Phương pháp giải tích phân hàm chẵn, lẻ
Nếu các bạn đang tìm hiểu cách giải chúng thì hãy xem bài viết dưới đây của Examon nhé
Mục lục bài viết
Tích phân là 1 chủ đề quan trọng của Toán 12. Ở bài viết này, Examon khám phá một phần nhỏ trong đó là phương pháp giải tích phân hàm chẵn lẻ. Nói đến hàm chẵn (lẻ), ta đang nói về tính chất đặc biệt của các hàm số và cách sử dụng tính đặc trưng để giải các bài toán phức tạp.Hãy cùng bắt đầu hành trình khám phá phương pháp giải tích phân hàm chẵn lẻ và khám phá sự hấp dẫn của toán học!
1. Kiến thức cần nhớ
Cho hàm \(f(x)\) của 1 biến thực \(x\) liên tục trên một khoảng xác định (kí hiệu: \(K\) ) và \(a,b\) là hai số thực bất kì thuộc \(K\). Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) thì hiệu số của \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân của \(f(x)\) trong khoảng ( \(a, b\) ). Từ đó, ta có ký hiệu như sau:
Tích phân từ \(a\) đến \(b\) của \(f(x)\) được ký hiệu là: \(\int_{a}^{b} f(x) d x\)
Ta gọi \(a\) là cận dưới của tích phân, còn \(b\) là cận trên của tích phân.
Ta có: \(\int_{a}^{b} f(x) d x= \left.F(x)\right|_{a} ^{b} =F(b)-F(a)\) (với \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\)
2. Định nghĩa hàm chẵn, lẻ
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên miền \(K\). Với mọi \(x \in K\) và \(-x \in K\) :
+) Nếu \(f(-x)=-f(x)\) thì hàm số \(y=f(x)\) là hàm số lẻ.
+) Nếu \(f(x)=f(-x)\) thì hàm số \(y=f(x)\) hàm số chẵn.
3. Phương pháp giải
Cho hàm số \(y =f(x)\) xác định, liên tục trên đoạn \([-a;a]\).
+) Nếu hàm số \(y=f(x)\) là hàm số chẵn thì \(I=\int_{-a}^{a} f(x) d x=2 \cdot \int_{0}^{a} f(x) d x\)
+) Nếu hàm số \(y=f(x)\) là hàm số lẻ thì \(I=\int_{-a}^{a} f(x) d x=0\)
4. Bài tập minh họa
4.1. Bài tập 1
Bài 1: Cho \(y=f(x)\) là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn \([-6 ; 6]\). Biết rằng \(\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=8\) và \(\int_{1}^{3} f(-2 x) \mathrm{d} x=3\). Tính \(\int_{-6}^{6} f(x) \mathrm{d} x\).
Lời giải
Đặt \(t=2 x \Rightarrow \mathrm{d} t=2 \mathrm{~d} x \Leftrightarrow \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \mathrm{~d} t\).
Ta có :
\(3=\int_{1}^{3} f(-2 x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{2}^{3} f(-t) \mathrm{d} t\)
\(\Leftrightarrow \int_{2}^{6} f(-t) \mathrm{d} t=6 \Leftrightarrow \int_{2}^{6} f(-x) \mathrm{d} x=6\)
\(\Leftrightarrow\int_{2}^{6} f(x) \mathrm{d} x=6\)
Vậy \(I=\int_{-6}^{6} f(x) \mathrm{d} x=2 \int_{0}^{6} f(x) \mathrm{d} x\)
\(=2\left[\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x+\int_{2}^{6} f(x) \mathrm{d} x\right]=2(8+6)=28\)
4.2. Bài tập 2
Bài 2: Tính tích phân sau : \(I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x \cdot \cos 2 x}{x^{4}+x^{6}+10} d x\)
Lời giải
Xét hàm số \(\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{\sin x \cdot \cos 2 x}{x^{4}+x^{6}+10}\) xác định với mọi \(\mathrm{x}\).
Ta có:
\[\begin{array}{l}f(-\mathrm{x})=\frac{\sin (-x) \cdot \cos (-2 x)}{(-x)^{4}+(-x)^{6}+10} \\=\frac{-\sin x \cdot \cos 2 x}{x^{4}+x^{6}+10}=-f(x)\end{array}\]Suy ra hàm số \(\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})\) là hàm số lẻ nên ta có:
\(I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x \cdot \cos 2 x}{x^{4}+x^{6}+10} d x=0\)
4.3. Bài tập 3
Bài 3: Tính tích phân : \(I=\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}\left(x^{2}+2 \cos x\right) \mathrm{dx}\)
Lời giải
Xét hàm số \(y=x^{2}+2 \cos x\) xác định và liên tục trên \(R\)
Ta có; \(f(-x)=(-x)^{2}+2 \cdot \cos (-x)=x^{2}+2 \cos x\)
Suy ra: \(f(x)=f(-x)\) nên hàm số \(f(x)\) là hàm số chẵn
Do đó, ta có :
\[\begin{array}{l}I=\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}\left(x^{2}+2 \cos x\right) \mathrm{d} x \\=2 \cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\left(x^{2}+2 \cos x\right) \mathrm{dx} \\=\left.2 \cdot\left(\frac{x^{3}}{3}+\sin x\right)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{6}} \\=2 \cdot\left(\frac{\pi^{3}}{648}+\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi^{3}}{324}+1\end{array}\]5. Đạt được thành công cùng Examon
Chúng ta đã cùng nhau bắt đầu hành trình khám phá về phương pháp giải tích phân hàm chẵn lẻ, một chủ đề toán học thú vị và hữu ích. Qua việc hiểu rõ về tính chất đặc biệt của các hàm chẵn và hàm lẻ, cũng như cách áp dụng chúng trong việc giải các bài toán, chúng ta đã mở ra một cánh cửa mới đầy triển vọng trong thế giới của toán học.
Cảm ơn các bạn đã dành thời gian để tham gia cùng Examon trong hành trình này. Hẹn gặp lại trong những chủ đề toán học tiếp theo!
Đã bao giờ bạn nghĩ rằng tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Có nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!
