Phân biệt cấp số nhân và cấp số cộng
Có những lỗi sai phổ biến nào mà học sinh thường mắc phải khi phân biệt cấp số nhân và cấp số cộng? Hãy cùng Examon xem qua bài viết dưới đây nhé !
Mục lục bài viết
Nhiều học sinh thường gặp khó khăn và nhầm lẫn giữa hai khái niệm cơ bản: cấp số nhân và cấp số cộng. Những lỗi sai phổ biến như không nhận diện được sự khác biệt trong công thức và áp dụng nhầm phương pháp giải bài tập là những rào cản thường gặp.
Chính vì vậy, bài viết này của Examon sẽ giúp bạn tìm hiểu về cấp số cộng, cấp số nhân để khắc phục lỗi sai đó.
1. Định nghĩa
1.1. Cấp số cộng
\(\left(u_{n}\right)\) là cấp số cộng khi \(u_{n}=u_{n-1}+d\)
Trong đó :
\(d\) gọi là công sai của cấp số cộng
\(u_{1}\) gọi là số hạng đầu của cấp số cộng.
1.2. Cấp số nhân
\(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân khi \(u_{n}=q\). \(u_{n-1}\)
Trong đó :
\(q\) được gọi là công bội của cấp số nhân
\(u_{1}\) được gọi là số hạng đầu của cấp số nhân.
2. Số hạng tổng quát
2.1. Cấp số cộng
Số hạng tổng quát của cấp số cộng là \(u_{n}=u_{1}+(n-1) d\).
2.2. Cấp số nhân
Số hạng tổng quát của cấp số nhân là \(u_{n}=q^{n-1} u_{1}\).
3. Tính chất
3.1. Cấp số cộng
Ba số \(a, b, c\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi \(a+c=2 b\).
3.2. Cấp số nhân
Ba số \(a, b, c\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân khi \(a c=b^{2}\).
4. Tổng n số hạng đầu
4.1. Cấp số cộng
Tổng \(n\) số hạng đầu của cấp số cộng là :
\(S_{n}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}=\frac{n}{2}\left[2 u_{1}+(n-1) d\right]=\frac{n}{2}\left(u_{1}+u_{n}\right)\).
4.2. Cấp số nhân
Tổng \(n\) số hạng đầu của cấp số nhân là :
\(S_{n}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}=u_{1} \cdot \frac{q^{n}-1}{q-1}\).
5. Bài tập minh họa
5.1. Bài tập cấp số cộng
Bài 1: Cho cấp số cộng \(\left(u_{\mathrm{n}}\right):\left\{\begin{array}{c}u_{5}+3 u_{3}-u_{2}=-21 \\ 3 u_{7}-2 u_{4}=-34\end{array}\right.\)
a) Tính số hạng thứ \(100\) của cấp số ;
b) Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số .
Lời giải
Từ giả thiết bài toán, ta có:
\[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{c}3\left(u_{1}+6 d\right)-2\left(u_{1}+3 d\right)=-34 \\u_{1}+4 d+3\left(u_{1}+2 d\right)-\left(u_{1}+d\right)=-21\end{array}\right. \\\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { c } { u _ { 1 } + 3 d = - 7 } \\{ u _ { 1 } + 1 2 d = - 3 4 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}u_{1}=2 \\d=-3 .\end{array}\right.\right.\end{array}\]a) Số hạng thứ \(100\) của cấp số:
\(u_{100}=u_1+99d=-2952\).
b) Tổng của 15 số hạng đầu:
\(S_{15}=\frac{15}{2}\left[2 u_{1}+14 d\right]=-285\)
5.2. Bài tập cấp số nhân
Bài 2 : Cho cấp số nhân \(\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}}\right):\left\{\begin{array}{c}u_{3}=243 u_{8} \\ u_{4}=\frac{2}{27}\end{array}\right.\).
a) Viết năm số hạng đầu của cấp số;
b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số.
Lời giải
Gọi q là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:
\[\left\{\begin{array} { c } { u _ { 1 } q ^ { 2 } = 2 4 3 u _ { 1 } q ^ { 7 } } \\{ u _ { 1 } q ^ { 3 } = \frac { 2 } { 2 7 } }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { c } { \frac { 1 } { 2 4 3 } = q ^ { 5 } } \\{ u _ { 1 } q ^ { 3 } = \frac { 2 } { 2 7 } }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}q=\frac{1}{3} \\u_{1}=2\end{array}\right.\right.\right.\]a) Năm số hạng đầu của cấp số là:
\[u_{1}=2, u_{2}=\frac{2}{3}, u_{3}=\frac{2}{9}, u_{4}=\frac{2}{27}, u_{5}=\frac{2}{81} \text {. }\]b) Tổng 10 số hạng đầu của cấp số
\[\mathrm{S}_{10}=u_{1} \frac{q^{10}-1}{q-1}=2 \cdot \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{10}-1}{\frac{1}{3}-1}=\frac{59048}{19683}\]6. Cùng Examon khắc phục những lỗi sai
Qua bài viết, Examon hy vọng rằng bạn đọc đã có cái nhìn rõ nét và hiểu sâu hơn về hai khái niệm quan trọng này trong toán học. Việc phân biệt đúng giữa cấp số nhân và cấp số cộng không chỉ giúp bạn giải quyết bài toán một cách chính xác mà còn ứng dụng hiệu quả trong bài toán thực tế. Hãy luôn tỉnh táo và thận trọng trong việc áp dụng công thức, kiểm tra kỹ lưỡng từng bước giải để tránh những lỗi sai không đáng có.
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!