Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác

Công thức chung : \(I=\int \frac{d x}{a \sin x+b \cos x+c}\)

Phương pháp : 

Đặt \(t=\tan \frac{x}{2} \Rightarrow d x=\frac{2 d t}{1+t^{2}}\)

Ta có: \(\sin x=\frac{2 t}{1+t^{2}}\) và \(\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\)

\(I=\int \frac{d x}{a \sin x+b \cos x+c}=\int \frac{2 d t}{(c-b) t^{2}+2 a t+b+c}\)

Công thức chung : \(I=\int \frac{d x}{a \sin ^{2} x+b \sin x \cos x+c \cos ^{2} x+d}\)

Phương pháp : 

Ta có \(I=\int \frac{d x}{(a+d) \sin ^{2} x+b \sin x \cos x+(c+d) \cos ^{2} x}\)

\(=\int \frac{\frac{d x}{\cos ^{2} x}}{(a+d) \tan ^{2} x+b \tan x+(c+d)}\)

Đặt \(t=\operatorname{tg} x \Rightarrow d t=\frac{d x}{\cos ^{2} x}\)

\(\Rightarrow I=\int \frac{d t}{(a+d) t^{2}+b t+(c+d)}\) đã tính được.

Công thức chung : \(I=\int \frac{m \sin x+n \cos x+p}{a \sin x+b \cos x+c} d x\).

Phương pháp : 

Tìm A, B, C sao cho:

\(I=\int \frac{m \sin x+n \cos x+p}{a \sin x+b \cos x+c} d x\)

\(=A \int d x+B \int \frac{a \cos x-b \sin x}{a \sin x+b \cos x+c} d x+C \int \frac{d x}{a \sin x+b \cos x+c}\)

Tích phân \(\int d x\) tính được

Tích phân \(\int \frac{a \cos x-b \sin x}{a \sin x+b \cos x+c} d x=\ln |a \sin x+b \cos x+c|+C\)

Tích phân \(\int \frac{d x}{a \sin x+b \cos x+c}\) tính được dựa vào dạng 1

Bài 1 : Tính tích phân sau : \(I=\int \frac{\cos x+2 \sin x}{4 \cos x+3 \sin x} d x\).

Lời giải

Cân bằng hệ số bất định, tìm \(\mathrm{A}\) và \(\mathrm{B}\) thỏa mãn :

\(\cos x+2 \sin x=A(4 \cos x+3 \sin x)+B(-4 \sin x+3 \cos x)\)

\(=(4 A+3 B) \cos x+(3 A-4 B) \sin x\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}4 A+3 B=1 \\ 3 A-4 B=2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}A=\frac{2}{5} \\ B=-\frac{1}{5}\end{array}\right.\right.\)

Ta có : 

\(I=\int\left(\frac{2}{5}-\frac{1}{5} \cdot \frac{-4 \sin x+3 \cos x}{4 \cos x+3 \sin x}\right) d x=\frac{2}{5} x-\frac{1}{5} \ln |4 \cos x+3 \sin x|+C\).

Bài 2 : Tính tích phân sau :\(I=\int \frac{dx}{4 \cos{x} + 3 \sin{x} + 5}\)

Lời giải 

Đặt \(t=\operatorname{tg} \frac{x}{2} \Rightarrow d t=\frac{1}{2}\left(1+\tan ^{2} \frac{x}{2}\right) d x \Leftrightarrow \frac{2 d t}{1+t^{2}}=d x\)

\(I = \int \frac{d x}{\cos x+3 \sin x+3}=\int \frac{\frac{2 d t}{1+t^{2}}}{\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+3 \frac{2 t}{1+t^{2}}+3}=\int \frac{d t}{t^{2}+3 t+2}\)

\(=\ln \left|\frac{t+1}{t+2}\right|+C=\ln \left|\frac{\tan \frac{x}{2}+1}{\tan \frac{x}{2}+2}\right|+C\).

Bài 3 : Tính \(I=\int \frac{d x}{\sin ^{2} x+2 \sin x \cos x-3 \cos ^{2} x}\).

Lời giải

Ta có \(I=\int \frac{d x}{\sin ^{2} x+2 \sin x \cos x-3 \cos ^{2} x}=\int \frac{\frac{d x}{\cos ^{2} x}}{\operatorname{tg}^{2} x+2 \operatorname{tg} x-3}\)

Đặt \(t=\operatorname{tg} x \Rightarrow d t=\frac{d x}{\cos ^{2} x}\)

\(\Rightarrow I=\int \frac{d t}{t^{2}+2 t-3}=\int \frac{d t}{(t-1)(t+3)}=\frac{1}{4} \ln \left|\frac{t-1}{t+3}\right|+C=\frac{1}{4} \ln \left|\frac{\operatorname{tg} x-1}{\operatorname{tg} x+3}\right|+C\)