Phương pháp đổi biến loại 2 tính tích phân

1. Phương pháp.

•Yêu cầu: Tính tích phân \(I=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\)

• Phương pháp:

- Đặt \(x=\varphi(t) \Rightarrow \mathrm{d} x=\varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t\)

+ Đổi cận:

\(x=a \Rightarrow t=t_{1} ; x=b \Rightarrow t=t_{2}\)

+ Khi đó: \(I=\int_{t_{1}}^{t_{2}} f[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t\)

2. Tính chất cần nhớ.

Tính chất 1. Tích phân tại một giá trị xác định của biến số thì bằng 0 , tức là \(\int_{a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0\)

Tính chất 2. Đổi cận thì đổi dấu, tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=-\int_{b}^{a} f(x) \mathrm{d} x\).

Tính chất 3. Tách đôi tích phân, tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x\)

Tính chất 4. Nếu hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=0\)

Tính chất 5. Nếu hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm số chắn trên \([-\mathrm{a} ; \mathrm{a}]\) thì \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=2 \int_{0}^{a} f(x) d x\)

Tính chất 6. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm chẵn trên \(\mathrm{R}\) thì: \(\quad \int_{-\alpha}^{\alpha} \frac{f(x)}{a^{x}+1} d x=\int_{0}^{\alpha} f(x) d x\) (với \(\alpha \in \mathrm{R}^{+}\)và \(\mathrm{a}\gt 0\) )

Tính chất 7. Hằng số trong tích phân có thể đưa ra ngoài dấu tích phân, tức là

\(\int_{a}^{b} k f(x) \mathrm{d} x=k \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \text { }\)

\((k\) là hằng số\()\)

Tính chất 8. Tích phân một tổng bẳng tổng\((k\) các tích phân, tức là

\[\int_{a}^{b}[f(x) \pm g(x)] \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \pm \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x .\]

Tính chất 9. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục trên \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\) thì \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x\)

Tính chất 10. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và \(f(a+b-x)=f(x)\) hoặc \(f(a+b-x)=-f(x)\)

• Chú ý:

- Tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) chỉ phụ thuộc vào hàm \(f\) và các cận \(a, b\) mà không phụ thuộc vào biến số \(x\),

tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t\).

3. Một số cách đổi biến.

Một số cách đổi biến cần nhớ:

• \(a^{2}+(b x+c)^{2}: b x+c\)

\(=|a| \tan t,\ t \in\left(-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right)\)

• \(\\\sqrt{a^{2}-(b x+c)^{2}}: b x+c\)

\(=|a| \sin t, t \in\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right] \\\)

• \(\sqrt{(b x+c)^{2}-a^{2}}: \ b x+c\)

\(=\frac{|a|}{\sin t}, \ t \in\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right] \backslash\{0\}\)

• Nhớ: \(\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{1}{a x^{2}+b x+c} d x \)

\(\stackrel{\Delta\lt 0, a\gt 0}{=} \int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{1}{a\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}+\frac{-\Delta}{4 a}} \)

\(\sqrt{\sqrt{a}\left(x+\frac{b}{2 a}\right)=\sqrt{\frac{-\Delta}{4 a}} \tan t}\)

\(=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{a}{\sqrt{-\Delta}} d t\\)

4. Bài tập vận dụng.

4.1. Bài 1.

Tính các tích phân sau:

a) \(I=\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x\)

b) \(I=\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}+3} \mathrm{~d} x\)

c) \(I=\int_{0}^{1} \frac{1}{4 x^{2}+4 x+4} \mathrm{~d} x\)

d) \(I=\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{x^{8}+1} \mathrm{~d} x\)

e) \(I=\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x\)

Lời giải chi tiết;

a) \(I=\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} d x\)

Đặt \(x=\tan t, t \in\left(-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right) \)

\(\Rightarrow \mathrm{d} x=\left(1+\tan ^{2} t\right) \mathrm{d} t\)

Đổi cận: \(x=0 \Rightarrow t=0 ; x=1 \Rightarrow t=\frac{\pi}{4}\).

Suy ra:\(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+\tan ^{2} t} \cdot\left(1+\tan ^{2} t\right) \mathrm{d} t\)

\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} t=\frac{\pi}{4}\)

b) \(I=\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}+3} d x\)

Đặt \(x=\sqrt{3} \tan t, t \in\left(-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right) \)

\(\Rightarrow \mathrm{d} x=\sqrt{3}\left(1+\tan ^{2} t\right) \mathrm{d} t\)

Đổi cận: \(x=0 \Rightarrow t=0 ; x=1 \Rightarrow t=\frac{\pi}{6}\).

Suy ra:\(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{3+3 \tan ^{2} t} \cdot \sqrt{3}\left(1+\tan ^{2} t\right) \mathrm{d} t\)

\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{\sqrt{3}} \mathrm{~d} t=\frac{\pi}{6 \sqrt{3}}\)

c) \(I=\int_{0}^{1} \frac{1}{3+(2 x+1)^{2}} d x\)

Đặt

\(2 x+1=\sqrt{3} \tan t, t \in\left(-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right) \)

\(\Rightarrow 2 \mathrm{~d} x=\sqrt{3}\left(1+\tan ^{2} t\right) \mathrm{d} t \)

\(\Rightarrow \mathrm{d} x=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(1+\tan ^{2} t\right) \mathrm{d} t\)

Đổi cận: \(x=0 \Rightarrow t=\frac{\pi}{6} ; x=1 \Rightarrow t=\frac{\pi}{3}\).

\(I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{3+3 \tan ^{2} t} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\left(1+\tan ^{2} t\right) \mathrm{d} t\)

\(=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{2 \sqrt{3}} \mathrm{~d} t=\frac{\pi}{12 \sqrt{3}}\)

Suy ra:\(I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{3+3 \tan ^{2} t} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\left(1+\tan ^{2} t\right) \mathrm{d} t\)

\(=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{2 \sqrt{3}} \mathrm{~d} t=\frac{\pi}{12 \sqrt{3}}\)

d) \(I=\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{x^{8}+1} d x\)

Đặt \(x^{4}=\tan t, t \in\left(-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right) \)

\(\Rightarrow 4 x^{3} \mathrm{~d} x=\left(1+\tan ^{2} t\right) \mathrm{d} t \\)

\(\Rightarrow x^{3} \mathrm{~d} x=\frac{1}{4}\left(1+\tan ^{2} t\right) \mathrm{d} t\)

Đổi cận: \(x=0 \Rightarrow t=0 ; x=1 \Rightarrow t=\frac{\pi}{4}\).

Suy ra:\(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+\tan ^{2} t} \cdot \frac{1}{4}\left(1+\tan ^{2} t\right) \mathrm{d} t\)

\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{4} \mathrm{~d} t=\frac{\pi}{16}\).

e) \(I=\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}} d x\)

Đặt \(x=\sin t, t \in\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right] \)

\(\Rightarrow \mathrm{d} x=\cos t \mathrm{~d} t\)

Đổi cận: \(x=0 \Rightarrow t=0 ; x=1 \Rightarrow t=\frac{\pi}{2}\).

Suy ra:\(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin ^{2} x} \cdot \cos t \mathrm{~d} t\)

\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} t \mathrm{~d} t=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2 t}{2} \mathrm{~d} t\)

\(=\left.\frac{1}{2} t\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}+\left.\frac{1}{4} \sin 2 t\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{4}\)

4.2. Bài 2.

Hãy tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến dạng II:

a) \(\int_{0}^{1}(2 x+1)^{5} d x\)

b) \(\int_{e}^{2} \frac{d x}{x \ln x}\)

c) \(\int_{0}^{1} \frac{4 x+2}{x^{2}+x+1} d x\)

Lời giải chi tiết:

a) Đặt

\(u=2 x+1\) khi \(x=0\) thì \(u=1\).

Khi \(x=1\) thì \(u=3\)

Ta có \(d u=2 d x \Rightarrow d x=\frac{d u}{2}\).

Do đó:

\(\int_{0}^{1}(2 x+1)^{5} d x=\frac{1}{2} \int_{1}^{3} u^{5} d u\)

\(= \left.\frac{u^{6}}{12}\right|_{1} ^{3}=\frac{1}{12}\left(3^{6}-1\right)=60 \frac{2}{3} \text {. }\)

b) Đặt \(u=\ln x\).

Khi \(x=e\) thì \(u=1\)

Khi \(x=e^{2}\) thì \(u=2\).

Ta có \(d u=\frac{d x}{x} \Rightarrow \int_{e}^{e^{2}} \frac{d x}{x \ln x}\)

\(=\int_{1}^{2} \frac{d u}{u}\)

\(=\left.\ln u\right|_{1} ^{2}=\ln 2-\ln 1=\ln 2\)

c) Đặt \(u=x^{2}+x+1\).

Khi \(x=0\) thì \(u=1\).

Khi \(x=1\) thì \(u=3\).

Ta có \(d u=(2 x+1) d x\).

Do đó:

\(\int_{0}^{1} \frac{4 x+2}{x^{2}+x+1} d x=\int_{1}^{3} \frac{2 d u}{u}\)

\(=\left.2 \ln u\right|_{1} ^{3}=2(\ln 3-\ln 1)=2 \ln 3\)

Lời kết

Trên đây là toàn bộ kiến thức về phương pháp đổi biến loại 2 tính tích phân. Kết hợp với phương pháp đổi biến loại 1 mà Examon đã giới thiệu với bạn ở bài viết trước, Examon hy vọng rằng bạn sẽ có cho mình một góc nhìn tổng quát hơn về Tích phân đổi biến, nắm được những kiến thức, phương pháp cũng những kỹ năng cần thiết để có thể giải quyết được các bài tập tích phân liên quan đến chủ đề tích phân này.

Muốn học tốt chương trình Tích phân nói riêng và môn toán lớp 12 nói chung chỉ học và nắm vững các kiến thức, công thức và phương pháp tính thôi chưa đủ mà cần bạn chăm chỉ giải bài và luyện đề thật nhiều, vậy bạn đã bao giờ tự hỏi vì sao việc giải đề, luyện đề lại quan trọng đến như vậy không?

Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau. Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

• Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.

• Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.

• Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!

Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.

Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!

Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.

Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!