Nguyên Hàm - Phương pháp đổi biến số

1. Lý thuyết

Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất định. Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau:

a) Nếu: \(\int f(x)=F(x)+C\)

và với: \(u=(x)\) là hàm số có đạo hàm thì:

\(\int f(u) d u=F(u)+C\)

b) Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt \(x=\varphi(t)\).

Trong đó \(\varphi(t)\) cùng với đạo hàm của nó ( \(\varphi^{\prime}(t)\) là những hàm số liên tục, thì ta được:

\(\int f(x) d x=\int f[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(t) d t\)

\(=\int g(t) d t=G(t)+C\)

2. Phương pháp làm bài

Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm \(I=\int f(x) d x\)

Các bước thực hiện:

b1: Chọn \(\mathrm{t}=\varphi(x)\). Trong đó \(\varphi(x)\)là hàm số mà ta chọn thích hợp

b2: Tính vi phân 2 vế \(d t=\varphi^{\prime}(x) d x\).

b3: Biểu thị \(f(x) d x=g[\varphi(x)] \varphi^{\prime}(x) d x=g(t) d t\).

b4: Khi đó \(I=\int f(x) d x=\int g(t) d t=G(t)+C\)

3. Một số dấu hiệu biến đổi thường gặp

1.Biểu thức dưới mẫu:

\(\int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} \mathrm{d} x\) => t=f(x)

2.Biểu thức ở phần số mũ:

\(\int f\left[e^{u(x)}\right] u^{\prime}(x) \mathrm{d} x\) => t=u(x)

3.Biểu thức trong dấu ngoặc

\(\int f[u(x)] u^{\prime}(x) \mathrm{d} x\) => t=u(x)

4. Căn thức

\(\int f(\ln x) \frac{\mathrm{d} x}{x}\)=> \(t=\sqrt[n]{u(x)}\)

5. \(\frac{\mathrm{d} x}{x}\)đi kèm biểu thức lnx

\(\int f(\ln x) \frac{\mathrm{d} x}{x}\) => t=lnx

6.Cosx dx đi kèm biểu thức theo sinx

\(\int f(\sin x) \cdot \cos x \mathrm{~d} x\) => t=sinx

7. Sinx dx đi kèm biểu thức theo cosx

\(\int f(\cos x) \cdot \sin x d x\) => t=cosx

8. \(\frac{\mathrm{d} x}{\cos ^{2} x}\)đi kèm biểu thức theo tan x

\(\int f(\tan x) \frac{\mathrm{d} x}{\cos ^{2} x}\) => t=tanx

9. \(\frac{\mathrm{d} x}{\sin ^{2} x}\) đi kèm biểu thức theo cot x

\(\int f(\cot x) \frac{\mathrm{d} x}{\sin ^{2} x}\) => t=cotx

10. \(e^{a x} \mathrm{~d} x\) đi kèm biểu thức theo \(e^{a x}\)

\(\int f\left(e^{a x}\right) e^{a x} \mathrm{~d} x\) => \(t=e^{a x}\)

*Đôi khi thay đổi cách đặt \(t=t(x)\) bởi \(t=m \cdot t(x)+n\) ta sẽ biến đổi dễ dàng hơn

4. Bài tập

4.1. Câu 1

Tìm họ các nguyên hàm sau:

a) \(\int x \sqrt[4]{1-x^{2}} \mathrm{~d} x\)

b) \(\int \frac{1}{x \sqrt{x+1}} \mathrm{~d} x\)

c) \(\int x^{3} \sqrt{x^{2}+9} \mathrm{~d} x\)

Đáp án:

a) Xét \(\int x \sqrt[4]{1-x^{2}} \mathrm{~d} x\)

Đặt \(t=\sqrt[4]{1-x^{2}} \Rightarrow t^{4}=1-x^{2}\)

Suy ra \(4 t^{3} \mathrm{~d} t=-2 x \mathrm{~d} x \Rightarrow-2 t^{3} \mathrm{~d} t=x \mathrm{~d} x\)

Khi đó \(\int x \sqrt[4]{1-x^{2}} \mathrm{~d} x=-2 \int t \cdot t^{3} \mathrm{~d} t\)

\(=-\frac{2 t^{5}}{5}+C=-\frac{2\left(1-x^{2}\right) \sqrt[4]{1-x^{2}}}{5}+C\)

b) Xét \(\int \frac{1}{x \sqrt{x+1}} d x\)

Đặt \(t=\sqrt{x+1} \Rightarrow t^{2}=x+1\)

Suy ra \(\left\{\begin{array}{l}2 t \mathrm{~d} t=\mathrm{d} x \\ x=t^{2}-1\end{array}\right.\)

Khi đó \(\int \frac{1}{x \sqrt{x+1}} \mathrm{~d} x=\int \frac{2 t}{\left(t^{2}-1\right) t} \mathrm{~d} t\)

\(=\int \frac{2}{t^{2}-1} \mathrm{~d} t=\int\left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}\right) \mathrm{d} t\)

\(=\ln \left|\frac{t-1}{t+1}\right|+C=\ln \left|\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1}\right|+C\)

c) Xét \(\int x^{3} \sqrt{x^{2}+9} \mathrm{~d} x=\int x^{2} \sqrt{x^{2}+9} x \mathrm{~d} x\).

Đặt \(t=\sqrt{x^{2}+9} \Rightarrow t^{2}=x^{2}+9\)

Suy ra \(\left\{\begin{array}{l}t \mathrm{~d} t=x \mathrm{~d} x \\ x^{2}=t^{2}-9\end{array}\right.\)

Khi đó \(\int x^{2} \sqrt{x^{2}+9} \cdot x \mathrm{~d} x=\int\left(t^{2}-9\right) t . t \mathrm{~d} t\)

\(=\int\left(t^{4}-9 t^{2}\right) \mathrm{d} t=\frac{t^{5}}{5}-3 t^{3}+C\)

4.2. Câu 2

Tìm họ các nguyên hàm sau:

a) \(\int \frac{\ln ^{2} x-1}{x \ln x} \mathrm{~d} x\)

b) \(\int \frac{x \ln \left(x^{2}+1\right)}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x\)

c) \(\int \frac{\ln ^{2} x}{x(1+\sqrt{\ln x+1})} d x\)

Đáp án:

a) Xét \(\int \frac{\ln ^{2} x-1}{x \ln x} \mathrm{~d} x\).

Đặt t=lnx

=> \(\mathrm{d} t=\frac{1}{x} \mathrm{~d} x\)

Khi đó: \(\int \frac{\ln ^{2} x-1}{x \ln x} \mathrm{~d} x=\int \frac{t^{2}-1}{t} \mathrm{~d} t\)

\(=\int\left(t-\frac{1}{t}\right) \mathrm{d} t=\frac{t^{2}}{2}-\ln |t|+C\)

\(=\frac{\ln ^{2} x}{2}-\ln |\ln x|+C\)

b) Xét \(\int \frac{x \ln \left(x^{2}+1\right)}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x\).

Đặt t=\(\ln \left(x^{2}+1\right)\)

=> \(\mathrm{d} t=\frac{2 x}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x \Rightarrow \frac{1}{2} \mathrm{~d} t=\frac{x}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x\)

Khi đó: \(\int \frac{x \ln \left(x^{2}+1\right)}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int t \mathrm{~d} t\)

\(=\frac{1}{4} t^{2}+C=\frac{1}{4} \ln ^{2}\left(x^{2}+1\right)+C\).

c) Xét \(\int \frac{\ln ^{2} x}{x(1+\sqrt{\ln x+1})} d x\).

Đặt \(t=1+\sqrt{1+\ln x}\)

=> \((t-1)^{2}=1+\ln x \Leftrightarrow \ln x=t^{2}-2 t\)

=> \(\frac{\mathrm{d} x}{x}=(2 t-2) \mathrm{d} t\).

Khi đó \(\int \frac{\ln ^{2} x}{x(1+\sqrt{\ln x+1})} \mathrm{d} x=\int \frac{\left(t^{2}-2 t\right)^{2}}{t} \cdot(2 t-2) \mathrm{d} t\)

\(=2 \int\left(t^{4}-5 t^{3}+8 t^{2}-4 t\right) \mathrm{d} t\)

\(=\frac{2}{5} t^{5}-\frac{5}{2} t^{4}+\frac{16}{3} t^{3}-4 t^{2}+C\).

Như vậy \(\int \frac{\ln ^{2} x}{x(1+\sqrt{\ln x+1})} \mathrm{d} x=\frac{2}{5} t^{5}-\frac{5}{2} t^{4}+\frac{16}{3} t^{3}-4 t^{2}+C\)

với \(t=1+\sqrt{\ln x+1}\)

Lợi ích của việc học Toán

Phát triển kỹ năng phân tích: Một kỹ năng quan trọng có thể giúp bạn làm rõ, hiểu và tìm ra nhiều phương án giải quyết cho mọi vấn đề của cuộc sống. Ngoài ra còn rèn thêm cho bạn về tư duy phản biện
Kích thích tư duy sáng tạo: Trong học toán đòi hỏi bạn phải tìm ra nhiều cách khác nhau để ra được đáp án, điều này khiến bộ não bạn ngày càng linh hoạt và sáng suốt hơn.
Giúp bạn trong các việc hằng ngày như: quản lý tài chính cá nhân ( coi vậy chứ cái này quan trọng lắm đó ), hay các vấn đề kỹ thuật trong công việc
Giúp bạn vượt qua đa số kì thi vì đều có Toán trong đó các bạn nhé.
Một điều bật mí nữa là Trong môn văn hay các môn xã hội cũng đừng xem nhẹ Toán nha, bởi vì nhờ những kỹ năng mà lúc học Toán đem lại bộ não của bạn cũng vì đó mà làm văn, suy nghĩ sáng tạo và cho ra nhiều ý tưởng hay để viết đó nè.

=> cuối cùng thi hy vọng bạn sẽ đọc bài viết trên một cách vui vẻ thoải mái và xem các lợi ích trên đây là những kinh nghiệm nho nhỏ có thể đúc kết cho chính bản thân mình.

Đã có AI đồng hành cùng bạn

Việc đi học thêm 1 lớp có 30 hs nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đều có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi TíCH PHÂN yếu XÁC SUẤT như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng \(1 / 2\) time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VECTƠ giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.

Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ của Examon đã xây dựng nên 1 sản phẩm hỗ trợ học hiệu quả hơn và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư Al sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIẺ̉M SỐ nhanh \(200 \%\)

*Sơ đồ tối ưu hoá cải thiện Điểm số cho học sinh*

Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí chính sau:

+1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định

+2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

+3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

Từ tiêu chí số \(\mathbf{3}\) Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ Al Gia sư Toán Examon có tính năng vượt trội giúp người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống đề thi Examon

gia sư Al sẽ ghi lại tất cả các lỗi sai của bạn đưa về hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh

Bộ đề ôn thi cấp tốc 30 ngày cùng Examon

Từ đó cho ra các đề xuất phù hợp đối người học rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc ĐIEื̉M SỐ mình mơ ước.