Phương pháp đổi biến số trong Nguyên hàm

B1: Chọn  \(\mathrm{t}=\varphi(x)\). 

Trong đó \(\varphi(x)\) là hàm số mà ta chọn thích hợp.

B2: Tính vi phân 2 vế \(d t=\varphi^{\prime}(x) d x\).

B3: Biểu thị 

\(f(x) d x=g[\varphi(x)] \varphi^{\prime}(x) d x=g(t) d t\).

B4: Khi đó:

 \(I=\int f(x) d x=\int g(t) d t=G(t)+C\)

Biểu thức dưới mẫu

 Biểu thức ở hàm số mũ

Biểu thức tron dấu ngoặc

Căn thức

 \(\frac{\mathrm{d} x}{x}\) đi kèm biểu thức \(\ln x\)

7\(\sin x d x\) đi kèm biểu thức \(\cos x\)

\(\frac{\mathrm{d} x}{\sin ^{2} x}\) đi kèm biểu thức cotx

• Dấu hiệu: Hàm \(f(x)=\frac{a \cdot \sin \mathrm{x}+\mathrm{b} \cdot \cos \mathrm{x}}{c \cdot \sin \mathrm{x}+\mathrm{d} \cdot \cos \mathrm{x}+\mathrm{e}}\)

Cách chọn: \(t=\tan \frac{x}{2} ;\left(\cos \frac{x}{2} \neq 0\right)\)

• Dấu hiệu: Hàm \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{(x+a)(x+b)}}\)

Cách chọn:

+Với: x+a>0 và x+v>0, ta đặt

\(t=\sqrt{x+a}+\sqrt{x+b}\)

+Với: x+a<0 và x+v<0, ta đặt

\(t=\sqrt{x-a}+\sqrt{-x-b}\)

Tìm nguyên hàm của

a) \(I=\int(x+1) \sqrt[3]{3-2 x} d x\)

b) \(J=\int \frac{x d x}{\sqrt[3]{2 x+2}}\)

c) \(K=\int \frac{x d x}{\sqrt{x+3}+\sqrt{5 x+3}}\)

giải:

a) Đặt:

\(t=\sqrt[3]{3-2 x} \Rightarrow x=\frac{3-t^{3}}{2} \Rightarrow d x=-\frac{3}{2} t^{2} d t\)

=> \(I=-\frac{3}{2} \int\left(\frac{3-t^{3}}{2}+1\right) t \cdot t^{2} d t=-\frac{3}{4} \int\left(5 t^{3}-t^{6}\right) d t\)

= \(-\frac{3}{4}\left(\frac{5 t^{4}}{4}-\frac{t^{7}}{7}\right)+C=\frac{3}{4}\left(\frac{\sqrt[3]{(3-2 x)^{7}}}{7}-\frac{5 \sqrt[3]{(3-2 x)^{4}}}{4}\right)+C\)

b) Đặt:

\(t=\sqrt[3]{2 x+2} \Rightarrow x=\frac{t^{3}-2}{2} \Rightarrow d x=\frac{3}{2} t^{2} d t\)

suy ra: \(J=\int \frac{\frac{t^{\prime}-2}{2} \frac{3}{2} t^{2} d t}{t}=\frac{3}{4} \int\left(t^{4}-2 t\right) d t\)

\(=\frac{3}{4}\left(\frac{t^{5}}{5}-t^{2}\right)+C\)

\(=\frac{3}{4}\left(\frac{\sqrt[3]{(2 x+2)^{5}}}{5}-\sqrt[3]{(2 x+2)^{2}}\right)+C\).

c) Ta có: \(I=\int \frac{x(\sqrt{5 x+3}-\sqrt{x+3}) d x}{5 x+3-x-3}\)

\(=\frac{1}{4} \int(\sqrt{5 x+3}-\sqrt{x+3}) d x\)

\(=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{5} \sqrt{(5 x+3)^{3}}-\sqrt{(x+3)^{3}}\right)+C\). 

Bước 1: chọn \(\mathrm{x}=\varphi(t)\), trong đó \(\varphi(t)\) là hàm số thích hợp

Bước 2: lấy vi phân 2 vế \(d x=\varphi^{\prime}(t) d t\)

Bước 3: biến đổi \(f(x) d x=f[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(t) d t=g(t) d t\)

Bước 4: Khi đó tính \(\int f(x) d x=\int g(t) d t=G(t)+C\).

• \(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x=|a| \sin t \leftrightarrow-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2} \\ x=|a| \cos t \leftrightarrow 0 \leq \mathrm{t} \leq \pi\end{array}\right.\)

• \(\sqrt{x^{2}-a^{2}}\)

=> \(\left[\begin{array}{l}x=\frac{|a|}{\sin t} \leftrightarrow t \in\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right] \backslash\{0\} \\ x=\frac{|a|}{\cos t} \leftrightarrow t \in[0 ; \pi] \backslash\left\{\frac{\pi}{2}\right\}\end{array}\right.\)

• \(\sqrt{a^{2}+x^{2}}\)

=> \(\left[\begin{array}{l}x=|a| \tan t \leftrightarrow t \in\left(-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right) \\ x=|a| \cot t \leftrightarrow t \in(0 ; \pi)\end{array}\right.\)

• \(\sqrt{\frac{a+x}{a-x}} \vee \sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\)

=> \(x=a \cdot \cos 2 t\)

• \(\sqrt{(x-a)(b-x)}\)

=> \(\mathrm{x}=\mathrm{a}+(b-a) \sin ^{2} t\)

Tính nguyên hàm của:

 \(\mathrm{a} / \int \frac{d x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{3}}} \mathrm{~b} / \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}}\)

giải:

a/ Đăt x=sint

\(\mathrm{t} \in\left(-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right) \Rightarrow d x=\cos t d t\)

=> \(\frac{d x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{3}}}=\frac{\cos t d t}{\sqrt{\left(1-\sin ^{2} t\right)^{3}}}\)

\(=\frac{\cos t d t}{\cos ^{3} t}=\frac{d t}{\cos ^{2} t}=d(\tan t)\).

Khi đó \(\int \frac{d x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{3}}}=\int d(\tan t)\)

=\(\tan t+C=\frac{\sin t}{\sqrt{1-\sin ^{2} t}}=\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}+C\)

b/ Vì \(x^{2}+2 x+3=(x+1)^{2}+(\sqrt{2})^{2}\), nên

Đặt \(: x+1=\sqrt{2} \tan t ; t \in\left(-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right)\)

=> \(d x=\sqrt{2} \cdot \frac{d t}{\cos ^{2} t} ; \tan t=\frac{x+1}{\sqrt{2}}\)

Suy ra: \(\frac{d x}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}}=\frac{d x}{\sqrt{(x+1)^{2}+(\sqrt{2})^{2}}}\)

\(=\frac{d t}{\sqrt{2\left(\tan ^{2} t+1\right)} \cdot \cos ^{2} t}=\frac{d t}{\sqrt{2} \cos t}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\cos t d t}{1-\sin ^{2} t}\)

\(=-\frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot\left(\frac{\cos t d t}{\sin t-1}-\frac{\cos t d t}{\sin t+1}\right)\).

Khi đó:

\(\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}}=-\frac{1}{2 \sqrt{2}} \int\left(\frac{\cos t d t}{\sin t-1}-\frac{\cos t d t}{\sin t+1}\right)\)

\(=-\frac{1}{2 \sqrt{2}} \ln \left|\frac{\sin t-1}{\sin t+1}\right|+C(*)\)

Từ tant= \(=\frac{x+1}{\sqrt{2}}\)

<=> \(\tan ^{2} t=\frac{\sin ^{2} t}{1-\sin ^{2} t}=\frac{(x+1)^{2}}{2}\)

=> \(\sin ^{2} t=1-\frac{2}{x^{2}+2 x+3}\)

Ta tìm được sint, thay vào * ta tính được I