Nguyên hàm - Hệ thống công thức & bài tập

Biết rằng \(F(x)=\left(a x^{3}+b x^{2}+c x+d\right) e^{x}\) là một nguyên hàm của hàm  \(f(x)=\left(2 x^{3}+9 x^{2}-2 x+5\right) e^{x}\). 

tính  \(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\)

a. 244

b. 247

c. 245

d. 246

đáp án

ta có

F'(x) \(\left(3 a x^{2}+2 b x+c\right) e^{x}+\left(a x^{3}+b x^{2}+c x+d\right) e^{x}\)

\(=\left[a x^{3}+(3 a+b) x^{2}+(2 b+c) x+c+d\right] e^{x}\)

do đó 

\(\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ 3 a+b=9 \\ 2 b+c=-2 \\ c+d=5\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=3 \\ c=-8 \\ d=13\end{array}\right.\right.\)

=> \(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=246\)

Cho hàm số f(x) xác định trên R\-1 và thỏa mãn f'(x)=3/x+1, f(0)=1 và f(1)+f(-2)=2. giá trị f(-2) bằng

a. 1+2ln2

b. 1-ln2

c.1

d. 2+ln2

đáp án

ta có  \(\int f^{\prime}(x) d x=3 \ln |x+1|+C \quad(x \neq-1)\)

nếu  \(x\gt -1 \Rightarrow f(x)=3 \ln (x+1)+C_{1}\) 

mà  \(f(0)=1 \Rightarrow C_{1}=1\)

vậy \(f(x)=3 \ln (x+1)+1\) khi \(x>-1\)

tương tự \(f(x)=3 \ln (-x-1)+C_{2}\) khi \(x\lt -1\)

do \(f(1)+f(-2)=2 \Rightarrow 3 \ln 2+1+C_{2}=2 \Rightarrow C_{2}=1-3 \ln 2\)

suy ra  \(f(-3)=3 \ln 2+1-3 \ln 2=1\). 

=> chọn c

Cho hàm số f(x) xác định trên R \ 1/2 và thỏa mãn f'(x)=2/2x-a, f(0)=1 và f(1)=2. Gía trị của biểu thức f(-1)+f(3) bằng

a. 4+ln15

b. 2+ln15

c. 3+ln15

d. ln15

đáp án

ta có

 \(\int f^{\prime}(x) d x=\ln |2 x-1|+C\left(x \neq \frac{1}{2}\right)\). 

hàm số gián đoạn tại điểm x=1/2

 nếu \(x\gt \frac{1}{2} \Rightarrow f(x)=\ln (2 x-1)+C_{1}\) 

mà \(f(1)=2 \Rightarrow C_{1}=2\)

vậy \(f(x)=\ln (2 x-1)+2\) khi \(x>\frac{1}{2}\)

tương tự \(f(x)=\ln (2 x-1)+C_{2}\) khi \(x\lt \frac{1}{2}\) 

mà \(f(0)=1 \Rightarrow C_{2}=1\)

do đó \(f(-1)+f(3)=\ln 3+1+\ln 5+2=\ln 15+3\).

=> chọn c

Đề thi THPT QG 2017:  Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số  \(f(x)=e^{x}+2 x\) 4 thỏa mãn \(F(0)=\frac{3}{2}\). Tìm \(F(x)\).

A. \(F(x)=e^{x}+x^{2}+\frac{3}{2}\).

B. \(F(x)=2 e^{x}+x^{2}-\frac{1}{2}\).

C. \(F(x)=e^{x}+x^{2}+\frac{5}{2}\).

D. \(F(x)=e^{x}+x^{2}+\frac{1}{2}\).

đáp án:

ta có 

 \(F(x)=\int\left(e^{x}+2 x\right) d x=e^{x}+x^{2}+C\) 

mà  

\(F(0)=\frac{3}{2} \Rightarrow 1+C=\frac{3}{2} \Rightarrow C=\frac{1}{2} \Rightarrow F(x)=e^{x}+x^{2}+\frac{1}{2}\)

=> chọn d

Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số \(f(x)=2 \cos 3 x-3^{x-1}\)thỏa mãn  \(F(0)=0\). Tìm \(F(x)\)?

A. \(F(x)=\frac{2 \sin 3 x}{3}-\frac{3^{x-1}}{\ln 3}+\frac{1}{3 \ln 3}\).

B. \(F(x)=-\frac{2 \sin 3 x}{3}-\frac{3^{x-1}}{\ln 3}+\frac{1}{3 \ln 3}\).

. \(F(x)=\frac{2 \sin 3 x}{3}-\frac{3^{x}}{\ln 3}+\frac{1}{3 \ln 3}\).

D. \(F(x)=-\frac{2 \sin 3 x}{3}-\frac{3^{x}}{\ln 3}+\frac{1}{3 \ln 3}\).

đáp án:

ta có F(x) =  \(\int f(x) d x=\int 2 \cos 3 x d x-\int 3^{x-1} d x\)

\(\int f(x) d x=\int 2 \cos 3 x d x-\int 3^{x-1} d x\)

mặt khác F(0)=0 

=> \(-\frac{1}{3 \ln 3}+C=0 \Leftrightarrow C=\frac{1}{3 \ln 3}\)

vậy \(F(x)=\frac{2 \sin 3 x}{3}-\frac{3^{x}}{3 \ln 3}+\frac{1}{3 \ln 3}\). 

chọn A

Đề thi THPT GQ 2017 : Nguyên hàm của hàm số \(f(x)=x^{3}+x\) là

A. \(x^{4}+x^{2}+C\).

B. \(3 x^{2}+1+C\).

C. \(x^{3}+x+C\).

D. \(\frac{1}{4} x^{4}+\frac{1}{2} x^{2}+C\).

đáp án

ta có 

 \(\int f(x) d x=\int x^{3} d x+\int x d x=\frac{1}{4} x^{4}+\frac{1}{2} x^{2}+C\).

 => chọn d 

Tìm nguyên hàm của hàm số

\(f(x)=(2 x+1)^{2019}\)

A. \(\frac{(2 x+1)^{2020}}{2020}+C\).

B. \(\frac{(2 x+1)^{2020}}{4040}+C\).

C. \(\frac{(2 x+1)^{2020}}{1010}+C\).

D. \(4038(2 x+1)^{2018}+C\).

đáp án

ta có

\(\int f(x)=\int(2 x+1)^{2019} d x\)

\(=\frac{1}{2} \int(2 x+1)^{2019} d(2 x+1)\)

\(=\frac{1}{2} \cdot \frac{(2 x+1)^{2020}}{2020}+C=\frac{(2 x+1)^{2020}}{4040}+C\).

=> chọn b

tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+e^{-2 x}\)

A. \(\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2 e^{2 x}}+C\).

B. \(\frac{\sqrt{x}}{2}+\frac{1}{2 e^{2 x}}+C\).

C. \(2 \sqrt{x}+\frac{1}{2 e^{2 x}}+C\).

D. \(2 \sqrt{x}-\frac{1}{2 e^{2 x}}+C\).

đáp án

ta có 

\(\int f(x)=\int \frac{d x}{\sqrt{x}}+\int e^{-2 x} d x=2 \int \frac{d x}{2 \sqrt{x}}-\frac{1}{2} \int e^{-2 x} d(-2 x)\) 

\(=2 \sqrt{x}-\frac{e^{-2 x}}{2}+C=2 \sqrt{x}-\frac{1}{2 e^{2 x}}+C\). 

=> chọn d

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x)=x^{2}+\sin (3 x+1)\)

A. \(\frac{x^{3}}{3}+\frac{\cos (3 x+1)}{3}+C\).

B. \(\frac{x^{3}}{3}-\frac{\cos (3 x+1)}{3}+C\).

C. \(3 x^{2}+3 \cos (3 x+1)+C\).

D. \(x^{3}-3 \cos (3 x+1)+C\).

đáp án

ta có

\(\int\left[x^{2}+\sin (3 x+1)\right] d x=\int x^{2} d x+\int \sin (3 x+1) d x\) 

\(=\frac{x^{3}}{3}+\frac{1}{3} \int \sin (3 x+1) d(3 x+1)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{\cos (3 x+1)}{3}+C\). 

=> chọn B