Nguyên hàm lớp 12 - Công thức, lý thuyết và bài tập

1. Lý thuyết Nguyên hàm

1.1. Định nghĩa

Nguyên hàm

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên khoảng \((a, b)\).Ta nói \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên khoảng \((a, b)\) nếu và chỉ nếu

\[F^{\prime}(x)=f(x), \forall \in(a, b)\]

Định lý

Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên khoảng \((a, b)\) thì mọi nguyên hàm của \(f(x)\) trên khoảng đó đều có dạng \(F(x)+C\) với \(C\) là một hằng số tùy ý.

Tích phân bất định của hàm số \(f(x)\), ký hiệu \(\int f(x) d x\), là tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm \(f(x)\)

Trong ký hiệu đó ta có:

- Ký hiệu \(\int\) để chỉ tích phân bất định;

- \(f(x) d x\) : gọi là biểu thức dưới dấu tích phân;

- \(f(x)\) : gọi là hàm dưới dấu tích phân;

- \(x\) : gọi là biến của tích phân.

Để diễn tả rõ hơn khái niệm tích phân bất định ở trên, ta ký hiệu

\[\int f(x) d x=F(x)+C\]

Trong đó \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x), C\) là hằng số bất kỳ.

1.2. Tính chất

Hệ quả suy ra từ định nghĩa:

\[\begin{array}{ll}\checkmark & \left(\int f(x) d x\right)^{\prime}=f(x) \\\checkmark & d\left(\int f(x) d x\right)=f(x) d x \\\checkmark & \int d(f(x))=\int f^{\prime}(x) d x=f(x)+C\end{array}\]

Các tính chất cơ bản:

\[\int[f(x) \pm g(x)] d x=\int f(x) d x \pm \int g(x) d x .\]

\(\int k \cdot f(x) d x=k \cdot \int f(x) d x, \quad k\) là hằng số.

2. Các công thức về Nguyên hàm

2.1. Các công thức Nguyên hàm cơ bản

1. \(\int 0 d x=C\)

2. \(\int d x=x+C\)

3. \(\int x^{\alpha} d x=\frac{1}{\alpha+1} x^{\alpha+1}+C(\alpha \neq-1)\)

4. \(\int \frac{1}{x^{2}} d x=-\frac{1}{x}+C\)

5. \(\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C\)

6. \(\int c^{x} d x=c^{z}+C\)

7. \(\int a^{z} d x=\frac{a^{z}}{\ln a}+C\)

8. \(\int \cos x d x=\sin x+C\)

9. \(\int \sin x d x=-\cos x+C\)

10. \(\int \tan x \cdot d x=-\ln |\cos x|+C\)

11. \(\int \cot x \cdot d x=\ln |\sin x|+C\)

12. \(\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x=\tan x+C\)

13. \(\int \frac{1}{\sin ^{2} x} d x=-\cot x+C\)

14. \(\int\left(1+\tan ^{2} x\right) d x=\tan x+C\)

15. \(\int\left(1+\cot ^{2} x\right) d x=-\cot x+C\)

16. \(\int(a x+b)^{\alpha} \mathrm{dx}=\frac{1}{a} \frac{(a x+b)^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c, \alpha \neq-1\)

17. \(\int x d x=\frac{x^{2}}{2}+C\)

18. \(\int \frac{\mathrm{dx}}{a x+b}=\frac{1}{a} \ln |a x+b|+c\)

19. \(\int c^{a s+b} d x=\frac{1}{a} c^{a s+b}+C\)

20. \(\int a^{k r+b} d x=\frac{1}{k} \frac{a^{k+b}}{\ln a}+C\)

21. \(\int \cos (a x+b) d x=\frac{1}{a} \sin (a x+b)+C\)

22. \(\int \sin (a x+b) d x=-\frac{1}{a} \cos (a x+b)+C\)

23. \(\int \tan (a x+b) \mathrm{dx}=-\frac{1}{a} \ln |\cos (a x+b)|+C\)

24. \(\int \cot (a x+b) \mathrm{dx}=\frac{1}{a} \ln |\sin (a x+b)|+C\)

2.2. Bảng nguyên hàm tích phân

1. \(\int x^{a} d x=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C\)

2. \(\int(a x+b)^{a} d x=\frac{1}{a} \cdot \frac{(a x+b)^{a+1}}{a+1}+C\)

3. \(\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C\)

4. \(\int \frac{1}{a x+b} d x=\frac{1}{a} \cdot \ln |a x+b|+C\)

5. \(\int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C\)

6. \(\int a^{a x+b} d x=\frac{a^{a x+b}}{\ln a}+C\)

7. \(\int \sin x d x=-\cos x+C\)

8. \(\int \sin (a x+b) d x=-\frac{1}{a} \cos (a x+b)+C\)

9. \(\int \cos x d x=\sin x+C\)

10. \(\int \cos (a x+b) d x=\frac{1}{a} \sin (a x+b)+C\)

11. \(\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x=\tan x+C\)

12. \(\int \frac{1}{\cos ^{2}(a x+b)} d x=\frac{1}{a} \tan (a x+b)+C\)

13. \(\int \frac{1}{\sin ^{2} x} d x=-\cot x+C\)

14. \(\int \frac{1}{\sin ^{2}(a x+b)} d x=-\frac{1}{a} \cot (a x+b)+C\)

2.3. Nguyên hàm của hàm số lượng giác

a. Một số công thức lượng giác cần nhớ

- Hệ thức lượng giác cơ bản:

\[\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1 ; \frac{1}{\sin ^{2} x}=1+\cot ^{2} x ; \frac{1}{\cos ^{2} x}=1+\tan ^{2} x\]

- Công thức cộng:

\[\begin{array}{l}\sin (\mathrm{a} \pm \mathrm{b})=\sin \mathrm{a} \cdot \cos \mathrm{b} \pm \sin \mathrm{b} \cos \mathrm{b} \\\cos (\mathrm{a} \pm \mathrm{b})=\cos \mathrm{a} \cdot \cos \mathrm{b} \mp \sin \mathrm{a} \cdot \cos \mathrm{b} \\\tan (\mathrm{a} \pm \mathrm{b})=\frac{\tan \mathrm{a} \pm \tan \mathrm{b}}{1 \mp \tan \mathrm{a} \cdot \tan \mathrm{b}}\end{array}\]

- Công thức nhân đôi:

\[\left\{\begin{array}{l}\sin 2 a=2 \sin a \cos a \\\cos 2 a=\cos ^{2} a-\sin ^{2} a=2 \cos ^{2} a-1=1-2 \sin ^{2} a\end{array}\right.\]

- Công thức hạ bậc:

\[\sin ^{2} \mathrm{a}=\frac{1-\cos 2 \mathrm{a}}{2} ; \cos ^{2} \mathrm{a}=\frac{1+\cos 2 \mathrm{a}}{2}\]

- Công thức nhân ba:

\[\left\{\begin{array}{l}\sin 3 a=3 \sin a-4 \sin ^{3} a \\\cos 3 a=4 \cos ^{3} a-3 \cos a\end{array}\right.\]

- Công thức biến đổi tích thành tổng:

\[\begin{array}{l}\cos a \cdot \cos b=\frac{1}{2}[\cos (a+b)+\cos (a-b)] \\\sin \cdot a \sin b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)] \\\sin a \cdot \cos b=\frac{1}{2}[\sin (a+b)+\sin (a-b)]\end{array}\]

b. Một số nguyên hàm lượng giác cơ bản

\(\begin{array}{l}I_{1}=\int \sin x d x=-\cos x \\ I_{2}=\int \sin (a x) d x=-\frac{1}{a} \cos (a x)+C \\ I_{3}=\int \cos x d x=\sin x+C \\ I_{4}=\int \cos (a x) d x=\frac{1}{a} \sin (a x)+C \\ I_{5}=\int \sin ^{2} x d x=\int \frac{1-\cos 2 x}{2} d x=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2 x}{4}+C \\ I_{6}=\int \cos ^{2} x d x=\int \frac{1+\cos 2 x}{2} d x=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2 x}{4}+C \\ I_{7}=\int \frac{d x}{\cos ^{2} x}=\tan x+C \\ I_{8}=\int \frac{d x}{\cos ^{2}(a x)}=\frac{1}{a} \tan (a x)+C \\ I_{9}=\int \frac{d x}{\sin ^{2}(a x)}=-\cot x+C\end{array}\)

\(\begin{array}{l}I_{10}=\int \frac{d x}{\sin ^{2}(a x)}=-\frac{1}{a} \cot (a x)+C \\ I_{11}=\int \tan x d x=\int \frac{\sin x d x}{\cos x}=-\ln |\cos x|+C \\ I_{12}=\int \cot x d x=\int \frac{\cos x d x}{\sin x}=\ln |\sin x|+C \\ I_{13}=\int \tan ^{2} x d x=\int\left(\frac{1}{\cos ^{2} x}-1\right) d x=\tan x-x+C \\ I_{14}=\int \cot ^{2} x d x=\int\left(\frac{1}{\sin ^{2} x}-1\right) d x=\cot x-x+C\end{array}\)

3. Phương pháp tìm Nguyên hàm

3.1. Dạng 1: Phương pháp biến đổi số

Phương pháp đối biến số.

Khi giải tích phân \(\int f(x) d x\) ta gặp hàm \(f(x)\) khá phúc tạp, khó lấy nguyên hàm, nên ta sẽ tìm cách đổi qua biên mới, để được tích phân của hàm theo biến mới đơn giản hơn. Phép đổi biến trong tích phân bất định được thực hiện nhờ hai dạng thay thế sau đây:

\(\checkmark\) Đặt \(t=\varphi(x)\), trong đó \(t\) là biến mới. Với phép thế này, công thức sẽ là:

\[\int f(x) d x=\int g(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) d x=\int \mathrm{g}(t) d t=G(t)+C .\]

\(\checkmark\) Đặt \(x=\varphi(t)\), trong đó \(\varphi(t)\) là hàm đơn điệu, khả vi theo biến mới \(t\). Khi đó công thức đổi biến sẽ là:

\[\int f(x) d x=\int f(\varphi(t)) \varphi^{\prime}(t) d t=\int g(t) d t=G(\mathrm{t})+C\]

Giả sử \(u=u(x)\) và \(v=v(x)\) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trong một khoảng nào đó. Trong khoảng đó ta có:

\[\begin{array}{l}\quad d(u v)=u d v+v d u \\\Leftrightarrow u d v=d(u v)-v d u \\\Leftrightarrow \int u d v=u v-\int v d u \quad\left(^{*}\right)\end{array}\]

Công dụng của công thức (*) ở chỗ là trong thực hành thay vì lấy tích phân \(\int u d v\) đang ở dạng phức t

Ví dụ: \(I=\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+3}} d x\)

Giai:

\[\text { a) Đặt } \begin{array}{r}t=\sqrt{x^{2}+3} \Leftrightarrow \quad \Leftrightarrow t^{2}=x^{2}+3 \\\Rightarrow 2 t d t=2 x d x \Leftrightarrow t d t=x d x\end{array}\]

Ta có

\[\text { ó } \begin{aligned}I & =\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+3}} d x=\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+3}} x d x \\& =\int \frac{t^{2}-3}{t} t d t=\int\left(t^{2}-3\right) d t \\& =\frac{1}{3} t^{3}-3 t+C \\\Rightarrow \quad & I=\frac{1}{3}\left(\sqrt{x^{2}+3}\right)^{3}-3 \sqrt{x^{2}+3}+C .\end{aligned}\]

3.2. Dạng 2: Phương pháp tích phân từng phần

Giả sử \(u=u(x)\) và \(v=v(x)\) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trong một khoảng nào đó. Trong khoảng đó ta có:

\[\begin{array}{l}d(u v)=u d v+v d u \\\Leftrightarrow u d v=d(u v)-v d u \\\Leftrightarrow \int u d v=u v-\int v d u \quad\left(^{*}\right)\end{array}\]

Công dụng của công thức (*) ở chỗ là trong thực hành thay vì lấy tích phân \(\int u d v\) đang ở dạng phúc tạp, ta lây tích phân \(\int v d u\) nhiêu khi có dạng đơn giản hơn.

Chú ý.

i. Để tính \(\int f(x) d x\) bằng phương pháp tích phân từng phần ta cần phân tích \(f(x)=g(x) \cdot h(x)\), sau đó đặt

\[\left\{\begin{array} { l } { u = h ( x ) } \\{ d v = g ( x ) d x }\end{array} \quad \text { hoặc } \quad \left\{\begin{array}{l}u=g(x) \\d v=h(x) d x .\end{array}\right.\right.\]

ii. Nếu đặt không khéo sẽ dẫn đến \(\int v d u\) phức tạp hơn.

iii. Vậy ta cần đặt nhu thế nào?

Chú ý.

\(\checkmark\) Gặp dạng \(\int P(x) \cdot \ln x d x\) ta đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=\ln x \\ d v=P(x) d x\end{array}\right.\) với \(P(x)\) là đa thức.

\(\checkmark\) Gặp dạng \(\int P(x) \cdot L G d x\) ta đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=P(x) \\ d v=L G d x\end{array}\right.\) với \(L G=\) lượng giác.

\(\checkmark\) Gặp dạng \(\int P(x) \cdot L G N d x \quad\) ta đặt \(\left\{\begin{array}{ll}u=L G N & \text { vói } L G N=\text { lượng } \\ d v=P(x) d x & \text { giác ngược. }\end{array}\right.\)

\(\checkmark\) Gặp dạng \(\int P(x) \cdot a^{x} d x, \quad\) ta đặt \(\quad\left\{\begin{array}{l}u=P(x) \\ d v=a^{x} d x\end{array}\right.\)

Vi du:

a) \(I=\int x e^{2 x} d x\)

a) Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=x \\ d v=e^{2 x} d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=d x \\ v=\frac{1}{2} e^{2 x}\end{array}\right.\right.\).

Ta có \(\begin{aligned}I & =\frac{x}{2} e^{2 x}-\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x \\& =\frac{x}{2} e^{2 x}-\frac{1}{4} e^{2 x}+C .\end{aligned}\)

4. Kinh làm bài tập nguyên hàm lớp 12

Bí quyết tự học hiệu quả

Như một cuộc hành trình khám phá, nguyên hàm đã dẫn chúng ta đi qua những thử thách, những bí ẩn và những phát hiện thú vị. Hy vọng rằng sau khi tham khảo tài nguyên này, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc hiểu về nguyên hàm để giải quyết các bài tập từ cơ bản đến nâng cao.

Hãy tiếp tục điều này và chuẩn bị cho những thách thức mới trong hành trình toán học của chúng ta. Dicamon chúc các bạn đạt kết quả tốt đẹp trong kì thi sắp tới!

Bộ đề ôn thi cấp tốc 30 ngày cùng Examon

Để thu được kết quả học tập như mong muốn, các bạn có thể tham khảo phương pháp học tập tối ưu và hiệu quả sau nhé.

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!