Nguyên hàm từng phần và phương pháp làm
Để nắm rõ được phương pháp này, các bạn có thể tham khảo qua bài viết sau.
Mục lục bài viết
Với đặc điểm khó nhằn và khó nhai mà các bạn học sinh đánh giá. Nguyên hàm từng phần cần các bạn đưa cho nó một số kỹ thuật hiệu quả và tối ưu để có thể đi sâu vào hiểu và giải bài tập một cách nhanh nhất. Chính vì thế mà phương pháp sau đây được tìm ra để hỗ trợ mọi người đây.
Cùng Examon tìm hiểu nguyên hàm từng phần nhé!
1. Công thức
Để áp dụng phương pháp Nguyên hàm từng phần, ta sử dụng công thức:
\[\int u d v=u v-\int v d u\]Trong đó:
u là một hàm số có đạo hàm du
dv là phần còn lại của tích phân và phải có nguyên hàm v
2. Các bước thực hiện
1. Chọn u và dv:
-u: chọn u sao cho du đơn giản hơn u
-dv: phần còn lại của tích phân, phải có nguyên hàm v
2. Tính du và v:
-tìm đạo hàm u để có du
-tìm nguyên hàm của dv để có v
3. Áp dụng công thức:
-thay u, du, v vào công thức tích phân từng phần
-tính tích phân còn lại nếu có thể
3. Bài tập thực hành
3.1. Câu 1
Tính tích phân \(\int x e^{x} d x\).
chọn \(u\) và \(d v\) :
\[u=x \quad \text { và } \quad d v=e^{x} d x\]tính \(d u\) và \(v\) :
\[d u=d x \quad \text { và } \quad v=e^{x}\]áp dụng CT:
\[\int x e^{x} d x=x e^{x}-\int e^{x} d x=x e^{x}-e^{x}+C\]\(=e^{x}(x-1)+C\)
3.2. Câu 2
Tính tích phân \(\int x \ln (x) d x\).
chọn \(u\) và \(d v\) :
\[u=\ln (x) \text { và } \quad d v=x d x\]tính \(d u\) và \(v\) :
\[d u=\frac{1}{x} d x \quad \text { và } \quad v=\frac{x^{2}}{2}\]
áp dụng công thức:
\(\int x \ln (x) d x=\ln (x) \cdot \frac{x^{2}}{2}-\int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x\)
\(=\frac{x^{2} \ln (x)}{2}-\frac{1}{2} \int x d x\)
tính tích phân còn lại:
\(\frac{x^{2} \ln (x)}{2}-\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}+C=\frac{x^{2} \ln (x)}{2}-\frac{x^{2}}{4}+C\)
3.3. Câu 3
tính tích phân \(\int e^{x} \cos (x) d x\).
chọn \(u\) và \(d v\) :
\[u=e^{x} \quad \text { và } \quad d v=\cos (x) d x\]tính \(d u\) và \(v\) :
\[d u=e^{x} d x \quad \text { và } \quad v=\sin (x)\]áp dụng công thức:
\[\int e^{x} \cos (x) d x=e^{x} \sin (x)-\int e^{x} \sin (x) d x\]ở đây ta thấy rằng, việc tính \(\int e^{x} \sin (x) d x\) cũng cần áp dụng tích phân một lần nữa
chọn \(u\) và \(d v\) :
\[u=e^{x} \quad \text { và } \quad d v=\sin (x) d x\]tính \(d u\) và \(v\) :
\[d u=e^{x} d x \quad \text { và } \quad v=-\cos (x)\]áp dụng công thức:
\(\int e^{x} \sin (x) d x=-e^{x} \cos (x)-\int-e^{x} \cos (x) d x\)
\(=-e^{x} \cos (x)+\int e^{x} \cos (x) d x\)
ta đặt: \(I=\int e^{x} \cos (x) d x\)
\(\begin{array}{c}I=e^{x} \sin (x)-\left(-e^{x} \cos (x)+I\right) \\ I=e^{x} \sin (x)+e^{x} \cos (x)-I \\ 2 I=e^{x}(\sin (x)+\cos (x)) \\ I=\frac{1}{2} e^{x}(\sin (x)+\cos (x))+C\end{array}\)
3.4. Câu 4
Tính tích phân: \(\int x e^{2 x} d x\).
chọn \(u\) và \(d v\) :
\[u=x \quad \text { và } \quad d v=e^{2 x} d x\]tính \(d u\) và \(v\) :
\[d u=d x \quad \text { và } \quad v=\frac{1}{2} e^{2 x}\]áp dụng công thức:
\[\int x e^{2 x} d x=x \cdot \frac{1}{2} e^{2 x}-\int \frac{1}{2} e^{2 x} d x\]\(=\frac{x}{2} e^{2 x}-\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x\)
\(=\frac{x}{2} e^{2 x}-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} e^{2 x}+C\)
\(=\frac{x}{2} e^{2 x}-\frac{1}{4} e^{2 x}+C\)
3.5. Câu 5
Tính tích phân \(\int x \sin (x) d x\).
chọn \(u\) và \(d v\) :
\[u=x \quad \text { và } \quad d v=\sin (x) d x\]tính \(d u\) và \(v\) :
\[d u=d x \quad \text { và } \quad v=-\cos (x)\]áp dụng công thức:
\[\int x \sin (x) d x=x(-\cos (x))-\int-\cos (x) d x\]\(=-x \cos (x)+\int \cos (x) d x\)
\(=-x \cos (x)+\sin (x)+C\)
3.6. Câu 6
Tính tích phân \(\int x^{2} e^{x} d x\).
chọn \(u\) và \(d v\) :
\[u=x^{2} \quad \text { và } \quad d v=e^{x} d x\]tính \(d u\) và \(v\) :
\[d u=2 x d x \quad \text { và } \quad v=e^{x}\]áp dụng công thức:
\[\int x^{2} e^{x} d x=x^{2} e^{x}-\int 2 x e^{x} d x\]tích phân còn lại cần áp dụng phương pháp từng phần một lần nữa
\[\int 2 x e^{x} d x=2 \int x e^{x} d x\]áp dụng lại phương pháp tích phân từng phần cho \(\int x e^{x} d x\) :
\[\int x e^{x} d x=x e^{x}-\int e^{x} d x=x e^{x}-e^{x}+C\]do đó:
\[2 \int x e^{x} d x=2\left(x e^{x}-e^{x}+C\right)=2 x e^{x}-2 e^{x}+C\]=> ta được kết quả:
\(\int x^{2} e^{x} d x=x^{2} e^{x}-\left(2 x e^{x}-2 e^{x}+C\right)\)
\(=x^{2} e^{x}-2 x e^{x}+2 e^{x}+C\)
4. Chiến lược cải thiện điểm số
PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
Là một công cụ mạnh mẽ giúp tính tích phân của tích hai hàm số. Việc chọn đúng u và du là rất quan trọng để đơn giản hóa quá trình tính toán.
Áp dụng thành thọa phương này sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán tích phân phức tạp hơn. Vậy nên hãy dành thời gian để thực hành nhiều ví dụ, bài tập hơn để nắm vững kỹ thuật này nhé. Chúc bạn may mắn!
Để học tốt và đạt được những mục tiêu đã đặt ra, các bạn có thể tham khảo các bí quyết sau của Examon:
Các bạn đã quen với lớp học 30 người và việc cùng mọi người học 1 bộ tài liệu nhưng bản thân lại không thích hoặc không giỏi TícH PHÂN yếu XÁC SUẤT như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điểu không cần thiết, thay vì mình dùng \(200 \%\) time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VECTƠ giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.
Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phẳm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư Al sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIÊM SỐ nhanh \(1 / 2\)
Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau:
1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định
2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này
3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.
Từ tiêu chí số 3 Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ Al Gia sư Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống đề thi Examon.
Gia sư Al sẽ ghi lại tất cả các lỗi sai của bạn đưa vể hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh từ đó đưa ra các để xuất bài tập phù hợp với từng cá nhân nhằm giúp người học rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc ĐIỂM SỐ mình mơ ước.