T=2 \pi\); hàm số \(y=\tan x\) tuần hoàn với chu kì \(\mathrm{T}=\pi\); hàm số \(\mathrm{y}=\operatorname{cotx}\) tuần hoàn với chu kì \(\mathrm{T}=\pi\)
Chú ý:
Hàm số \(\mathrm{y}=\sin (\mathrm{ax}+\mathrm{b})\) tuần hoàn với chu kì \(\mathrm{T}=\mathrm{T}=\frac{2 \pi}{|a|}\)
Hàm số \(\mathrm{y}=\cos (\mathrm{ax}+\mathrm{b})\) tuần hoàn với chu kì \(\mathrm{T}=\mathrm{T}=\frac{2 \pi}{|a|}\)
Hàm số \(\mathrm{y}=\tan (\mathrm{ax}+\mathrm{b})\) tuần hoàn với chu kì \(\mathrm{T}=\mathrm{T}=\frac{\pi}{|a|}\)
Hàm số \(\mathrm{y}=\cot (\mathrm{ax}+\mathrm{b})\) tuần hoàn với chu kì \(\mathrm{T}=\mathrm{T}=\frac{\pi}{|a|}\)
Hàm số \(y=f_{1}(x)\) tuần hoàn với chu kì \(T_{1}\) và hàm số \(y=f_{2}(x)\) tuần hoàn với chu kì \(T_{2}\) thì hàm số \(y=\mathrm{f}_{1}(\mathrm{x}) \pm \mathrm{f}_{2}(\mathrm{x})\) tuần hoàn với chu kì \(\mathrm{T}_{0}\) là bội chung nhỏ nhất của \(\mathrm{T}_{1}\) và \(\mathrm{T}_{2}\).
1.2 Tính chẵn, lẻ
Định nghĩa:
Hàm số \(\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})\) có tập xác định là \(\mathrm{D}\) được gọi là hàm số chẵn nếu:
\(\bullet x \in D\) và \(-x \in D\)
.\(\bullet f(x)=f(-x)\).
Hàm số \(\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})\) có tập xác định là \(\mathrm{D}\) được gọi là hàm số lẻ nếu:
\(\bullet x \in D\) và \(-x \in D\).
\(\bullet f(x)=-f(-x)\).
2. Ví dụ minh họa
2.1 Ví dụ 1
Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số sau:
a. \(y=\sin (2 x+3)\)
b. \(\mathrm{y}=\cos \frac{3 x}{2} \cos \frac{x}{2}\)
Lời giải chi tiết
a. Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì \(T=2 \pi / 2=\pi\).
b.Ta có \(\mathrm{y}=\cos \frac{3 x}{2} \cos \frac{x}{2}=\frac{1}{2}(\cos x+\cos 2 x)\)
Ta có hàm số \(\mathrm{y}=\cos x\) tuần hoàn với chu kì \(\mathrm{T}=2 \pi\), hàm số \(\mathrm{y}=\cos 2 \mathrm{x}\) tuần hoàn với chu kì \(T=\pi\).
Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì \(\mathrm{T}=2 \pi\).
2.2 Ví dụ 2
Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số sau: \(y=\cos x+\cos \sqrt{3} x\).
Lời giải chi tiết
Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì \(\mathrm{T} \neq 0\).
Khi đó ta có:
\[\cos (x+T)+\cos [\sqrt{3}(x+T)]=\cos x+\cos \sqrt{3} x \text {. }\]Cho \(x=0\).
Ta có: \(\cos T+\cos \sqrt{3} T=2\).
Vì \(\cos x \leq 1\) với mọi \(x\) nên ta có:
\[\left\{\begin{array} { c } { \operatorname { c o s } T = 1 } \\{ \operatorname { c o s } \sqrt { 3 } T = 1 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}T=k 2 \pi \\\sqrt{3} T=m 2 \pi\end{array} \Rightarrow \sqrt{3}=\frac{m}{k}\right.\right.\]mà \(m, k \in Z\) (vô lý).
Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn.
2.3 Ví dụ 3
Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a. \(y=\sin x\).
b. \(y=\cos (2 x)\).
c. \(y=\tan x+\cos (2 x+1)\)
Lời giải chi tiết
a.Tập xác định \(D=R\).
Lấy \(x \in D\) thì \(-x \in D\).
Ta có: \(\sin (-x)=-\sin x\).
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
b. Tập xác định \(D=R\).
Lấy \(x \in D\) thì \(-x \in D\).
Ta có: \(\cos (-2 x)=\cos (2 x)\).
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
c.Tập xác định \(\mathrm{D}=\mathrm{R} \backslash\left\{\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in Z\right\}\)
Lấy \(x \in D\) thì \(-x \in D\).
Ta có:
\[\tan (-x)+\cos (-2 x+1)=-\tan x+\cos (-2 x+1) \text {. }\]Vậy hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.
3. Bài tập tự luyện
Bài 1: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số sau:
a) \(y=\cos (-2 x+4)\)
b) \(y=\tan (7 x+5)\)
Bài 2: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của hàm số sau:
\(y=\sin x+\sin 3 x\)
Bài 3: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số sau:
\(y=\cos x+2 \sin 5 x\)
Bài 4: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) \(y=\cos x+\cos 2 x\)
b) \(y=\tan x+\cot x\).
Bài 5: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) .\(y=\sin 2 x+\cot 100 x\)
b) \(y=\cos x+\sin x\)
4. Tiến bộ vượt bậc cùng Examon
Như vậy, Examon đã tổng hợp tất cả các kiến thức liên quan đến cách xét tính chẵn, lẻ, chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác. Hy vọng bài viết sẽ giúp ích cho các bạn học sinh trong quá trình học tập và tìm thấy niềm vui khi học toán. Để thấy toán không khô khan mà còn rất thú vị. Đồng hành cùng Examon trên con đường tìm kiến tri thức.
Việc đi học thêm 1 lớp có 30 hs nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đều có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi TÍCH PHÂN yếu XÁC SUẤT như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng ½ time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VECTƠ giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.
Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phẩm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư AI sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIỂM SỐ nhanh 200%
Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau:
1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định
2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này
3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.
Từ tiêu chí số 3 Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ AI Gia sư Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống đề thi Examon.
Gia sư AI sẽ ghi lại tất cả các lỗi sai của bạn đưa về hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh từ đó đưa ra các đề xuất bài tập phù hợp với từng cá nhân nhằm giúp người học rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc ĐIỂM SỐ mình mơ ước.