Nhận dạng tam giác qua công thức lượng giác

1. Phương pháp giải

- Biến đổi, dẫn đến \(\sin A=1\) hoặc \(\cos A=0\) sẽ có \(A=90^{\circ}\).

- Nếu \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\) thì \(C=90^{\circ}\).

- Nếu \(\sin (A-B)=0\) hoặc \(\cos (A-B)=1\) thì \(A=B\), suy ra tam giác cân.

- Tam giác cân mà có một góc bằng \(60^{\circ}\) là tam giác đều.

Một số lưu ý khi giả thiết cho \(A, B, C\) là ba góc của một tam giác

- \(A+B+C=180^{\circ} \Rightarrow(A+B)\) và \(C\) bù nhau, tương tự với \((B+C)\) và \(A, \ldots\)

- \(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=90^{\circ} \Rightarrow\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)\) và \(\frac{C}{2}\) phụ nhau, tương tự với \(\left(\frac{B}{2}+\frac{C}{2}\right)\) và \(\frac{A}{2}, \ldots\)

- Các góc \(A, B, C\) đều có số đo trong khoảng \(\left(0^{\circ} ; 180^{\circ}\right)\)

- Các góc \(\frac{A}{2}, \frac{B}{2}, \frac{C}{2}\) đều là các góc nhọn nên có các giá trị lượng giác đều dương.

2. Ví dụ minh họa

2.1 Ví dụ 1

Tam giác \(A B C\) là tam giác gì nếu \(\sin A=\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C}\) ?

Lời giải.

Ta có \(\sin A=\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C} \Leftrightarrow \sin A=\frac{2 \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2}}{2 \cos \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2}} \Leftrightarrow \sin A=\tan \frac{B+C}{2}\) \(\Leftrightarrow \sin \left(2 \cdot \frac{A}{2}\right)=\tan \left(\frac{\pi}{2}-\frac{A}{2}\right) \Leftrightarrow 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}=\cot \frac{A}{2} \Leftrightarrow 2 \sin ^{2} \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}=\cos \frac{A}{2}\)

Do \(0^{\circ}\lt \frac{A}{2}\lt 90^{\circ}\) nên \(\cos \frac{A}{2} \neq 0\) và \(\sin \frac{A}{2}\gt 0\).

Từ đó \(2 \sin ^{2} \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}=\cos \frac{A}{2} \Leftrightarrow 2 \sin ^{2} \frac{A}{2}=1 \Leftrightarrow \sin \frac{A}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \frac{A}{2}=45^{\circ} \Leftrightarrow A=90^{\circ}\)

Vậy \(A B C\) là tam giác vuông tại \(A\).

2.2 Ví dụ 2

Chứng minh rằng với mọi tam giác nhọn \(A B C\) ta luôn có

\[\frac{\sin A+\sin B-\sin C}{\cos A+\cos B-\cos C+1}=\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2}\]

Lời giải.

Ta có \(\frac{\sin A+\sin B-\sin C}{\cos A+\cos B-\cos C+1}=\frac{2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}-\sin \left(2 \cdot \frac{C}{2}\right)}{2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}+1-\cos \left(2 \frac{C}{2}\right)}\)

\(\frac{2 \cos \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2}-2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}}{2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2}+2 \sin ^{2} \frac{C}{2}}=\frac{2 \cos \frac{C}{2}\left(\cos \frac{A-B}{2}-\cos \frac{A+B}{2}\right)}{2 \sin \frac{C}{2}\left(\cos \frac{A-B}{2}+\cos \frac{A+B}{2}\right)}\)

\(=\cot \frac{C}{2} \frac{-2 \sin \frac{A}{2} \sin \left(-\frac{B}{2}\right)}{2 \cos \frac{A}{2} \cos \left(-\frac{B}{2}\right)}=\cot \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}=\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2}\)

Vậy \(\frac{\sin A+\sin B-\sin C}{\cos A+\cos B-\cos C+1}=\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2}\).

3. Bài tập vận dụng

Bài 1. Chứng minh rằng \(\triangle A B C\) cân khi \(2 \sin A \sin B=1+\cos C\). (1)

Lời giải.

Ta có (1) tương đương với

\[\begin{aligned}& \cos (A-B)-\cos (A+B)=1+\cos C \\\Leftrightarrow & \cos (A-B)+\cos C=1+\cos C \\\Leftrightarrow & \cos (A-B)=1 \Leftrightarrow A-B=0 \Leftrightarrow A=B .\end{aligned}\]

Vậy tam giác \(A B C\) cân tại \(C\).

Bài 2. Chứng minh rằng \(\triangle A B C\) vuông khi \(\sin A \sin C=\cos A \cos C\).

Lời giải.

Ta có

\[\begin{array}{r}\sin A \sin C=\cos A \cos C \Leftrightarrow \cos A \cos C-\sin A \sin C=0 \\\Leftrightarrow \cos (A+C)=0 \Leftrightarrow-\cos B=0 \Leftrightarrow \cos B=0 \Leftrightarrow B=90^{\circ}\end{array}\]

Vậy tam giác \(A B C\) vuông tại \(B\).

Bài 3. Cho \(\triangle A B C\) không tù, thoả mãn điều kiện

\[\cos 2 A+2 \sqrt{2} \cos B+2 \sqrt{2} \cos C=3 .\]

Tính ba góc của tam giác \(A B C\).

Lời giải.

Gọi \(M=\cos 2 A+2 \sqrt{2} \cos B+2 \sqrt{2} \cos C-3\).

Khi đó

\[\begin{aligned}M & =2 \cos ^{2} A-1+4 \sqrt{2} \cos \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2}-3 \\& =2 \cos ^{2} A+4 \sqrt{2} \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2}-4 .\end{aligned}\]

Do \(\sin \frac{A}{2}\gt 0,0\lt \cos \frac{B-C}{2} \leq 1\) nên

\[M \leq 2 \cos ^{2} A+4 \sqrt{2} \sin \frac{A}{2}-4 .\]

Mặt khác, do tam giác \(A B C\) không tù nên \(\cos A \geq 0, \cos ^{2} A \leq \cos A\).

Suy ra

\[\begin{aligned}M & \leq 2 \cos A+4 \sqrt{2} \sin \frac{A}{2}-4=2\left(1-2 \sin ^{2} \frac{A}{2}\right)+4 \sqrt{2} \sin \frac{A}{2}-4 \\& =-4 \sin ^{2} \frac{A}{2}+4 \sqrt{2} \sin \frac{A}{2}-2=-2\left(\sqrt{2} \sin \frac{A}{2}-1\right)^{2} \leq 0\end{aligned}\]

Vậy \(M \geq 0\), hay \(\cos 2 A+2 \sqrt{2} \cos B+2 \sqrt{2} \cos C \leq 3\). Theo giả thiết

\[M=0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { \operatorname { c o s } ^ { 2 } A = \operatorname { c o s } A } \\{ \operatorname { c o s } \frac { B - C } { 2 } = 1 } \\{ \operatorname { s i n } \frac { A } { 2 } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}A=90^{\circ} \\B=C=45^{\circ} .\end{array}\right.\right.\]

4. Học tập hiệu quả cùng Examon

Trên đây là bài viết tổng hợp đầy đủ, ngắn gọn về cách Nhận dạng tam giác qua công thức lượng giác trong chương trình toán lớp 11. Examon hy vọng có thể giúp ích cho các bạn học sinh trong quá trình học tập. Theo dõi Examon để biết thêm nhiều kiến thức mới mỗi ngày.

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!