Phương pháp tính tích phân hàm hữu tỷ

Trương Hồng Hạnh

Có nhiều bạn đặt ra câu hỏi :"Làm thế nào để áp dụng các kỹ thuật tính toán để giải quyết các bài toán tích phân hàm hữu tỷ?" Hãy cùng Examon giải đáp nhé!

menu icon

Mục lục bài viết

  • 1. Dạng 1: Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng 1/(ax + b)
  • 2. Dạng 2: Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng 1/(ax+b)^n
  • 3. Dạng 3: Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng P(x)/(ax+b)^n
  • 4. Dạng 4: Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng (Mx + N)/(ax^2 + bx + c)
  • 5. Phương pháp học hiệu quả cùng Examon

Tích phân hàm hữu tỉ là một mảng kiến thức không thể thiếu đối với các bạn học sinh lớp 12, đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán phức tạp và ứng dụng thực tiễn. Phương pháp tính tích phân hàm hữu tỉ giúp chúng ta đơn giản hóa những hàm số chứa các biến số trong tử và mẫu một cách hiệu quả, từ đó tìm ra giá trị chính xác của tích phân. 

Trong bài viết này, Examon sẽ cùng nhau bạn khám phá và tìm hiểu sâu hơn về các phương pháp tính tích phân hàm hữu tỉ, bắt đầu từ những bước phân tách hàm đến các kỹ thuật cụ thể giúp giải quyết từng loại hàm hữu tỉ. Hy vọng rằng bài viết sẽ mang đến cho các bạn học sinh một cái nhìn toàn diện và dễ hiểu về chủ đề này, đồng thời khơi dậy niềm đam mê và sự hứng thú đối với toán học.

banner

1. Dạng 1: Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng 1/(ax + b)

Phương pháp chung

\(\begin{aligned} \int \frac{1}{a x+b} d x & =\frac{1}{a} \int \frac{1}{a x+b} d(a x+b) \\ & =\frac{1}{a} \ln |a x+b|+C\end{aligned}\)

Ví dụ : Tính tích phân \(I=\int_{0}^{2} \frac{1}{x+1} \mathrm{~d} x\).

Lời giải

Ta có \(I=\left.\ln (x+1)\right|_{0} ^{2}=\ln 3\).

2. Dạng 2: Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng 1/(ax+b)^n

Phương pháp giải :

\(\begin{aligned} \int \frac{1}{(a x+b)^{n}} d x & =\frac{1}{a} \int(a x+b)^{-n} d(a x+b) \\ & =\frac{1}{a} \cdot \frac{(a x+b)^{1-n}}{1-n}+C, n \geqslant 2\end{aligned}\)

Ví dụ : Tính tích phân sau : \(\begin{array}{l}I=\int_{0}^{1} \frac{x d x}{(x+1)^{3}} \end{array}\)

Lời giải 

\(\text { Гa có: } \frac{x}{(x+1)^{3}}=\frac{x+1-1}{(x+1)^{3}}=(x+1)^{-2}-(x+1)^{-3}\)

\(\Rightarrow I=\int_{0}^{1}\left[(x+1)^{-2}-(x+1)^{-3}\right] d x=\frac{1}{8}\)

3. Dạng 3: Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng P(x)/(ax+b)^n

Phương pháp giải

\(\int \frac{P_{m}(x)}{(a x+b)^{n}} d x, m\lt n\)

Cách 1: Đặt \(t=a x+b\)

Cách 2: \(\frac{P_{m}(x)}{(a x+b)^{n}}=\frac{A_{1}}{a x+b}+\frac{A_{2}}{(a x+b)^{2}}+....+\frac{A_{n}}{(a x+b)^{n}}\)

Ví dụ : Tính tích phân sau : \(I=\int_{0}^{2} \frac{x^{7}}{\left(1+x^{2}\right)^{5}} d x \quad\) 

Lời giải

Đặt \(t=1+x^{2} \Rightarrow d t=2 x d x \Rightarrow I=\frac{1}{2} \int_{1}^{5} \frac{(t-1)^{3}}{t^{5}} d t=\frac{64}{625} \)

4. Dạng 4: Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng (Mx + N)/(ax^2 + bx + c)

TH1 : Mẫu có 2 nghiệm phân biệt

Phương pháp giải :

\[\frac{M x+N}{a x^{2}+b x+C}=\frac{M x+N}{\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)}=\frac{A}{x-x_1}+\frac{B}{x-x_2}\]

Ví dụ : Tính tích phân \(I=\int_{-1}^{0} \frac{2 x+10}{-x^{2}+x+2} d x\)

Lời giải

Ta có

\[I=\int_{-1}^{0} \frac{2 x+10}{-x^{2}+x+2} d x=\int_{-1}^{0} \frac{2 x+10}{(x+2)(1-x)} d x\]

\(\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}B-A=2 \\ A+2 B=10\end{array}=\left\{\begin{array}{l}A=2 \\ B=4\end{array}\right.\right. \\ \text { Vậy } I=\int_{-1}^{0}\left(\frac{2}{x+2}+\frac{4}{1-x}\right) d x \\ =\left.(2 \ln |\mathrm{x}+2|-4 \ln |1-x|)\right|_{-1} ^{0} \\ =(2 \ln 2-4 \ln 1)-(2 \ln 1-4 \ln 2) \\ =2 \ln 2+4 \ln 2 \\ =\ln 64 \\\end{array}\)

TH2 : Mẫu có 1 nghiệm kép

Phương pháp giải

\(\frac{M x+N}{a x^{2}+b x+c}=\frac{M x+N}{(x-x_1)^2}=\frac{A}{x-x_1}+\frac{B}{(x-x_1)^{2}}\)

Ví dụ : Tính tích phân sau : \(I=\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}+4 x+4} d x\)

Lời giải

\(I=\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}+4 x+4} d x=\int_{0}^{1} \frac{1}{(x+2)^{2}} d x=\left.\frac{-1}{x+2}\right|_{0} ^{1}\) \(= \frac{1}{6} \)

TH3 : Mẫu vô nghiệm

Phương pháp giải

\(\frac{M x+N}{a x^{2}+b x+c}=\frac{\frac{M}{2 a}(2 a x+b)+\left(N-\frac{M b}{2 a}\right)}{a x^{2}+b x+c}\)

Ví dụ : Tính tích phân : \(I=\int_{1}^{3} \frac{3 x+2}{x^{2}-4 x+5} d x\)

Lời giải 
Chú ý \(\left(x^{2}-4 x+5\right)^{\prime}=2 x-4\)

\[\begin{array}{l}\text { Khi đó } I=\int_{1}^{3} \frac{\frac{3}{\frac{3}{2}}(2 x-4)+8}{x^{2}-4 x+5} d x \\=\int_{1}^{3}\left(\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x-4}{x^{2}-4 x+5}+8 \cdot \frac{1}{x^{2}-4 x+5}\right) d x \\=\frac{3}{2} \int_{1}^{3} \frac{2 x-4}{x^{2}-4 x+5} d x+8 \cdot \int_{1}^{3} \frac{1}{x^{2}-4 x+5} d x \\+ \text { Xét } \frac{3}{2} \int_{1}^{3} \frac{2 x-4}{x^{2}-4 x+5} d x=\frac{3}{2} \int_{1}^{3} \frac{d\left(x^{2}-4 x+5\right)}{x^{2}-4 x+5} \\=\left.\frac{3}{2}\left(\ln \left|\mathrm{x}^{2}-4 \mathrm{x}+5\right|\right)\right|_{0} ^{1}=\frac{3}{2}(\ln 2-\ln 2)=0 \\+ \text { Xét: } 8 \cdot \int_{1}^{3} \frac{1}{x^{2}-4 x+5} d x \\=8 \cdot \int_{1}^{3} \frac{1}{(x-2)^{2}+1} d x\end{array}\]

Đặt \(x-2=\tan t\), với \(t \in\left(-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right)\) \(\Rightarrow d x=\frac{d t}{\cos ^{2} t}\)

Đổi cận: 

Với \(x=1 \Rightarrow t=-\frac{\pi}{4}\);

Với \(x=3 \Rightarrow t=\frac{\pi}{4}\)

\[\begin{array}{l}\Rightarrow N=8 \cdot \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d t}{\cos ^{2} t\left(\tan ^{2} t+1\right)} \\=8 \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} d t=\left.8 t\right|_{\frac{-\pi}{4}} ^{\frac{\pi}{4}}=4 \pi .\end{array}\]

Vậy \(I=M+N=4 \pi\)

 

5. Phương pháp học hiệu quả cùng Examon

Khép lại bài viết này, Examon đã tổng hợp phương pháp tính tích phân hàm hữu tỉ – một công cụ mạnh mẽ và không thể thiếu trong toán học . Việc nắm vững các bước phân tích hàm hữu tỉ, từ phân tích thành phần căn bản đến áp dụng các kỹ thuật giải tích phân, không chỉ giúp học sinh có được nền tảng vững chắc mà còn mở ra khả năng áp dụng vào nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác. 

Hy vọng rằng qua bài viết này, các bạn học sinh hiểu rõ hơn về phương pháp tích phân. Những kiến thức và kỹ năng thu được không chỉ giúp bạn tự tin giải quyết mọi bài toán tích phân mà còn tạo nền móng vững chắc cho những bước tiến sâu hơn trong con đường học thuật. Hãy luôn nhớ rằng, những nỗ lực nhỏ mỗi ngày sẽ góp phần tạo nên những thành công lớn trong tương lai.

PHƯƠNG PHÁP HỌC HIỆU QUẢ [TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH]

Có bao giờ bạn tự hỏi tại điểm kiểm tra của mình thấp không?

Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".

Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?

Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:

Bước 1:  Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú

Bước 2:  Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện 

Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:

 

BÀI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SGKTiết
CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP7
Bài 1. Mệnh đề toán học3
Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp3
Bài tập cuối chương I1
CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN6
Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn2
Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn3
Bài tập cuối chương II1

 

Bước 3:  Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp

Phân phối chương trình SGK Toán 10 KNTT

Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?

Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán 

Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi. 

Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON

 

Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 200%

Examon sẽ phân phối chương trình theo từng dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào? mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.

Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

Sơ đồ tối ưu hoá cải thiện Điểm số cho học sinh