Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác

Khuất Duyên

Cách tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác bạn đã biết chưa? Nếu chưa thì Examon sẽ giới thiệu cho bạn cách giải quyết bài toán nhanh nhất và dễ hiểu. Nhanh tay tham khảo ngay nào!.

menu icon

Mục lục bài viết

  • 1. Kiến thức cần nhớ
  • 2. Các dạng bài tập
    • 2.1 Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
    • 2.2 Tìm tập giá trị của hàm số lượng giác
    • 2.3 Tìm m để hàm số lượng giác có tập xác định là R
  • 3. Bài tập vận dụng
  • 4. Nâng cấp kiến thức cùng Examon

Nếu bạn không biết hay chưa vững về Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác thì sau khi đọc song bài viết này bạn sẽ có thể giải bài một cách dễ dàng. Bài viết gồm 3 phần: phương pháp giải , ví dụ minh họa  và bài tập vận dụng . Examon tin rằng sau khi làm được hết tất cả các bài tập mà Examon đưa ra thì các bạn sẽ nắm vững đến 90% lượng kiến thức và hy vong rằng bài viết sẽ giúp ích cho các bạn học sinh trong quá trình học tập và chinh phục chủ đề lượng giác của bản thân.

banner

1. Kiến thức cần nhớ

a. Hàm số \(y=\sin x\)

- Tập xác định: \(D=R\)

- Tập giá trị: \([-1 ; 1]\)

b. Hàm số \(y=\cos x\)

- Tập xác định: D = R

- Tập giá trị: [-1;1]

c. Hàm số \(y=\tan x\)

- Tập xác định: \(D=R \backslash\left\{\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in Z\right\}\)

- Tập giá trị:R

d. Hàm số \(y=\cot x\)

- Tập xác định: \(D=R \backslash\{k \pi, k \in Z\}\)

- Tập giá trị: R

2. Các dạng bài tập

2.1 Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

\(\begin{array}{l}y=\frac{f(x)}{g(x)} \text { xác định khi } g(x) \neq 0 \\ y=\sqrt{f(x)} \text { xác định khi } f(x) \geq 0 \\ y=\frac{f(x)}{\sqrt{g(x)}} \text { xác định khi } g(x)\gt 0 \\ y=\tan [u(x)] \text { xác định khi } u(x) \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, k \in Z \\ y=\cot [u(x)] \text { xác định khi } u(x) \neq k \pi, k \in Z \\ \sin x \neq 0 \text { khi } x \neq k \pi(k \in Z) \\ \cos x \neq 0 \text { khi } x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi(k \in Z)\end{array}\)

Ví dụ . Tìm tập xác định của hàm số sau

a) \(y=\tan \left(3 x+\frac{\pi}{3}\right)\)

b) \(y=\sqrt{2-\sin x}\)

Lời giải

a) \(y=\tan \left(3 x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sin \left(3 x+\frac{\pi}{3}\right)}{\cos \left(3 x+\frac{\pi}{3}\right)}\)

Điều kiện xác định: \(\cos \left(3 x+\frac{\pi}{3}\right) \neq 0\)

\[\begin{array}{l}\Leftrightarrow 3 x+\frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z} \\\Leftrightarrow 3 x \neq \frac{\pi}{6}+\mathrm{k} \pi, k \in \mathbb{Z} \\\Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{18}+k \frac{\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}\end{array}\]

Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathrm{D}=\mathbb{R} \backslash\left\{\frac{\pi}{18}+\mathrm{k} \frac{\pi}{3}, \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\right\}\)

b) Điều kiện xác định: 2 - \(\sin x \geq 0\)

\(\Leftrightarrow \sin x \leq 2\) (đúng \(\forall x \in R\) ) vì \(-1 \leq \sin x \leq 1 \forall x \in R\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D=R\).

2.2 Tìm tập giá trị của hàm số lượng giác

- Phương pháp giải:

Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác

\[\begin{array}{l}-1 \leq \sin [\mathrm{u}(\mathrm{x})] \leq 1 ; 0 \leq \sin ^{2}[\mathrm{u}(\mathrm{x})] \leq 1 ; 0 \leq|\sin [\mathrm{u}(\mathrm{x})]| \leq 1 \\-1 \leq \cos [\mathrm{u}(\mathrm{x})] \leq 1 ; 0 \leq \cos ^{2}[\mathrm{u}(\mathrm{x})] \leq 1 ; 0 \leq|\cos [\mathrm{u}(\mathrm{x})]| \leq 1\end{array}\]

Ví dụ. Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) \(y=2 \sin 3 x-5\)

b) \(y=2 \sin ^{2}\left(x^{2}-\frac{\pi}{12}\right)+5\)

Lời giải

a) Ta có:

\[\begin{array}{l}-1 \leq \sin 3 x \leq 1 \forall x \in R \\\Leftrightarrow-2 \leq 2 \sin 3 x \leq 2 \forall x \in R \\\Leftrightarrow-7 \leq 2 \sin 3 x-5 \leq-3 \forall x \in R\end{array}\]

Vậy tập giá trị: \(T=[-7 ;-3]\).

\[\begin{array}{l}\text { b) Ta có: } 0 \leq \sin ^{2}\left(x^{2}-\frac{\pi}{12}\right) \leq 1 \forall x \in \mathbb{R} \\\Leftrightarrow 0 \leq 2 \sin ^{2}\left(x^{2}-\frac{\pi}{12}\right) \leq 2 \forall x \in \mathbb{R} \\\Leftrightarrow 5 \leq 2 \sin ^{2}\left(x^{2}-\frac{\pi}{12}\right)+5 \leq 7 \forall x \in \mathbb{R}\end{array}\]

Vậy tập giá trị: T = [5;7].

2.3 Tìm m để hàm số lượng giác có tập xác định là R

- Phương pháp giải:

\[\begin{array}{l}m \geq f(x) \forall x \in[a, b]=\gt m \geq \min _{x \in[a ; b]} f(x) \\m>f(x) \forall x \in[a, b]=>m>\min _{x \in[; ; b]} f(x) \\m \leq f(x) \forall x \in[a, b] \Rightarrow>\leq \min _{x \in[a ; b]} f(x) \\m\lt f(x) \forall x \in[a, b]=>m\lt \min _{x \in[a ; b]} f(x)\end{array}\]

Ví dụ . Tìm \(\mathrm{m}\) để hàm số \(\mathrm{y}=\sqrt{\sin \mathrm{x}+\mathrm{m}}\) xác định trên \(\mathrm{R}\).

Lời giải

Để hàm số xác định trên \(R\) thì \(\sin x+m \geq 0 \forall x \in R \Leftrightarrow-\sin x \forall x \in R\).

Mà ta có \(-1 \leq \sin x \leq 1 \forall x \in R \Leftrightarrow-1 \leq-\sin x \leq 1 \forall x \in R\)

Nên \(m \geq 1\)

Examon.png
Luyện đề cấp tốc cùng Examon

3. Bài tập vận dụng

Câu 1. Tập xác định của hàm số \(\mathrm{y}=\cot \left(2 \mathrm{x}-\frac{\pi}{3}\right)\) là

A. \(\mathrm{D}=\mathbb{R} \backslash\left\{\frac{\pi}{6}+\frac{\mathrm{k} \pi}{2} ; \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\right\}\)

B. \(\mathrm{D}=\mathbb{R} \backslash\left\{\frac{5 \pi}{12}+\mathrm{k} \pi ; \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\right\}\)

C. \(\mathrm{D}=\mathbb{R} \backslash\left\{\frac{\pi}{2}+\mathrm{k} \pi ; \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\right\}\)

D. \(\mathrm{D}=\mathbb{R} \backslash\left\{\frac{5 \pi}{12}+\frac{\mathrm{k} \pi}{2} ; \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\right\}\)

Câu 2. Tập xác định của hàm số \(y=\tan x+\cot x\) là

A. \(\mathbb{R}\)

B. \(\mathbb{R} \backslash\{\mathrm{k} \pi ; \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\}\)

C. \(\mathbb{R} \backslash\left\{\frac{\pi}{2}+\mathrm{k} \pi ; \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\right\}\)

D. \(\mathbb{R} \backslash\left\{\frac{\mathrm{k} \pi}{2} ; \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\right\}\)

Câu 3. Tập xác định của hàm số \(\mathrm{y}=\sqrt{\sin \mathrm{x}+1}\) là:

A. \(D=[-1,+\infty)\)

B. \(D=R\)

C. \(\mathrm{D}=\mathrm{R} \backslash\left\{\frac{\pi}{2}+\mathrm{k} \pi ; \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\right\}\)

D. \(D=(-\infty,-1]\)

Câu 4. Tập xác định của hàm số \(\mathrm{y}=\frac{3 \sin \mathrm{x}}{2 \cos x-\sqrt{3}}\) là:

A. \(\mathrm{D}=\mathbb{R} \backslash\left\{\frac{\pi}{6}+\mathrm{k} 2 \pi ; \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\right\}\)

B. \(\mathrm{D}=\mathbb{R} \backslash\left\{\frac{\pi}{3}+\mathrm{k} 2 \pi ; \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\right\}\)

C. \(\mathrm{D}=\mathbb{R} \backslash\left\{ \pm \frac{\pi}{6}+\mathrm{k} 2 \pi ; \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\right\}\)

D. \(\mathrm{D}=\mathbb{R} \backslash\left\{\frac{\pi}{3}+\mathrm{k} 2 \pi ; \frac{2 \pi}{3}+\mathrm{k} 2 \pi ; \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\right\}\).

Câu 5. Tập giá trị của hàm số \(y=1-2|\sin 2 x|\) là

A. \([1 ; 3]\)

B. \([-1 ; 1]\)

C. \([-1 ; 3]\)

D. \([-1 ; 0]\)

Câu 6. Tập giá trị của hàm số \(\mathrm{y}=3+\sqrt{1-\sin ^{2} 3 \mathrm{x}}\) là

A. \([2 ; 3]\)

B. \([1 ; 2]\)

C. \([2 ; 4]\)

D. \([3 ; 4]\)

Câu 7. Tập giá trị của hàm số \(y=2+\sin x \cos x\) có dạng \(T=[m, M]\). Giá trị của \(m\) là:

A. \(\frac{5}{2}\)

B. \(\frac{3}{2}\)

C. \(\frac{2}{3}\)

D. 1

Câu 8. Tập giá trị của hàm số \(y=2 \sin 3 x+1\) là

A. \([-1 ; 1]\)

B. \([-5 ; 7]\)

C. \([0 ; 2]\)

D. \([-1 ; 3]\)

Câu 9. Tìm \(\mathrm{m}\) để hàm số \(\mathrm{y}=\frac{2}{\sin \mathrm{x}-\mathrm{m}}\) xác định trên \(\mathrm{R}\).

A. \(m \in(-\infty ;-1) \cup(1,+\infty)\)

B. \(m \in(-\infty ;-1] \cup[1,+\infty)\)

C. \(m \neq 1\)

D. \(m \in[-1 ; 1]\)

Câu 10. Hàm số \(\mathrm{y}=\frac{2-\sin 2 \mathrm{x}}{\sqrt{2 \cos \mathrm{x}+\mathrm{m}-1}}\) có tập xác định \(\mathrm{R}\) khi và chỉ khi:

A. \(m\gt 3\)

B. \(m\lt -1\)

C. \(m \geq 3\)

D. \(m \leq-1\)

Câu 11. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(\mathrm{m}\) để hàm số \(\mathrm{y}=\sqrt{\sin ^{2} \mathrm{x}-4 \cos \mathrm{x}+2 \mathrm{~m}-1}\) có tập xác định là R.

A. \(\mathrm{m} \geq-\frac{3}{2}\)

B. \(\mathrm{m} \geq \frac{5}{2}\)

C. Không có m thỏa mãn

D. \(m \geq 5\)

4. Nâng cấp kiến thức cùng Examon

Như vậy, bài viết này Examon đã chia sẻ cho các bạn 3 phần: phương pháp giải, ví dụ, bài tập củng cố về Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác. Bạn có thể tham khảo và áp dụng vào bài làm của mình. Mong rằng bài viết sẽ giúp ích cho các bạn. Cảm ơn bạn đã lựa chọn Examon là nơi để tham khảo và học hỏi kiến thức.

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau. 

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác,  Examon sẽ giúp bạn:

  • Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
  • Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
  • Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của  Examon:

  • Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
  • Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
  • Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
  • Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
  • Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!