Nguyên hàm lượng giác và các biến thể
Mỗi dạng nguyên hàm đều có quy tắc và phương pháp tính toán khác nhau, và nguyên hàm lượng giác cũng vậy.
Mục lục bài viết
Nguyên hàm là một khái niệm quan trọng trong toán học giúp chúng ta tính diện tích dưới đường cong của một hàm số và có nhiều ứng dụng tron thực tế.
Với ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như vật lý, kinh tế, và kỹ thuật. Bản chất của nguyên hàm là tìm ra một hàm số mới sao cho đạo hàm của nó chính là hàm số ban đầu. Hiểu một cách đơn giản, nguyên hàm giúp chúng ta xác định diện tích dưới đường cong của một hàm số trên một khoảng xác định.
Một trong những ứng dụng thực tiễn nổi bật của nguyên hàm lượng giác là trong việc tính toán diện tích dưới đồ thị của một hàm số, đđều này đặc biệt hữu ích trong các bài toán vật lý khi cần xác định công, năng lượng, hay các bài toán kinh tế khi cần tính toán lợi nhuận, chi phí tích lũy theo thời gian.
Trong chủ đề này, chúng ta sẽ tìm hiểu về nguyên hàm của các nguyên hàm hàm lượng giác trong nguyên hàm và các biến thể của chúng. Từ đó, giúp quá trình học nguyên hàm của bạn trở nên dễ dàng hơn. Cùng bắt đầu nhé.
Đối với các nguyên hàm lượng giác khác chúng ta cần sử dụng một số kỹ thuật tính toán khác như phân tích thành các hàm số cơ bản hoặc sử dụng các công thức lượng giác để đơn giản hóa bài toán.
Ngoài các hàm lượng giác cơ bản, chúng ta còn có các biến thể của chúng như các hàm baacjc cao hoặc hàm hợp. Hiểu và thành thạo trong việc tính toán nguyên hàm hàm lượng giác sẽ giúp quá trình học và ứng dụng giải tích trở nên dễ dàng và hiệu quả hơn.
Với những kiến thức cơ bản và ứng dụng thực tiễn của nguyên hàm các hàm lượng giác cơ bản, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá và nắm vững chủ đề này, từ đó nâng cao khả năng giải quyết cái bài toán học và thực tiễn. Hãy cùng bắt đầu ngay với hành trình này nhé.
I. Nguyên hàm của các hàm lượng giác cơ bản
1. Nguyên hàm của sin(x)
Công thức:
\(\int \sin\))x dx = -cos (x) + C
Ví dụ: Tính nguyên hàm của sin (x)
\(\int \sin (x) d x=-\cos (x)+C\)
BT thực hành:
Tính nguyên hàm của sin 2(x) và sin \(\sin ^{2}(x)\)
2. Nguyên hàm của cos(x)
Công thức
dx = sin(x) + C
Ví dụ: Tính nguyên hàm của cos 2x
\(\int \cos\)2x dx = \(\frac{1}{2}\)sin2x dx
BT thực hành:
Tính nguyên hàm của cos(2x) và \(\cos ^{2}(x)\)
3. Nguyên hàm của tan(x)
Công thức:
\(\int \tan (x) d x=-\ln |\cos (x)|+C\)
Ví dụ: Tính nguyên hàm của tan(x)
\[\int \tan (x) d x=-\ln |\cos (x)|+C\]
BT thực hành:
Tính nguyên hàm của \(\tan (2 x)\).
II. Các biến thể của hàm lượng giác
1. Nguyên hàm lượng giác có mũ
Nguyên hàm cơ bản của các hàm lượng giác có mũ:
- Với n là một số nguyên dương, nguyên hàm của \(\sin ^{n}(x)\) và \(\cos ^{n}(x)\) có thể được tìm bằng cách sử dụng các kỹ thuật như biến đổi tích phân, tích phân từng phần và sử dụng công thức lượng giác
- Ví dụ, \(\int \sin ^{2}(x) d x\) và \(\int \cos ^{2}(x) d x\)
có thể được tính bằng cách sử dụng công thức giảm
\(\sin ^{2}(x)=\frac{1-\cos (2 x)}{2}\) và \(\cos ^{2}(x)=\frac{1+\cos (2 x)}{2}\).
a) Tính nguyên hàm của \(\sin ^{3}(x)\)
giải:
Để giải bài toán này, chúng ta có thể sử dụng phép biến đổi sau:
\(\int \sin ^{3}(x) d x=-\frac{1}{3} \cos ^{3}(x)+C\)
Trong đó \(C\) là hằng số cộng.
b) Tìm nguyên hàm của hàm \(\cos ^{3}(x)\)
giải:
\[\int \cos ^{3}(x) d x=\frac{1}{3} \sin ^{3}(x)+C\]Trong đó C là hằng số cộng
c) Tính nguyên hàm của \(\int \cos ^{2}(x)\)
giải:
\[\int \cos ^{2}(x) d x=\frac{1}{2} x+\frac{1}{4} \sin (2 x)+C\]Trong đó \(C\) là hằng số cộng.
2. Nguyên hàm lượng giác có góc nhân đôi và bán kỳ
a. Tính nguyen hàm của sin2x
giải:
Để tính nguyên hàm của sin2x, ta sử dụng công thức sau
\[\int \sin (2 x) d x=-\frac{1}{2} \cos (2 x)+C\]Trong đó \(C\) là hẳng số cộng.
b. Tính nguyên hàm của sin(x/2)
giải:
\[\int \sin \left(\frac{x}{2}\right) d x=-2 \cos \left(\frac{x}{2}\right)+C\]Trong đó \(C\) là hằng số cộng.
c. Tính nguyên hàm của cos(x/2)
giải:
Để tính nguyên hàm của \(\cos \left(\frac{x}{2}\right)\), ta sử dụng phép chuyển đổi công thức:
\[\int \cos \left(\frac{x}{2}\right) d x=2 \sin \left(\frac{x}{2}\right)+C\]Trong đó \(C\) là hằng số cộng.
3. Nguyên hàm lượng giác kết hợp với các hàm khác
a/ Tính nguyên hàm của sinx.\(e^{x}\)
Để giải bài toán này, ta cần tính tích phân của sin(x) và \(e^{x}\)
\(\int \sin (x) \cdot e^{x} d x=e^{x} \sin (x)-\int e^{x} \cdot \cos (x) d x\)
Sau đó tính nguyên hàm của \(e^{x}\). cosx
\(\int e^{x} \cdot \cos (x) d x=e^{x} \cdot \cos (x)-\int e^{x} \cdot(-\sin (x)) d x\)
Kết hợp hai phần trên ta được
\(\int \sin (x) \cdot e^{x} d x=e^{x} \sin (x)-e^{x} \cdot \cos (x)+\int e^{x} \cdot \sin (x) d x+C\)
\(=e^{x}(\sin (x)-\cos (x))+\int e^{x} \cdot \sin (x) d x+C\)
Sau đó tìm nguyên hàm của \(e^{x}\).sinx bằng phép tích phân theo phần tử
\(\int e^{x} \cdot \sin (x) d x=e^{x} \cdot \sin (x)-\int e^{x} \cdot \cos (x) d x\)
Thay vào phần trước ta được
\(\int \sin (x) \cdot e^{x} d x=e^{x}(\sin (x)-\cos (x))+e^{x} \cdot \sin (x)-e^{x} \cdot \cos (x)+C\)
\(=e^{x} \sin (x)+C\)
=> đáp án: \(\int \sin (x) \cdot e^{x} d x=e^{x} \sin (x)+C\)
b/ Tính nguyên hàm của cosx.lnx
\[\int \cos (x) \cdot \ln (x) d x=\int \ln (x) \cdot \cos (x) d x\]
Sau đó, chúng ta tích phân theo phần tử
\[\int \ln (x) \cdot \cos (x) d x=\ln (x) \int \cos (x) d x-\int\left(\frac{d}{d x}(\ln (x))\right) \cdot\left(\int \cos (x) d x\right) d x\]
Tính nguyên hàm của cosx dx và thay vào phần trước
\[=\ln (x) \cdot \sin (x)-\int \frac{1}{x} \cdot \sin (x) d x\]
Tính nguyên hàm của \(\int \frac{1}{x} \cdot \sin (x)\) bằng phép tích phân theo phần tử
\[=\ln (x) \cdot \sin (x)-\int \frac{\sin (x)}{x} d x\]=> đáp án:
\(\int \cos (x) \cdot \ln (x) d x=\ln (x) \cdot \sin (x)-\int \frac{\sin (x)}{x} d x+C\)
30 ngày với bộ đề của Examon
Việc đi học thêm 1 lớp có 30 hs nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đều có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi TícH PHÂN yếu XÁC SUẤT như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng \(1 / 2\) time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VECTƠ giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.
Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phẩm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư Al sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIẺM SỐ nhanh \(200 \%\)
Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau:
1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định
2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này
3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.
Từ tiêu chí số \(\mathbf{3}\) Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ Al Gia sư Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống đề thi Examon,
gia sư Al sẽ ghi lại tất cả các lỗi sai của bạn đưa về hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh
Từ đó đưa ra các đề xuất bài tập phù hợp với từng cá nhân nhằm giúp người học rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc SỐ ĐIỂM mình mơ ước.
NHỮNG Lợı ÍCH MÀ HỆ THỐNG CÁ NHÂN HÓA VIỆC HỌC CỦA EXAMON MANG LAI1: Giúp học sinh rèn luyện kỹ năng Tự học:
Lợi 1 kỹ năng sẽ sử dụng cho việc phát triển bản thân suốt đời
Lợi 2: Giúp học sinh hình thành Tư duy giải bài trước khi giải: Đây là kỹ năng giải quyết vấn đề giúp hs tự tin và có chính kiến của riêng mình
Lợi 3: Công nghệ Al phân tích năng lực học sinh đề xuất hs Luyện tập những chỗ sai rút ngắn thời gian cải thiện điểm số: Hệ thống \(\mathrm{Al}\) bên dưới giúp phát hiện năng lực học sinh một cách chính xác từ đó có kế hoạch cải thiện năng lực nhanh chóng \(x\)