Phương pháp tính Nguyên hàm từng phần

Tính nguyên hàm của hàm số lượng giác và hs mũ:

\(\int e^{a x+b} \sin (c x+d) d x\) ; \(\int e^{a x+b} \cos (c x+d) d x\)

Phương pháp thực hiện

b1: đặt

\(\left\{\begin{array}{l}u=\sin (c x+d) \\ d v=e^{a x+b} d x\end{array}\right.\) Hoặc \(\left\{\begin{array}{l}u=\cos (c x+d) \\ d v=e^{a x+b} d x\end{array}\right.\)

b2: dừa vào công thức tổng quát để tính nguyên hàm

*Lưu ý: ở dạng tính nguyên hàm của hàm số lượng giác và hàm số mũ này thì các em nên lấy nguyên hàm từng phần 2 lần. Ngoài ra ở b1 cũng có thể đặt như sau

\(\left\{\begin{array}{l}u=e^{a x+b} \\ d v=\sin (c x+d) d x\end{array}\right.\) ;  \(\left\{\begin{array}{l}u=e^{a x+b} \\ d v=\cos (c x+d) d x\end{array}\right.\)

Tính nguyên hàm của hàm số lượng giác

A= \(\int f(x) \sin (a x+b) d x\) ; B= \(\int f(x) \cos (a x+b) d x\)

Phương pháp thực hiện:

b1: đặt

\(\left\{\begin{array}{l}u=f(x) \\ d v=\sin (a x+b) d x\end{array} \Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=f^{\prime}(x) d x \\ v=-\frac{1}{a} \cos (a x+b)\end{array}\right.\right.\)

hoặc có thể đặt theo cách khác

\(\left\{\begin{array}{l}u=f(x) \\ d v=\cos (a x+b) d x\end{array} \Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=f^{\prime}(x) d x \\ v=\frac{1}{a} \sin (a x+b)\end{array}\right.\right.\)

b2: biến đổi

\(\int f(x) \sin (a x+b) d x=u v-\int v d u\)

hoặc biến đổi theo các như sau

\(\int f(x) \cos (a x+b) d x=u v-\int v d u\)

Tính nguyên hàm của 

A=\(\int f(x) \cdot e^{a x+b} d x\)

Trong đó, f(x) là một hàm đa thức

Phương pháp thực hiện

b1: đặt

\(\left\{\begin{array}{l}u=f(x) \\ d v=e^{a x+b} d x\end{array} \Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=f^{\prime}(x) d x \\ v=\frac{1}{a} e^{a x+b} d x\end{array}\right.\right.\)

b2: sau khi đặt ở bước 1, ta có

\(\int f(x) e^{a x+b} d x=u v-\int v d u\)

Tính nguyên hàm của hàm số logarit

\(I=\int f(x) \ln (a x+b) d x\)

Trong đó f(x) là một hàm của đa thức

Phương pháp thực hiện

b1: ta đặt

\(\left\{\begin{array}{l}u=\ln (a x+b) \\ d v=f(x) d x\end{array} \Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=\frac{a}{a x+b} d x \\ v=\int f(x) d x\end{array}\right.\right.\)

b2: sau khi đặt ở b1 ta suy ra được

I=uv-\(\int v d u\)

Tính nguyên hàm của hàm số sau:

I=\(\int \sin x \cdot e^{x} d x\)

đặt

\(\left\{\begin{array}{l}u=\sin x \\ d v=e^{x} d x\end{array} \Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=\cos x d x \\ v=e^{x}\end{array}\right.\right.\)

suy ra được

\(I=e^{x} \sin x-\int \cos x e^{x} d x=e^{x} \sin x-J\)

và

\(J=\int \cos x \cdot e^{x} d x\)

để tính J, ta cần lấ nguyên hàm từng phần 2 lần như sau

đặt

\(\left\{\begin{array}{l}u=\cos x \\ d v=e^{x} d x\end{array} \Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=-\sin x d x \\ v=e^{x}\end{array}\right.\right.\)

ta có

\(J=e^{x} \cos x+\int \sin x . e^{x} d x\)

= \(e^{x} \cos x+I\)

lúc này biểu thức nguyên hàm sẽ trở thành

= \(e^{x} \sin x-J\)

= \(e^{x} \sin x-\left(e^{x} \cos x+I\right)\)

<=> 2I = \(e^{x} \sin x-e^{x} \cos x\)

Vậy I = 1/2 \(\left(e^{x} \sin x-e^{x} \cos x\right)\) + C

Tính nguyên hàm của hàm lượng giác sau

A=\(\int x \cdot \sin x \cdot d x\)

Dựa theo phương pháp giải được trình bày ở trên, ta đặt

\(\left\{\begin{array}{l}u=x \\ d v=\sin x d x\end{array} \Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=d x \\ v=-\cos x\end{array}\right.\right.\)

áp dụng công thức ta có

A=\(-x \cos x+\int \cos x d x=-x \cos x+\sin x+C\)

Tính nguyên hàm của biểu thức 

\(I=\int x . e^{x} d x\)

ta tiến hành đặt 

\(\left\{\begin{array}{l}u=x \\ d v=e^{x} d x\end{array} \Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=d x \\ v=e^{x}\end{array}\right.\right.\)

theo công thức tính nguyên hàm từng phần ta có

\(I=\int x e^{x} d x\)

= \(x e^{x}-\int e^{x} d x\)

= \(x e^{x}-\int d\left(e^{x}\right)\)

= \(x e^{x}-e^{x}+C\)

Tính nguyên hàm của hàm số

f(x) = x.lnx

Dựa theo phương giải ở trên, ta thấy được

F(x) = \(\int f(x) d x=\int x \cdot \ln x \cdot d x\)

Các em tiến hành đặt biểu thức ở dạng

\(\left\{\begin{array}{l}u=\ln x \\ d v=x d x\end{array} \Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=\frac{d x}{x} \\ v=\frac{x^{2}}{2}\end{array}\right.\right.\)

theo phương pháp nguyên hàm từng phần ta có

F(x) = \(\frac{1}{2} x^{2} \ln x-\frac{1}{2} \int x d x=\frac{1}{2} x^{2} \ln x-\frac{1}{4} x^{2}+C\)