Phương pháp tính tích phân hàm ẩn

Trương Văn Danh

Bài viết này Examon sẽ giúp bạn nắm được các công thức tính và áp dụng giải bài tập tích phân hàm ẩn một cách dễ dàng.

menu icon

Mục lục bài viết

  • 1. Thế nào là hàm ẩn.
    • 1.1. Khái niệm.
    • 1.2. Một số hàm ẩn thường gặp.
  • 2. Phương pháp giải.
  • 3. Phân loại và kỹ thuật giải chi tiết.
    • 3.1. Loại 1.
    • 3.2. Loại 2.
    • 3.2. Loại 3.
    • 3.4. Loại 4.
  • 4. Bài tập vận dụng.
    • 4.1. Bài tập 1.
    • 4.2. Bài tập 2.
    • 4.3. Bài tập 3.
  • Lời kết

Tích phân hàm ẩn là một dạn toán nâng cao của Tích phân. Để tính tích phân hàm ẩn chúng ta cần hiểu rõ và nắm được những loại hàm ẩn phổ biến cũng như các phương pháp giải  để có thể thực hành giải các bài tập liên quan. Hiểu được sự quan tâm của các bạn đến với dạn toán tính tích phân hàm ẩn này, trong bài viết hôm nay Examon sẽ giúp bạn tìm hiểu và áp dụng giải một số bài tập liên quan nhé!

banner

1. Thế nào là hàm ẩn.

1.1. Khái niệm.

• Tích phân hàm ẩn là dạng tích phân mà ở đó hàm số bị ẩn đi và không được cho dưới dạng một công thức. 

• Để tính được tích phân hàm ẩn, chúng ta cần phân dạng chính xác và áp dụng các công thức phù hợp để giải quyết bài toàn một cách nhanh chóng nhất. 

1.2. Một số hàm ẩn thường gặp.

1. 

\[\int_{a}^{b} u^{\prime}(x) \cdot f[u(x)] \cdot d x\]

2. \(f(x)+B \cdot u^{\prime} \cdot f(u)+C \cdot f(a+b x)=g(x)\)

3. 

\[f(x) \cdot f(a+b--x)=k^{2}\]

4.  \(\int_{a}^{b} u(x) \cdot f^{\prime}(x) d x\)

5. \(g[f(x)]=x\)

6. \(f(x)+p(x) \cdot f(x)=h(x)\)

2. Phương pháp giải.

a. Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \([-a ; a]\).Khi đó: \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=\int_{0}^{a}[f(x)+f(-x)] d x (1)\)

Chứng minh:

Ta có \(\int_{-a}^{a} f(x) d x\)\(=\int_{-a}^{0} f(x) d x+\int_{0}^{a} f(x) d x\)

Xét \(\quad I=\int_{-a}^{0} f(x) d x . \quad\) 

Đổi biến \(x=-t \Rightarrow d x=-d t\).

Đổi cận \(x=-a \Rightarrow t=a ; x=0 \Rightarrow t=0\)

Khi đó \(I=\int_{a}^{0} f(-t)(-d t)\)\(=\int_{0}^{a} f(-t) d t=\int_{0}^{a} f(-x) d x\)

=> Do đó (1) được chứng minh

Đặc biệt

+ Nếu \(f(x)\) là hàm số lẻ thì ta có

\[\int_{-a}^{a} f(x) d x=0 \ (1.1)\]

+ Nếu \(f(x)\) là hàm số chẵn thì ta có

\[\int_{-a}^{a} f(x) d x=2 \int_{0}^{a} f(x) d x \ (1.2)\]

+ Nếu \(f(x)\) là hàm số chẵn thì ta cũng có

\[\int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+b^{x}} d x=\frac{1}{2} \int_{-a}^{a} f(x) d x \\]

\((0\lt b \neq 1)\) (1.3)

Chứng minh (1.3):

Đặt \(A=\int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+b^{x}} d x(*)\).

Đổi biến \(x=-t \Rightarrow d x=-d t\).

Đổi cận \(x=-a \Rightarrow t=a ; x=a \Rightarrow t=-a\)

Khi đó \(A=\int_{a}^{-a} \frac{f(-1)}{1+b^{-t}}(-d t)\)\(=\int_{-a}^{a} \frac{b^{t} \cdot f(t)}{1+b^{t}} d t\)

Hay \(A=\int_{-a}^{a} \frac{b^{x} \cdot f(x)}{1+b^{x}} d x(* *)\).

Suy ra:

\[2 A=\int_{-a}^{a} f(x) d x \Leftrightarrow A=\frac{1}{2} \int_{-a}^{a} f(x) d x .\]

 

b. Nếu \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([a ; b]\) thì

\[\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(a+b-x) d x\]

Hệ quả: hàm số \(f(x)\) liên tục trên \([0 ; 1]\), khi đó:

\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x\]

 

c. Nếu \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([a ; b]\) và \(f(a+b-x)=f(x)\) thì

\[\int_{a}^{b} x f(x) d x=\frac{a+b}{2} \int_{a}^{b} f(x) d x\]

 

d. Nếu \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([a ; b]\) và \(f(x) \geq 0\) với \(\forall x \in[a ; b]\) thì \(\int_{a}^{b} f(x) d x \geq 0\) và \(\int_{a}^{b} f(x) d x=0\) khi \(f(x)=0\).

3. Phân loại và kỹ thuật giải chi tiết.

3.1. Loại 1.

Loại 1: Biểu thức tích phân đưa về dạng: \(u(x) f^{\prime}(x)+u^{\prime}(x) f(x)=h(x)\)

Cách giải:

+ Ta có \(u(x) f^{\prime}(x)+u^{\prime}(x) f(x)=[u(x) f(x)]\)

+ Do đó \(u(x) f^{\prime}(x)+u^{\prime}(x) f(x)\)

\(=h(x) \Leftrightarrow[u(x) f(x)]^{\prime}=h(x)\)

Suy ra \(u(x) f(x)=\int h(x) d x\)

Suy ra được \(f(x)\)

3.2. Loại 2.

Loại 2: Biểu thức tích phân đưa về dạng: \(f^{\prime}(x)+f(x)=h(x)\)

Cách giải:

+ Nhân hai vế với \(e^{x} \Rightarrow e^{x} . f^{\prime}(x)+e^{x} . f(x)\)\(=e^{x} \cdot h(x) \Leftrightarrow\left[e^{x} \cdot f(x)\right]^{\prime}=e^{x} \cdot h(x)\)

Suy ra \(e^{x} . f(x)=\int e^{x} h(x) d x\)

Suy ra được \(f(x)\)

3.2. Loại 3.

Loại 3: Biểu thức tích phân đưa về dạng: \(f^{\prime}(x)-f(x)=h(x)\)

Cách giải:

+ Nhân hai vế với \(e^{-x} \Rightarrow e^{-x} \cdot f^{\prime}(x)+e^{-x} \cdot f(x)\)\(=e^{-x} \cdot h(x) \Leftrightarrow\left[e^{-x} \cdot f(x)\right]^{\prime}=e^{-x} \cdot h(x)\)

Suy ra \(e^{-x} \cdot f(x)=\int e^{-x} h(x) d x\)

Suy ra được \(f(x)\)

3.4. Loại 4.

Loại 4: Biểu thức tích phân đưa về dạng: \(f^{\prime}(x)+p(x) f(x)=h(x)\)

Cách giải:

\[e^{\int p(x) d x} \Rightarrow f^{\prime}(x) \cdot e^{\int p(x) d x}+p(x) \cdot e^{\int p(x) d x} \cdot f(x)=h(x) \cdot e^{\int p(x) d x}\]

+ Nhân hai vế với

\[\Leftrightarrow\left[f(x) \cdot e^{\int p(x) d x}\right]^{\prime}=h(x) \cdot e^{\int p(x) d x}\]

Suy ra \(f(x) \cdot e^{\int p(x) d x}=\int e^{\int p(x) d x} h(x) d x\)

Suy ra được \(f(x)\)

Công thức \(\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(a+b-x) d x\)

4. Bài tập vận dụng.

4.1. Bài tập 1.

Cho \(y=f(x)\) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \([-6 ; 6]\).

Biết rằng \(\int_{-1}^{2} f(x) d x=8\) và \(\int_{1}^{3} f(-2 x) d x=3\).

Tính \(\int_{-1}^{6} f(x) d x\).

A. \(I=11\).

B. \(I=5\).

C. \(I=2\).

D. \(I=14\).

Huớng dẫn giải:

Gọi \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \([-6 ; 6]\) ta có

\[\begin{array}{l}\qquad \int_{1}^{3} f(-2 x) d x=3 \Leftrightarrow \int_{1}^{3} f(2 x) d x=3 \\\left.\Leftrightarrow \frac{1}{2} F(2 x)\right|_{1} ^{3}=3 .\end{array}\]

Do đó \(F(6)-F(2)=6\) 

hay \(\int_{2}^{6} f(x) d x=6\).

Vậy \(I=\int_{-1}^{6} f(x) d x\)\(=\int_{-1}^{2} f(x) d x+\int_{2}^{6} f(x) d x=14\).

=> Chọn đáp án D.

4.2. Bài tập 2.

Tích phân \(I=\int_{-1}^{1} \frac{x^{2020}}{e^{x}+1} d x\) có giá trị là

A. \(I=0\).

B. \(I=\frac{2^{2020}}{2019}\).

C. \(I=\frac{2^{2021}}{2021}\).

D. \(I=\frac{2^{2019}}{2019}\).

Hướng dẫn giải

Cho hàm số \(f(x)=x^{2020}\) và \(b=e\)

Ta có \(I=\frac{1}{2} \int_{-1}^{1} x^{2020} d x=\left.\frac{x^{2021}}{2021}\right|_{-1} ^{1}\)

\(=\frac{2 \cdot 2^{2021}}{2021} \Rightarrow I=\frac{2^{2021}}{2021}\).

=> Chọn đáp án C.

4.3. Bài tập 3.

Bài tập 7: Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \([0 ; 4]\), thỏa mãn \(f(x)+f^{\prime}(x)=e^{-x} \sqrt{2 x+1}\) với mọi \(x \in[0 ; 4]\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(e^{4} f(4)-f(0)=\frac{26}{3}\).

B. \(e^{4} f(4)-f(0)=3 e\).

C. \(e^{4} f(4)-f(0)=e^{4}-1\).

D. \(e^{4} f(4)-f(0)=3\).

Hướng dẫn giải:

Nhân hai vế cho \(e^{x}\) để thu được đạo hàm đúng, ta được:

\[e^{x} f(x)+e^{x} f^{\prime}(x)=\sqrt{2 x+1}\]

\(\Leftrightarrow\left[e^{x} f(x)\right]^{\prime}=\sqrt{2 x+1}\).

Suy ra \(e^{x} f(x)=\int \sqrt{2 x+1} d x\)

\(=\frac{1}{3}(2 x+1) \sqrt{2 x+1}+C\)

Vậy \(e^{4} f(4)-f(0)=\frac{26}{3}\).

=> Chọn đáp án A.

Lời kết

Như vậy Examon đã giúp bạn tìm hiểu thêm một cách tính Tích phân trong chương trình Tích phân lớp 12 rồi đó! Hy vọng qua bài viết này bạn đã có thể áp dụng các công thức để giải bài tập và tính tích phân hàm ẩn một cách thuận tiện và dễ dàng. Để học tốt chương trình Tích phân nói riêng và chương trình Toán lớp 12 nói chung, các bạn cần phải tự học và tự luyện để thật nhiều nhé. Vậy bạn có biết vì sao luyện để lại quan trọng đến vậy không?

Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau. Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác,  Examon sẽ giúp bạn:

• Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.

• Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.

• Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!

Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.

Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!

Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.

Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Examon.png
Bộ đề thi cấp tốc 30 ngày cùng Examon

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!