Phương pháp tích phân từng phần

1. Khái niệm tích phân.

• Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên \(K\) và \(a, b\) là hai số bất kì thuộc \(K\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\) thì hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân của \(f(x)\) từ \(a\) đến \(b\) và kí hiệu là:

\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\]

• Ta gọi: \(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, \(f(x) \mathrm{dx}\) là biểu thức dấu tích phân và \(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý: Trong trường hợp \(a=b\) hoặc \(a\gt b\), ta có quy ước:

\[\int_{a}^{a} f(x) d x=0 ; \int_{a}^{b} f(x) d x=-\int_{b}^{a} f(x) d x\]

Nhận xét:

• Tích phân của hàm số \(f\) từ a đến b có thể kí hiệu bởi \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) hoặc \(\int_{a}^{b} f(u) d u\) hoặc \(\int_{a}^{b} f(t) d t\).

• Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số \(f\) và các cận \(a, b\) mà không phụ thuộc vào biến số \(x\) hay \(t\).

2. Phương pháp tích phân từng phần.

2.1. Phương pháp giải.

- Công thức tính:

• Nếu \(u(x), v(x)\) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn \([a, b]\) thì :

\[\int_{a}^{b} u(x) v^{\prime}(x) d x=\left.[u(x) \cdot v(x)]\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} v(x) u^{\prime}(x) d x\]

• Tổng quát hơn cho nguyên hàm:

\[\int u(x) v^{\prime}(x) d x=[u(x) \cdot v(x)]-\int v(x) u^{\prime}(x) d x\]

• Viết gọn là :

\[\begin{array}{l}\int_{a}^{b} u d v=\left.(u \cdot v)\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} v d u \text { và } \\\int_{a} u d v=(u . v)-\int^{v d u}\end{array}\]

• Các bước thực hiện

- Bước 1: Biến đồi tích phân ban đầu về dạng \(I=\int_{a}^{b} f(x) \cdot g(x) d x\).

- Bước 2: Đặt\(\left\{\begin{array}{l}u=f(x) \\ d v=g(x) d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=f^{\prime}(x) d x \\ v=\int g(x) d x\end{array}\right.\right.\) (chọn \(v\) là một nguyên hàm của \(\left.g(x)\right)\).

- Bước 3: Khi đó \(I=\int_{a}^{b} u d v=\left.u v\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} v d u\).

• Lưu ý: Thứ tự ưu tiên chọn \(u:\) Logarit \(\rightarrow\) đa thức \(\rightarrow\) Lượng giác = mũ.

2.2. Chú ý.

• Nếu \(u, v\) có đạo hàm liên tục trên \((a ; b)\) thì \(I=\int_{a}^{b} u \cdot d v=\left.u \cdot v\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} v \cdot d u\).\(\qquad\) \(d x\) \(\qquad\)

Nhận dạng: tích hai hàm khác loại nhân nhauThứ tự ưu tiên chọn u là: "log - da - lượng - mũ" và dv là phần còn lại.

Nghĩa là nếu có \(\ln\) hay \(\log _{a} x\) thì chọn \(u=\ln\) hay \(u=\log _{a} x=\frac{1}{\ln a} \cdot \ln x\) và \(d v=\) còn lại. Nếu không có \(\ln ; \log\) thì chọn \(u=\) đa thức và \(d v=\) còn lại,...

• \(\int_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\) (hàm mũ). dx tích phân từng phần luân hồi.

Nghĩa là sau khi đặt \(\mathrm{u}\), dv để tính tích phân từng phần và tiếp tục tính \(\int \mathrm{udv}\) sẽ xuất hiện lại tích phân ban đẩu. Giả sử tích phân được tính ban đầu là \(\mathrm{I}\) và nếu lập lại, ta sẽ không giải tiếp mà xem đây là phưong trình bậc nhất ẩn là \(\mathrm{I} \stackrel{\text { giai }}{\Rightarrow} \mathrm{I}\).

3. Tính chất Tích phân cần nắm.

1. Tích phân tại một giá trị xác định của biến số thì bằng 0 , tức là \(\int_{a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0\)

2. Đổi cận thì đổi dấu, tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=-\int_{b}^{a} f(x) \mathrm{d} x\).

3. Tách đôi tích phân, tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x\)

4. Nếu hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=0\)

5. Nếu hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm số chắn trên \([-\mathrm{a} ; \mathrm{a}]\) thì \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=2 \int_{0}^{a} f(x) d x\)

6. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm chẵn trên \(\mathrm{R}\) thì: \(\quad \int_{-\alpha}^{\alpha} \frac{f(x)}{a^{x}+1} d x=\int_{0}^{\alpha} f(x) d x\) (với \(\alpha \in \mathrm{R}^{+}\)và \(\mathrm{a}\gt 0\) )

7. Hằng số trong tích phân có thể đưa ra ngoài dấu tích phân, tức là

\[\int_{a}^{b} k f(x) \mathrm{d} x=k \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \text { }\]

\((k\) là hằng số\()\)

8. Tích phân một tổng bẳng tổng\((k\) các tích phân, tức là

\[\int_{a}^{b}[f(x) \pm g(x)] \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \pm \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x .\]

9. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục trên \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\) thì \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x\)

10. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và \(f(a+b-x)=f(x)\) hoặc \(f(a+b-x)=-f(x)\)

4. Bài tập vận dụng.

4.1. Bài 1.

Cho tích phân \(I=\int_{1}^{2} \frac{\ln x}{x^{2}} d x=\frac{b}{c}+a \ln 2\) với \(a\) là số thực, \(b\) và \(c\) là các số dương, đồng thời \(\frac{b}{c}\) phân số tối giàn. Tính giá trị của biểu thức \(P=2 a+3 b+c\).

A. \(P=6\).

B. \(P=5\).

C. \(P=-6\).

D. \(P=4\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=\ln x \\ d v=\frac{d x}{x^{2}}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=\frac{d x}{x} \\ v=\frac{-1}{x}\end{array}\right.\right.\)

\(\Rightarrow I=\left.\frac{-\ln x}{x}\right|_{1} ^{2}+\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x\)

\(=\left.\left(\frac{-\ln x}{x}+\frac{-1}{x}\right)\right|_{1} ^{2}=\frac{1}{2}-\frac{\ln 2}{2}\)

\(\Rightarrow b=1, c=2, a=\frac{-1}{2} \)

\(\Rightarrow P=2 a+3 b+c=4\)

=> Chọn đáp án D.

4.2. Bài 2

Tính tích phân sau

\[I=\int_{e}^{e^{2}}\left(\frac{1}{\ln ^{2} x}-\frac{1}{\ln x}\right) d x\]

Lời giải:

\(I=\int_{e}^{e^{2}} \frac{1-\ln x}{\ln ^{2} x} d x\)

\(=\int_{e}^{e^{2}} \frac{x(1-\ln x)}{x \cdot \ln ^{2} x} d x\)

Đặt \(u=x(1-\ln x), d v=\frac{1}{x \cdot \ln ^{2} x} d x\), ta có \(\mathrm{du}=-\ln x \mathrm{~d} x\), chọn \(\mathrm{v}=-\frac{1}{\ln x}\)

Khi đó: \(I=\left.\frac{x(1-\ln x)}{\ln x}\right|_{e} ^{e^{2}}-\int_{e}^{e^{2}} d x\)

\[=\frac{e^{2}}{2}-\left(e^{2}-e\right)=e-\frac{e^{2}}{2}\]

4.3. Bài 3

Biết rằng tích phân \(\int_{0}^{1}(2 x+1) \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x=a+b . \mathrm{e}\), tích \(a . b\) bằng?

A. -15 .

B. -1 .

C. 1 .

D. 20 .

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(a, b \in \mathbb{Z}\).

Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=2 x+1 \\ \mathrm{~d} v=\mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} u=2 \mathrm{~d} x \\ v=\mathrm{e}^{x}\end{array}\right.\right.\)

\(\Rightarrow \int_{0}^{1}(2 x+1) \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x\)

\(=\left.(2 x+1) \mathrm{e}^{x}\right|_{0} ^{1}-2 \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x\)

\(=\left.(2 x-1) \mathrm{e}^{x}\right|_{0} ^{1}=1+\mathrm{e}=a+b . \mathrm{e}\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=1\end{array}\right.\).

Vậy tích \(a \cdot b=1\).

=> Chọn đáp án C.

Lời kết

Qua bài viết phương pháp tích phân từng phần hôm nay Examon mong rằng đã cung cấp cho bạn những khiến thức hữu ích về Tích phân cũng như phương pháp giải bài tập tích phân từng phần.

Examon hy vọng rằng qua bài viết trên các bạn đã nắm được cho mình những kiến thức hữu ích để có thể áp dụng giải các dạng toán và bài tập tích phân liên quan.

Để học tốt và phát huy được hết khả năng của mình, làm được những bài tập nâng cao, khó hơn bạn cần phải học thuộc công thức và nắm vững các phương pháp giải. Hơn hết bạn cần thật chăm chỉ giải bài tập thì mới có thể đạt được kết quả tốt.

Vậy bạn đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau. Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

• Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.

• Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.

• Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!

Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.

Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!

Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.

Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!