Nguyên hàm hữu tỉ trong giải tích 12

1. Giới thiệu về nguyên hàm hữu tỉ

Nguyên hàm hữu tỉ là một khái niệm trong giải tích liên quan đến tích phân của các hàm hữu tỉ. Hàm hữu tỉ là một hàm số có thể biểu diễn dưới dạng tỉ số của hai đa thức, tức là có dạng:

\(f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\)

Trongđó P(x) và Q(x) là các đa thức và Q(x) khác 0

2. Các bước tìm nguyên hàm hữu tỉ

2.1. Phương pháp làm

1. Phân tích đa thức

Nếu bậc của tử số P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu số Q(x), bạn cần thực hiện phép chia đa thức để viết lại hàm thành tổng của một đa thức và một hàm hữu tỉ khác có tử số bậc nhỏ hơn mẫu số

2. Phân tích mẫu số

Phân tích mẫu số Q(x) thành các nhân tử tuyến tính hoặc bậc hai. Điều này có thể yêu cầu sử dụng phương pháp phân tích nhân tử hoặc phương pháp lượng giác hóa

3. Phân tích hân số thành phân số đơn giản

Sử dụng phương pháp phân tích phân số thành phân số đơn giản để viết lại hàm h ữu tỉ thành tổng của các phân số đươn giản hơn, mỗi phân số có dạng:

\(\frac{A}{(x-a)^{k}}\) hoă̆c \(\frac{B x+C}{\left(x^{2}+d x+e\right)^{k}}\)

tron đó A,B,C,d,e là các hằng số và a là một nghiệm của đa thức mẫu số

4. Tìm nguyên hàm của các phân số đơn giản

Tìm nguyên hàm của từng phân số đơn giản. Các công thức cơ bản thường sử dụng bao gồm

- nguyên hàm của \(\frac{1}{x-a}\) là \(\ln |x-a|\).

- nguyên hàm của \(\frac{1}{(x-a)^{k}}\) (với \(k \neq 1\) ) là \(\frac{(x-a)^{1-k}}{1-k}\).

- nguyên hàm của \(\frac{B x+C}{x^{2}+d x+e}\) có thể yêu cầu sử dụng phương pháp thay đổi biến hoặc lượng giác hóa

2.2. Ví dụ

Hãy xét hàm hữu tỉ f(x) = \(\frac{2 x+3}{x^{2}-x-2}\).

1. phân tích mẫu số

\(x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)\)

2. phân tích phân số thành phân số đơn giản

\(\frac{2 x+3}{(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}\)

giải hệ phương trình để tìm A và B

\(2 x+3=A(x+1)+B(x-2)\)

ta có: \(\left\{\begin{array}{l}A+B=2 \\ A-2 B=3\end{array}\right.\)

giải hệ phương trình ta được A = 5; B = -3

vậy:

\(\frac{2 x+3}{(x-2)(x+1)}=\frac{5}{x-2}-\frac{3}{x+1}\)

3. tìm nguyên hàm của các phân số đơn giản

\(\begin{array}{l}\int \frac{5}{x-2} d x=5 \ln |x-2| \\ \int \frac{3}{x+1} d x=3 \ln |x+1|\end{array}\)

4. kết hợp kết quả

\[\int \frac{2 x+3}{x^{2}-x-2} d x=5 \ln |x-2|-3 \ln |x+1|+C\]

trong đó C là hằng số

3. Đúc kết từ bài học

Qua hai phần trình bày về hàm phân thức có mẫu số là bậc hai, chúng ta nhận thấy điểm mấu chốt giải quyết bài toán là xử lý mẫu số

Nếu \(\frac{P(x)}{a x^{2}+b x+c}\)

\(a x^{2}+b x+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\)

=> \(\frac{P(x)}{a x^{2}+b x+c}=\frac{1}{a}\left(\frac{A}{x-x_{1}}+\frac{B}{x-x_{2}}\right)\)

\(a x^{2}+b x+c=(m x+n)^{2}+k^{2}\)

=> \(\int \frac{d u}{u^{2}+\alpha^{2}}=\frac{1}{\alpha} \arctan \frac{u}{\alpha}+C\)

\(a x^{2}+b x+c=(m x+n)^{2}\)

=> \(\int \frac{d u}{u^{2}}=-\frac{1}{u}+C\)

Kinh nghiệm giải đề mới

Việc đi học thêm 1 lớp có 30 hs nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đều có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi TícH PHÂN yếu XÁc SUẤT như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng \(1 / 2\) time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VECTƠ giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.

Hình màu vàng.png — Bộ đề ôn thi cấp tốc 30 ngày cùng Examon

Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phẩm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư Al sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIỂM SỐ nhanh \(200 \%\)

*Sơ đồ tối ưu hoá cải thiện Điểm số cho học sinh*

Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 7 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

Từ tiêu chí số \(\mathbf{3}\) Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ Al Gia sư Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống đề thi Examon, gia sư Al sẽ ghi lại tất cả các lỗi sai của bạn đưa về hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh

từ đó đưa ra các đề xuất bài tập phù hợp với từng cá nhân nhằm giúp người học rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc ĐIEื̉M Số mình mơ ước.

NHỮNG LỢI ÍCH MÀ HỆ THỐNG CÁ NHÂN HÓA VIỆC HỌC CỦA EXAMON MANG LAI

1: Giúp học sinh rèn luyện kỹ năng Tự học: 1 kỹ năng sẽ sử dụng cho việc phát triển bản thân suốt đời

2: Giúp học sinh hình thành Tư duy giải bài trước khi giải: Đây là kỹ năng giải quyết vấn đề giúp hs tự tin và có chính kiến của riêng mình

3: Công nghệ Al phân tích năng lực học sinh đề xuất hs Luyện tập những chỗ sai rút ngắn thời gian cải thiện điểm số: Hệ thống Al bên dưới giúp phát hiện năng lực học sinh một cách chính xác từ đó có kế hoạch cải thiện năng lực nhanh chóng