Phương pháp vi phân tìm nguyên hàm

Tìm nguyên hàm của  \(\int \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} d x\).

A. \(\frac{1}{\sin x+\cos x}+C\).

B. \(\frac{-1}{\sin x+\cos x}+C\).

C. \(\ln |\sin x+\cos x|+C\).

D. \(-\ln |\sin x+\cos x|+C\).

giải:

ta có: 

\(\int \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} d x=-\int \frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x} d x=-\int \frac{(\sin x+\cos x)^{\prime}}{\sin x+\cos x} d x\)

\(=-\int \frac{\mathrm{d}(\sin x+\cos x)}{\sin x+\cos x}=-\ln |\sin x+\cos x|+C\) 

Tìm nguyên hàm của  \(I=\int \frac{x d x}{\sqrt[3]{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\).

A. \(\frac{3}{2} \sqrt{x^{2}+1}+C\)

B. \(\frac{3}{2} \sqrt[3]{x^{2}+1}+C\).

C. \(\frac{2}{3} \sqrt[3]{x^{2}+1}+C\).

D. \(\frac{3}{2} \sqrt[3]{\left(x^{2}+1\right)^{2}}+C\).

giải

\(I=\int \frac{x d x}{\sqrt[3]{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}=\frac{1}{2} \int \frac{d\left(x^{2}+1\right)}{\sqrt[3]{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\)

= \(\frac{1}{2} \int\left(x^{2}+1\right)^{\frac{-2}{3}} d\left(x^{2}+1\right)\)

 \(=\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot\left(x^{2}+1\right)^{\frac{1}{3}}+C=\frac{3}{2} \sqrt[3]{x^{2}+1}+C\) 

Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số\(f(x)=\frac{\cos x}{\sqrt{4 \sin x-3}}\). 

Biết rằng \(F\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\). Tìm \(F(x)\).

A. \(F(x)=\frac{1}{2} \sqrt{4 \sin x-3}+\frac{1}{2}\).

B. \(F(x)=\sqrt{4 \sin x-3}\).

C. \(F(x)=-\frac{1}{2} \sqrt{4 \sin x-3}+\frac{3}{2}\).

D. \(F(x)=-\sqrt{4 \sin x-3}+2\).

giải:

ta có:

\(F(x)=\int \frac{\cos x d x}{\sqrt{4 \sin x-3}}=\int \frac{d(\sin x)}{\sqrt{4 \sin x-3}}=\frac{1}{4} \int \frac{d(4 \sin x-3)}{\sqrt{4 \sin x-3}}\)

áp dụng\(\int \frac{d u}{2 \sqrt{u}}=\sqrt{u}+C \Rightarrow F(x)=\frac{1}{2} \sqrt{4 \sin x-3}+C\)

do

\(F\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2}+C=1 \Rightarrow F(x)=\frac{1}{2} \sqrt{4 \sin x-3}+\frac{1}{2}\). 

Tìm nguyên hàm của hàm số

\(f(x)=\frac{x \sin x+(x+1) \cos x}{x \sin x+\cos x}\).

A. \(x^{2}+\ln |x \sin x+\cos x|+C\).

B. \(x+\ln |x \sin x+\cos x|+C\).

C. \(x+\frac{(x \sin x+\cos x)^{2}}{2}+C\).

D. \(x+|x \sin x+\cos x|\).

giải:

\((x \sin x+\cos x)^{\prime}=\sin x+x \cos x-\sin x=x \cos x\)

ta có:

\(\int \frac{x \sin x+(x+1) \cos x}{x \sin x+\cos x} d x=\int\left(1+\frac{x \cos x}{x \sin x+\cos x}\right) d x\)

\(\int d x+\int \frac{x \cos x}{x \sin x+\cos x} d x\)

 \(x+\int \frac{d(x \sin x+\cos x)}{x \sin x+\cos x}=x+\ln |x \sin x+\cos x|+C\). 

[Đề thi quốc gia năm 2008]

Cho hàm số f(x) thỏa mãn  \(f(2)=-\frac{2}{9}\) và \(f^{\prime}(x)=2 x[f(x)]^{2}\) với mọi x thuộc R. 

Giá trị của \(f(1)\) bằng:

A. \(-\frac{35}{36}\).

B. \(\frac{-2}{3}\).

C. \(\frac{-19}{36}\).

D. \(\frac{-2}{15}\).

giải:

\(f^{\prime}(x)=2 x[f(x)]^{2} \Rightarrow \frac{f^{\prime}(x)}{[f(x)]^{2}}=2 x\)

lấy nguyên hàm 2 vế ta có

\(\int \frac{f^{\prime}(x)}{[f(x)]^{2}} d x=\int 2 x d x \Leftrightarrow \int \frac{d[f(x)]}{[f(x)]^{2}}=x^{2}+C\)

\(\frac{-1}{f(x)}=x^{2}+C\)

mặt khác:

\(f(2)=-\frac{2}{9} \Rightarrow \frac{9}{2}=2^{2}+C \Leftrightarrow C=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{-1}{f(x)}=x^{2}+\frac{1}{2}\)

thay x=1 ta được

\(-\frac{1}{f(1)}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \Rightarrow f(1)=-\frac{2}{3}\)

Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn

\(f(x) \cdot f^{\prime}(x)=3 x^{5}+6 x^{2}\). 

biết f(0)=2. tính giá trị  \(f^{2}(2)\).

A. \(f^{2}(2)=144\).

B. \(f^{2}(2)=100\).

C. \(f^{2}(2)=64\).

D. \(f^{2}(2)=81\).

giải

\(f(x) \cdot f^{\prime}(x)=3 x^{5}+6 x^{2} \Leftrightarrow \int f(x) \cdot f^{\prime}(x) d x=\int\left(3 x^{5}+6 x^{2}\right) d x\)

mà

\(f(0)=2 \Rightarrow f^{2}(0)=4 \Rightarrow 2 C=4 \Rightarrow f^{2}(x)=x^{6}+4 x^{3}+4\)

vậy

\(f^{2}(2)=\left.\left(x^{6}+4 x^{3}+4\right)\right|_{x=2}=2^{6}+4.2^{3}+4=100\). 

Cho hàm số f(x) luôn dương và thỏa mãn \(f^{\prime}(x)=3 x^{2} \cdot f(x)\) với mọi x thuộc R. 

Biết rằng f(0) = 1, Giá trị của \(f(1)\) bằng:

A. 1 .

B. \(e\).

C. \(e^{2}\).

D. \(e^{3}\).

giải:

 \(f^{\prime}(x)=3 x^{2} \cdot f(x) \Leftrightarrow \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=3 x^{2}\)

lấy nguyên hàm 2 vế ta có

\(\int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} d x=\int 3 x^{2} d x \Leftrightarrow \int \frac{d f^{\prime}(x)}{f(x)}=x^{3}+C\)

suy ra được:

 \(f(x)=e^{x^{3}+C}\). 

do 

\(f(0)=e^{C}=1 \Leftrightarrow C=0 \Rightarrow f(1)=e\). 

Cho hàm số f(x) luôn dương và thỏa mãn  \(f^{\prime}(x)=(2 x+1) \sqrt{f(x)}\) với mọi x thuộc R.

Biết rằng f(2)=16. Gía trị của f(x) bằng :

A. 2 .

B. \(\frac{5}{2}\).

C.4.

D. 5

 giải:

\(f^{\prime}(x)=(2 x+1) \sqrt{f(x)} \Leftrightarrow \frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f(x)}}=2 x+1\)

Lấy nguyên hàm 2 vế ta có

\(\int \frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f(x)}} d x=\int(2 x+1) d x \Leftrightarrow \int \frac{d f^{\prime}(x)}{\sqrt{f(x)}}=x^{2}+x+C\)

thay x=2 ta có

 \(2 \cdot \sqrt{6}=2^{2}+2+C \Rightarrow C=2\)

thay x=1 ta có

\(2 \sqrt{f(1)}=1^{2}+1+2 \Rightarrow f(1)=4\).

Gia sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số  \(f(x)=\frac{1}{x(2+3 \ln x)^{2}}\). 

Biết rằng \(F\left(\frac{1}{e}\right)=1\). Tìm F(x)

A. \(F(x)=\frac{1}{9 \ln x+6}+\frac{4}{3}\).

B. \(F(x)=\frac{-1}{9 \ln x+6}+\frac{2}{3}\).

C. \(F(x)=\frac{1}{3 \ln x+2}+2\).

D. \(F(x)=\frac{-1}{3 \ln x+2}\).

giải:

\(F(x)=\int \frac{d x}{x(2+3 \ln x)^{2}}=\int \frac{d(\ln x)}{(2+3 \ln x)^{2}}=\frac{1}{3} \int \frac{d(3 \ln x+2)}{(2+3 \ln x)^{2}}=\frac{-1}{3(3 \ln x+2)}+C\)

do

\(F\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{-1}{-3}+C=1 \Rightarrow C=\frac{2}{3} \Rightarrow F(x)=\frac{-1}{9 \ln x+6}+\frac{2}{3}\)

Hàm số nào sau đây không phải nguyên hàm của hàm số

 \(f(x)=\frac{1+\sin x}{x-\cos x}\).

A. \(\ln |2 x-2 \cos x|\).

B. \(\ln |x-\cos x|+1\)

C. \(\frac{1}{2} \ln (x-\cos x)^{2}\).

D. \(\ln (2 x-2 \cos x)^{2}\).

giải:

\(F(x)=\frac{1+\sin x}{x-\cos x} d x=\int \frac{(x-\cos x)^{\prime}}{x-\cos x} d x=\int \frac{d(x-\cos x)}{x-\cos x}=\ln |x-\cos x|+C\)

Với C=ln2 ta được\(F(x)=\ln |2 x-2 \cos x|\).

Với C=1 ta được \(F(x)=\ln |x-\cos x|+1\).

Với C=0 ta được

\(F(x)=\frac{1}{2} \ln (x-\cos x)^{2}=\ln |x-\cos x|\).

=> đáp án sai là D