Hướng dẫn phân loại nguyên hàm

1. NH của hàm đa thức

1.1. Công thức

công thức:

\(\int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\) (với \(\left.n \neq-1\right)\)

ví dụ

\[\int x^{2} d x=\frac{x^{3}}{3}+C\]

1.2. Ví dụ

1. Tìm nguyên hàm của hàm f(x) = 3x^2

\(\int 3 x^{2} d x=3 \int x^{2} d x\)

= \(3 \cdot \frac{x^{3}}{3}+C=x^{3}+C\)

2. Tìm nguyên hàm của hàm f(x) = \(4 x^{3}-2 x+5\)

= \(\int\left(4 x^{3}-2 x+5\right) d x=\int 4 x^{3} d x-\int 2 x d x+\int 5 d x\)

\(=4 \cdot \frac{x^{4}}{4}-2 \cdot \frac{x^{2}}{2}+5 x+C\)

\(=x^{4}-x^{2}+5 x+C\)

3. Tìm nguyên hàm của hàm f(x) = \(6 x^{5}+3 x^{2}-x+7\)

\(\int\left(6 x^{5}+3 x^{2}-x+7\right) d x=\int 6 x^{5} d x+\int 3 x^{2} d x-\int x d x+\int 7\),

\(=6 \cdot \frac{x^{6}}{6}+3 \cdot \frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+7 x+C=x^{6}+x^{3}-\frac{x^{2}}{2}+7 x+C\)

4. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x)=2 x^{3}-3 x^{2}+4 x-5\)

\(\int\left(2 x^{3}-3 x^{2}+4 x-5\right) d x=2 \cdot \frac{x^{4}}{4}-3 \cdot \frac{x^{3}}{3}+4 \cdot \frac{x^{2}}{2}-5 x+C\)

= \(\frac{x^{4}}{2}-x^{3}+2 x^{2}-5 x+C\)

5. Tìm nguyên hàm của \(f(x)=5 x^{4}-2 x^{3}+x^{2}-7\)

\(\int\left(5 x^{4}-2 x^{3}+x^{2}-7\right) d x=5 \cdot \frac{x^{5}}{5}-2 \cdot \frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}-7 x+C\)

\(=x^{5}-\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-7 x+C\)

6. \(f(x)=-3 x^{2}+4 x-8\)

\(\int\left(-3 x^{2}+4 x-8\right) d x=-3 \cdot \frac{x^{3}}{3}+4 \cdot \frac{x^{2}}{2}-8 x+C\)

\(=-x^{3}+2 x^{2}-8 x+C\)

7. \(f(x)=7 x^{3}+2 x-1\)

\(\int\left(7 x^{3}+2 x-1\right) d x=7 \cdot \frac{x^{4}}{4}+2 \cdot \frac{x^{2}}{2}-x+C\)

= \(\frac{7 x^{4}}{4}+x^{2}-x+C\)

8. \(f(x)=x^{5}-4 x^{3}+3 x^{2}+6:\)

\(\int\left(x^{5}-4 x^{3}+3 x^{2}+6\right) d x=\frac{x^{6}}{6}-4 \cdot \frac{x^{4}}{4}+3 \cdot \frac{x^{3}}{3}+6 x+C\)

\(=\frac{x^{6}}{6}-x^{4}+x^{3}+6 x+C\)

2. NH của các hàm số mũ

2.1. Công thức tổng quát

công thức

\(\int e^{x} d x=e^{x}+C\)

công thức tổng quát \(\int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C\) (với \(a\gt 0\) )

ví dụ

\[\int 2^{x} d x=\frac{2^{x}}{\ln 2}+C\]

2.2. Ví dụ

1. tính nguyên hàm của \(e^{x}\) :

giải:

để tính nguyên hàm của \(e^{x}\), chúng ta chỉ cần phân tích hàm số này theo biến x :

\[\int e^{x} d x=e^{x}+C\]

với C là hằng số

2. tính nguyên hàm của \(e^{2 x}\)

giải:

tương tự, để tính nguyên hàm của \(e^{2 x}\), ta tích phân hàm số này theo biến x

\[\int \rho^{2 x} d x=1 \rho^{2 x}+C \text {. }\]

3. tính nguyên hàm của \(e^{-3 x}\) :

giải:

\[\int e^{-3 x} d x=-\frac{1}{3} e^{-3 x}+C\]

4. Tính nguyên hàm của , với a là một hằng số

giải:

để tính nguyên hàm trên, ta sử dụng kỹ thuật thay đổi biến số.

đặt u = ax, ta có du = adx

từ đó dx=1/a du

khi thay dx bằng = 1/a du, ta có

\(\int e^{a x} d x=\frac{1}{a} \int e^{u} d u=\frac{1}{a} e^{a x}+C\)

3. NH của các hàm lượng giác

3.1. Công thức

\(\int \sin x d x=-\cos x+C\)

\(\int \cos x d x=\sin x+C\)

\(\int \sec ^{2} x d x=\tan x+C\)

\(\int \csc ^{2} x d x=-\cot x+C\)

ví dụ

\[\int \sin x d x=-\cos x+C\]

3.2. Bài tập

1. Tính nguyên hàm của \(\sin ^{2} x\)

giải:

để tính nguyên hàm của \(\sin ^{2} x\), ta có thể sử dụng công thức biến đổi

\(\sin ^{2} x=\frac{1-\cos (2 x)}{2}\)

sau đó, ta tính tích phân của \(\frac{1-\cos (2 x)}{2}\) theo x

= \(\frac{x}{2}-\frac{\sin (2 x)}{4}+C\),

với C là hằng số của nguyên hàm

2. Tính nguyên hàm của hàm số \(\frac{\sec ^{3} x}{\tan x}\)

giải:

để tính nguyên hàm của \(\frac{\sec ^{3} x}{\tan x}\), ta có thể sử dụng phép biến đổi thành phần bằng cách đặt

u= sinx tanx

ta có

\[\int \frac{\sec ^{3} x}{\tan x} d x=\int u^{3} d u=\frac{1}{4} \sec ^{4} x+C\]

3. Tính nguyên hàm của \(\frac{\tan x}{\sin ^{2} x}\)

giải:

để tính nguyên hàm của \(\frac{\tan x}{\sin ^{2} x}\), ta có thể sử dụng phép biến đổi thành phần bằng cách đặt

u = sinx

khi đó, \(d u=\cos x d x\).

ta có

\[\int \frac{\tan x}{\sin ^{2} x} d x=\int \frac{\frac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}}{u^{2}} d u=\int \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}} d u=\arcsin (\sin x)+C\]

4. Tính nguyên hàm của \(\frac{1}{\sin x}\) :

giải:

để tính nguyên hàm \(\frac{1}{\sin x}\),

ta đặt u =sinx

khi đó

\(d u=\cos x d x\).

ta có

\[\int \frac{1}{\sin x} d x=\int \frac{1}{u} d u=\ln |\sin x|+C\]

5.tính nguyên hàm của hàm số \(\frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{3} x}\)

giải

đặt u = cos x

sau đó du=-sinxdx

khi thay sinxdx bằng -du ta có

\[\int \frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{3} x} d x=-\int \frac{1}{u^{3}} d u=\frac{1}{2 u^{2}}+C=\frac{1}{2 \cos ^{2} x}+C\]

4. NH của các hàm phân thức

4.1. Công thức

công thức

\(\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C\)

công thức tổng quát

\(\int \frac{1}{a x+b} d x=\frac{1}{a} \ln |a x+b|+C\)

ví dụ

\[\int \frac{1}{2 x+3} d x=\frac{1}{2} \ln |2 x+3|+C\]

4.2. Bài tập

1. Tính nguyên hàm của hàm \(\frac{x^{2}}{x^{3}+1}\)

giải

để tính nguyên hàm của hàm số \(\frac{x^{2}}{x^{3}+1}\), ta sử dụng phép biến đổi thành phần \(u=x^{3}+1\).

khi đó \(d u=3 x^{2} d x\),

từ đó \(\frac{1}{3} d u=x^{2} d x\).

ta có

\[\int \frac{x^{2}}{x^{3}+1} d x=\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u=\frac{1}{3} \ln \left|x^{3}+1\right|+C\]

2. tính nguyên hàm của \(\frac{x^{3}+x^{2}+x+1}{x^{2}+1}\)

giải:

ta sử dụng phép chia đa thức để tính nguyên hàm của hàm số \(\frac{x^{3}+x^{2}+x+1}{x^{2}+1}\),

ta có

\[\frac{x^{3}+x^{2}+x+1}{x^{2}+1}=x+1+\frac{x}{x^{2}+1}\]

nguyên hàm của x+1 là \(\frac{x^{2}}{2}+x\), và nguyên hàm của \(\frac{x}{x^{2}+1}\) có thể được tính bằng cách biến đổi thành phần. sau đó cộng các kết quả lại với nhau

5. NH của hàm số chứa căn

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

1. \(\int \sqrt{x} d x\)

đặt\(\sqrt{x}=x^{1 / 2}\), ta có:

\[\int \sqrt{x} d x=\int x^{1 / 2} d x\]

áp dụng công thức nguyên hàm

\(\int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\) với \(n=\frac{1}{2}\) :

\[\int x^{1 / 2} d x=\frac{x^{1 / 2+1}}{1 / 2+1}+C=\frac{x^{3 / 2}}{3 / 2}+C=\frac{2}{3} x^{3 / 2}+C\]

2. \(\int \frac{1}{\sqrt{x}} d x\)

đặt \(\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1 / 2}\), ta có

\[\int \frac{1}{\sqrt{x}} d x=\int x^{-1 / 2} d x\]

áp dụng công thức nguyên hàm

\(\int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\) với \(n=-\frac{1}{2}\) :

\[\int x^{-1 / 2} d x=\frac{x^{-1 / 2+1}}{-1 / 2+1}+C=\frac{x^{1 / 2}}{1 / 2}+C=2 x^{1 / 2}+C=2 \sqrt{x}+C\]

3. \(\int \sqrt{1}-x^{2} d x\)

để tính nguyên hàm này ta dùng phương pháp biến đổi lượng giác

đặt \(x=\) \(\sin \theta\), do đó dx = cosx dx

\[\int \sqrt{1-x^{2}} d x=\int \sqrt{1-\sin ^{2} \theta} \cos \theta d \theta\]

vì 1 - sin^2x = cos ^2 x, ta có

\[\int \sqrt{\cos ^{2} \theta} \cos \theta d \theta=\int \cos ^{2} \theta d \theta\]

sử dụng công thức \(\cos ^{2} \theta=\frac{1+\cos 2 \theta}{2}\) :

\[\int \cos ^{2} \theta d \theta=\int \frac{1+\cos 2 \theta}{2} d \theta=\frac{1}{2} \int 1 d \theta+\frac{1}{2} \int \cos 2 \theta d \theta\]

đưa về biến x ta có

\(\theta=\arcsin x\) và \(\sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta=2 x \sqrt{1-x^{2}}\).

\(\frac{1}{2} \arcsin x+\frac{1}{4}\left(2 x \sqrt{1-x^{2}}\right)+C=\frac{1}{2} \arcsin x+\frac{1}{2} x \sqrt{1-x^{2}}+C\)

5. \(\int x \sqrt{x+1} d x\)

đặt t = x + 1, do đó dt = dx và x=t-1

\[\begin{array}{l}\int x \sqrt{x+1} d x=\int(t-1) \sqrt{t} d t \\=\int t^{3 / 2} d t-\int t^{1 / 2} d t\end{array}\]

áp dụng công thức tính nguyên hàm

\[\int t^{3 / 2} d t=\frac{t^{5 / 2}}{5 / 2}+C=\frac{2}{5} t^{5 / 2}+C\]

GÓC ÔN LUYỆN

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lẩm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.

- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.

- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện để hiệu quả với hệ thống đề củaExamon:

- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!

- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.

- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đẩu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một để thi phù hợp và bắt đầu luyện!

- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.

- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Nhận ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát \(99.9 \%\) đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!