Phương pháp tính Tích Phân bằng định nghĩa và tính chất

Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên \(K\) và \(a, b\) là hai số bất kì thuộc \(K\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\) thì hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân của \(f(x)\) từ \(a\) đến \(b\) và kí hiệu là:

Ta gọi: \(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, \(f(x) \mathrm{dx}\) là biểu thức dấu tích phân và \(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý: Trong trường hợp \(a=b\) hoặc \(a\gt b\), ta có quy ước:

Nhận xét: 

• Tích phân của hàm số \(f\) từ a đến b có thể kí hiệu bởi \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) hoặc \(\int_{a}^{b} f(u) d u\) hoặc \(\int_{a}^{b} f(t) d t\). 

• Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số \(f\) và các cận \(a, b\) mà không phụ thuộc vào biến số \(x\) hay \(t\).

Ý nghĩa hình học của tích phân: 

Nếu hàm số \(f(x)\) liên tục và không âm trên đoạn \([a, b]\), thì tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) là diện tích \(\mathbf{S}\) của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của \(f(x)\), trục \(O x\) và hai đường thẳng \(x=a, x=b\). Vậy \(S=\) \(\int_{a}^{b} f(x) d x\)

Giả sử hàm số \(y=f(x)\) là hàm số liên tục và không âm trên đoạn \([a ; b]\). Khi đó, tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y=f(x)\), trục hoành \(O x\) và hai đường thẳng \(x=a, x=b\), với \(a\lt b\).

\(S=\int_{a}^{b} f(x) d x\)

Chẳng hạn: \(F(x)=x^{3}+C\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=3 x^{2}\) nên tích phân

Luu ý: Giá trị của tích phân không phu thuộc vào hằng số \(C\). Trong tính toán, ta thường chọn \(C=0\).

Chẳng hạn: Hàm số \(f(x)=x^{2}+2 x+1\) có đồ thị \((C)\) và \(f(x)=(x+1)^{2} \geq 0\), với \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Diện tích "tam giác cong" giới hạn bởi (C) , trục \(O x\) và hai đường thẳng \(x=-1\) và \(x=1\) là \(S=\int_{-1}^{1} f(x) d x=\int_{-1}^{1}\left(x^{2}+2 x+1\right) d x\) \(=\left.\left(\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+x\right)\right|_{-1} ^{1}=\frac{8}{3}\).

Lưu ý: Ta còn gọi hình phẳng trên là "hình thang cong".

1. Tích phân tại một giá trị xác định của biến số thì bằng 0 , tức là \(\int_{a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0\) 

2. Đổi cận thì đổi dấu, tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=-\int_{b}^{a} f(x) \mathrm{d} x\).

3. Tách đôi tích phân, tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x\)

4. Nếu hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=0\)

5. Nếu hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm số chắn trên \([-\mathrm{a} ; \mathrm{a}]\) thì \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=2 \int_{0}^{a} f(x) d x\)

6. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm chẵn trên \(\mathrm{R}\) thì: \(\quad \int_{-\alpha}^{\alpha} \frac{f(x)}{a^{x}+1} d x=\int_{0}^{\alpha} f(x) d x\) (với \(\alpha \in \mathrm{R}^{+}\)và \(\mathrm{a}\gt 0\) )

7. Hằng số trong tích phân có thể đưa ra ngoài dấu tích phân, tức là

\((k\) là hằng số\()\)

8. Tích phân một tổng bẳng tổng\((k\) các tích phân, tức là

9. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục trên \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\) thì \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x\)

10. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và \(f(a+b-x)=f(x)\) hoặc \(f(a+b-x)=-f(x)\)

• Sử dụng và áp dụng các tính chất của tích phân.

• Sử dụng bảng nguyên hàm và định nghĩa tích phân để tính tích phân.

• Để tính tích phần từ a đến b, ta tiến hành tìm nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm rồi sau đó thay cận vào các công thức.

Bài tập 1: Biết tích phân \(I=\int_{1}^{2} \frac{d x}{(x+1) \sqrt{x}+x \sqrt{x+1}}\)\(=a \sqrt{2}+b \sqrt{3}+c\), với \(a, b, c \in \mathbb{Z}\). Giá trị biểu thức:

A. \(P=8\).

B. \(P=0\).

C. \(P=2\).

D. \(P=6\).

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\sqrt{x+1}-\sqrt{x} \neq 0, \forall x \in[1 ; 2]\) nên:

\(I=\int_{1}^{2} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x+1}} d x=\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{x}} d x\)\(-\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{x+1}} d x=\left.(2 \sqrt{x}-2 \sqrt{x+1})\right|_{1} ^{2}\)\(=4 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}-2\). 

Suy ra \(a=4, b=c=-2\) 

nên \(P=a+b+c=0\).

=> Chọn đáp án: B

Bài tập 2: Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \([0,1]\) thỏa mãn \(f(1)=0\),\(\int_{0}^{1}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} d x=7\) và \(\int_{0}^{1} x^{3} \cdot f^{\prime}(x) d x=-1\). 

Giá trị \(I=\int_{0}^{1} f(x) d x\) là:

A. 1 .

B. \(\frac{7}{4}\).

C. \(\frac{7}{5}\).

D. 4 .

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\int_{0}^{1}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} d x=7\) (1).

và \(\int_{0}^{1} 14 x^{3} \cdot f^{\prime}(x) d x=-14(3)\).

Cộng hai vế \((1),(2)\) và (3) suy ra

\(\int_{0}^{1}\left[f^{\prime}(x)+7 x^{3}\right]^{2} d x=0\)

mà \(\left[f^{\prime}(x)+7 x^{3}\right]^{2} \geq 0\)\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=-7 x^{3}\).

Hay \(f(x)=-\frac{7 x^{4}}{4}+C\).

Do đó \(f(x)=-\frac{7 x^{4}}{4}+\frac{7}{4}\).

Vậy:

\(\int_{0}^{1} f(x) d x=\int_{0}^{1}\left(-\frac{7 x^{4}}{4}+\frac{7}{4}\right) d x=\frac{7}{5}\)

=> Chọn đáp án: C

Câu 1: Tính các tích phân sau:

a) \(I=\int_{0}^{1} 3 x^{2} \mathrm{~d} x\)

b) \(I=\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x\)

c) \(I=\int_{0}^{\ln 2} 2^{x} \mathrm{~d} x\)

d) \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x \mathrm{~d} x\)

Câu 2: Gọi \(F(x)\) là nguyên hàm của hàm số \(f(x)=e^{x}\). Tính \(F(2 \ln 2)-F(\ln 2)\).

Câu 3: Gọi \(F(x)\) là nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\frac{1}{x}\) thỏa điều kiện \(F(1)=2\). Tính \(F(e)\).

Câu 1:

a) \(I=\int_{0}^{1} 3 x^{2} \mathrm{~d} x=\left.x^{3}\right|_{0} ^{1}=1-0=1\). 

b) \(I=\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=\left.2 \sqrt{x}\right|_{1} ^{4}\)\(=2(2-1)=2\).

c) \(I=\int_{0}^{1} 2^{x} \mathrm{~d} x=\left.\frac{2^{x}}{\ln 2}\right|_{0} ^{1}\)\(=\frac{1}{\ln 2}\left(2^{1}-2^{0}\right)=\frac{1}{\ln 2}\).

d) \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x \mathrm{~d} x=-\left.\cos x\right|_{0} ^{\frac{\pi}{4}}\)\(=-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-1\right)=1-\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Câu 2: 

Vì hàm số \(f(x)=e^{x}\) liên tục trên đoạn \([\ln 2 ; 2 \ln 2]\) nên ta có:\(F(\ln 4)-F(\ln 2)=\int_{\ln 2}^{\ln 4} f(x) \mathrm{d} x\)\(=\int_{\ln 2}^{\ln 4} e^{x} \mathrm{~d} x=\left.e^{x}\right|_{\ln 2} ^{\ln 4}=2\)

Câu 3: 

Vì hàm số \(f(x)=\frac{1}{x}\) liên tục trên đoạn \([1 ; e]\) nên ta có:\(F(e)-F(1)=\int^{e} f(x) \mathrm{d} x\)\(=\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\ln |x| \|_{1}^{e}=1\).

Suy ra: \(F(e)=1+F(1)=1+2=3\).