Phương pháp tính nguyên hàm hàm số hữu tỉ
Tất cả các nội dung dưới đây đều có liên quan đến phương pháp tình các loại, các trường hợp của dạng bài nguyên hàm hàm số hữu tỉ.
Mục lục bài viết
Phương pháp này giúp bạn đơn giản hóa quá trình tính toán nguyên hàm và cung cấp một cái nhìn sâu sắc về cấu trúc của hàm số hữu tỉ. Từ đó, nó mở rộng khả năng ứng dụng trong nhiều bài toán thực tiễn và lý thuyết, mang lại hiệu quả cao trong việc giải quyết các vấn đề phức tạp khác.
Cùng tìm hiểu Phương pháp tính nguyên hàm hàm số hữu tỉ nhé!
1. Hai trường hợp trong hàm số hữu tỉ
Xét f(x) là hàm hữu tỉ có dạng f(x) \(=\frac{P(x)}{Q(x)}\)
TH1: bậc tử >= bậc mẫu
=> chia đa thức được: M là thương, N là dư
Khi đó \(\int f(x) \mathrm{d} x=\int \frac{P(x)}{Q(x)} \mathrm{d} x=\int\left(M+\frac{N}{Q(x)}\right) \mathrm{d} x\).
TH2: bậc tử < bậc mẫu
=> được chia thành 3 loại
2. Ba loại cụ thể trong trường hợp M < T
2.1. Loại 1
\(f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\)trong đó \(\left\{\begin{array}{l}P(x)=\gamma(\text { const }) \\ Q(x)=a x+b\end{array}\right.\)
thì : \(\int \frac{P(x)}{Q(x)} \mathrm{d} x=\int \frac{\gamma}{a x+b} \mathrm{~d} x\)
\(=\frac{\gamma}{a} \ln |a x+b|+C\)
2.2. Loại 2
f\((x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\) trong đó \(\left\{\begin{array}{l}P(x)=\gamma(\text { const }) \\ Q(x)=a x^{2}+b x+c\end{array}\right.\)
Loại này gồm các trường hợp sau:
TH1: Q(x) có \(\Delta\gt 0\)
*Nhận dạng:
- Tử là hằng số
- Mẫu có 2 nghiệm pb
=> \(\int \frac{\gamma}{a x^{2}+b x+c} \mathrm{~d} x=\int \frac{\gamma}{a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)} \mathrm{d} x\)
\(=\frac{\gamma}{a\left(x_{2}-x_{1}\right)} \int\left(\frac{1}{x-x_{2}}-\frac{1}{x-x_{1}}\right)\)dx với x2 > x1
TH2: Q(x) có \(\Delta\)=0
=> \(\int \frac{\gamma}{a x^{2}+b x+c} \mathrm{~d} x=\int \frac{\gamma}{a\left(x-x_{0}\right)^{2}} \mathrm{~d} x\)
\(=-\frac{\gamma}{a\left(x-x_{0}\right)}+C\).
*Nhận dạng:
- Tử là hằng số
- Mẫu có nghiệm kép
TH3: Q(x) có \(\Delta\) < 0
=> \(\int \frac{\gamma}{a x^{2}+b x+c} \mathrm{~d} x=\frac{\gamma}{a} \int \frac{1}{\left(x-x_{0}\right)^{2}+k^{2}} \mathrm{~d} x\)
=> lượng giác hóa
*Nhận dạng
- Tử là hằng số
- Mẫu vô nghiệm
2.3. Loại 3
fQ(x) có \(\Delta\) > 0
Nhận dạng:
- Bậc tử < bậc mẫu
- Mẫu có hai nghiệm pb
cách 1:
\(I=\int \frac{m x+n}{a x^{2}+b x+c} \mathrm{~d} x=\int \frac{C\left(x-x_{1}\right)+D\left(x-x_{2}\right)}{a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)} \mathrm{d} x=\)
\(=\frac{1}{a} \int\left(\frac{C}{x-x_{2}}+\frac{D}{x-x_{1}}\right) d x\)
cách 2:
Xét \(I=\int \frac{m x+n}{a x^{2}+b x+c} d x\)
= \(\int \frac{m x+n}{a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)} d x\)
Khi đó ta có:
\(\int \frac{m x+n}{a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)} d x\) = \(\int \frac{m x+n}{a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)} \mathrm{d} x\)
= \(=\frac{1}{a}\left(X \cdot \ln \left|x-x_{1}\right|+Y \cdot \ln \left|x-x_{2}\right|\right)+C\).
*Lưu ý:
(1) Cách lấy các "hệ số" bỏ vào hệ ta lấy theo thứ tự từ PHẢI qua TRÁI.
(2) Với tử là hằng số, ta vẫn có thể áp dụng được cách này.(Áp dung được cho 2.2.1)
Ví du: \(I=\int \frac{1}{a x^{2}+b x+c} \mathrm{~d} x\) ta xem hệ số \(m=0 \& n=1\).
(3) Khuyết vị trí nào thì xem hệ số đó \(=0\).
Ví du: \(I=\int \frac{n}{a x^{2}+b x+c} \mathrm{~d} x\) khuyết " \(m x\) " nên hệ số \(m=0\).
(4) Chú ý hệ số \(a\), bài đơn giản thường thấy \(a=1\), bài ít thấy \(a \neq 1\).
3. Một vài cách tách phân thức cần ghi nhớ
(1) \(\frac{1}{\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)}=\frac{A}{x-x_{1}}+\frac{B}{x-x_{2}}\)
(2) \(\frac{1}{(x-m)\left(a x^{2}+b x+c\right)}=\frac{A}{x-m}+\frac{B x+C}{a x^{2}+b x+c}\)
với \(\Delta=b^{2}-4 a c\lt 0\)
(3) \(\frac{1}{(x-a)^{2}(x-b)^{2}}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a)^{2}}+\frac{C}{x-b}+\frac{D}{(x-b)^{2}}\)
4. Trường hợp delta = 0
Q(x) có \(\Delta\)=0
=> \(\int \frac{m x+n}{a x^{2}+b x+c} d x=\int \frac{m x+n}{a\left(x-x_{0}\right)^{2}} d x\)
=> đặt \(\left\{\begin{array}{l}t=x-x_{0} \rightarrow x=t+x_{0} \\ \mathrm{dt}=\mathrm{d} x\end{array}\right.\)
nhận dạng:
- tử < mẫu
- mẫu có nghiệm kép
5. Trường hợp delta < 0
Q(x) có \(\Delta\) < 0
nhận dạng:
- bậc tử< bậc mẫu
- mẫu có nghiệm kép
=> \(\int \frac{m x+n}{a x^{2}+b x+c} \mathrm{~d} x=\int \frac{\lambda\left(a x^{2}+b x+c\right)+\varepsilon}{a x^{2}+b x+c} \mathrm{~d} x\)
= \(\underbrace{\int \frac{\lambda\left(a x^{2}+b x+c\right)^{\prime}}{a x^{2}+b x+c} \mathrm{~d} x}_{H}+\underbrace{\int \frac{\varepsilon}{a x^{2}+b x+c} \mathrm{~d} x}_{K}\).
Tính H = \(\int \frac{\lambda\left(a x^{2}+b x+c\right)^{\prime}}{a x^{2}+b x+c}\)dx
=> Đặt t=\(a x^{2}+b x+c\)
=> dt \(=\left(a x^{2}+b x+c\right)^{\prime} \mathrm{d} x\).
Tính K =\(\int \frac{\varepsilon}{a x^{2}+b x+c}\)dx
=> Lượng giác hóa
6. Một số bài tập thực hành
câu 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) \(=\frac{x-1}{x+1}\)
A. \(x-3 \ln |x|+C\)
B. \(x-\ln |2 x+1|+C\).
C. \(x-2 \ln |x+1|+C\).
D. \(2 x-\ln |x+1|+C\)
câu 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) \(\frac{e}{e-2 x}\)
A. \(-\frac{\mathrm{e}}{2} \ln |e-2 x|+C\)
B. \(\ln |\mathrm{e}-2 x|+C\).
C. \(\mathrm{e} \ln |\mathrm{e}-2 x|+C\).
D. \(2 e \ln |e-2 x|+C\)
câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) \(=\frac{1}{1-2 x} \operatorname{trên}\left(-\infty ; \frac{1}{2}\right)\).
A. \(\frac{1}{2} \ln |2 x-1|+C\)
B. \(\frac{1}{2} \ln (1-2 x)+C\).
C. \(-\frac{1}{2} \ln |2 x-1|+C\).
D. \(\ln |2 x-1|+C\)
câu 4: Tìm nguyên hàm của f(x)= \(\frac{1}{x^{2}-3 x+2}\)
A. \(\frac{1}{2} \ln \left|x^{2}-3 x+2\right|+C\)
B. \(\frac{1}{2} \ln (\ln |x-2|-\ln |x-1|)+C\).
C. \(\ln |x-2|-\ln |x-1|+C\).
D. \(\ln \left|x^{2}-3 x+2\right|+C\)
câu 5: Họ nguyên hàm của hàm số f(x)= \(\frac{1}{x^{2}-2 x+2}\) là
A. \(\arctan (x-1)+C\)
B. \(\arctan (x)+C\).
C. \(\ln \left|x^{2}-2\right|+C\).
D. \(2 \tan (x-1)+C\)
câu 6: Họ nguyên hàm của hàm số f(x)= \(\frac{4 x+11}{x^{2}+5 x+6}\) là
A. \(3(\ln |x+2|+\ln |x+3|)+C\)
B. \(\ln |x+2|+\ln |x+3|+C\).
C. \(3(\ln |x+2|-\ln |x+3|)+C\).
D. \(\ln |x+2|-\ln |x+3|+C\)
câu 7: Tính \(\int \frac{1}{x^{2}-3 x+2} \mathrm{~d} x=a \ln \left|\frac{x-b}{x-1}\right|+C\) với a,b thuộc N.
Tính S=a+b
A. S=3
B. S=-1
C. S=0
D. S=-3
câu 8: Biết rằng \(\int \frac{x-1}{2 x^{2}+x-2} \mathrm{~d} x=a\left(b \cdot \ln |x+2|-c \cdot \ln \left|x-\frac{1}{2}\right|\right)+C\) với a, b, c là các số hữu tỉ và là phân số tối giản.
Khi đó a+b+c =?
A. \(S=\frac{1}{10}\)
B. \(S=\frac{19}{10}\)
C. \(S=\frac{3}{2}\)
D. \(S=-\frac{2}{5}\)
Nhận ngay tài khoản luyện đề
Việc đi học thêm 1 lớp có 30 hs nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đều có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi TícH PHÂN yếu XÁC SUẤT như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng \(1 / 2\) time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VECTƠ giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.
Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phẩm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư Al sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIEُM SỐ nhanh \(200 \%\)
Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau:
1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định
2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này
3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.
Từ tiêu chí số \(\mathbf{3}\) Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ \(\mathrm{Al}\) Gia sư Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống đề thi Examon,
gia sư Al sẽ ghi lại tất cả các Iỗi sai của bạn đưa về hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh từ đó đưa ra các đề xuất bài tập phù hợp với từng cá nhân nhằm giúp người học rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc ĐIÊM SỐ mình mơ ước.
