Nguyên hàm hàm số hữu tỉ và hàm số vô tỉ

Xét f(x) là nguyên hàm hữu tỉ có dạng:

 \(f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\).

TH1: bậc tử \(\geq\) bậc mẫu 

chia đa thức ta được: M là thương; N là dư

Khi đó: 

\(\int f(x) \mathrm{d} x=\int \frac{P(x)}{Q(x)} \mathrm{d} x=\int\left(M+\frac{N}{Q(x)}\right) \mathrm{d} x\).

TH2: bậc tử < bậc mẫu

=> được chia làm 3 loại

\(f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\), trong đó:

\(\left\{\begin{array}{l}P(x)=\gamma(\text { const }) \\ Q(x)=a x+b\end{array}\right.\) thì \(\int \frac{P(x)}{Q(x)} \mathrm{d} x=\int \frac{\gamma}{a x+b} \mathrm{~d} x\)

\(=\frac{Y}{a} \ln |a x+b|+C\)

\(f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\) trong đó \(\left\{\begin{array}{l}P(x)=\gamma(\text { const }) \\ Q(x)=a x^{2}+b x+c\end{array}\right.\) có các trường hợp sau:

1. Q(x) có \(\Delta\) > 0

nhận dạng:

+ tử là hằng số

+ mẫu có 2 nghiệm pb

=> \(\int \frac{\gamma}{a x^{2}+b x+c} d x=\int \frac{\gamma}{a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)} d x\)

\(=\frac{\gamma}{a\left(x_{2}-x_{1}\right)} \int\left(\frac{1}{x-x_{2}}-\frac{1}{x-x_{1}}\right) \mathrm{d} x\) với x1 > x2

2. Q(x) có \(\Delta\) = 0

=> \(\int \frac{\gamma}{a x^{2}+b x+c} \mathrm{~d} x=\int \frac{\gamma}{a\left(x-x_{0}\right)^{2}}\)dx

= \(-\frac{\gamma}{a\left(x-x_{0}\right)}+C\).

nhận dạng:

+tử là hằng số

+mẫu có nghiệm kép

3. Q(x) có \(\Delta\) < 0

=> \(\int \frac{\gamma}{a x^{2}+b x+c} \mathrm{~d} x=\frac{\gamma}{a} \int \frac{1}{\left(x-x_{0}\right)^{2}+k^{2}}\)dx

=> lượng giác hóa

nhận dạng:

+ tử là hằng số

+ mẫu vô nghiệm

\(f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\) trong đó \(\left\{\begin{array}{l}P(x)=m x+n \\ Q(x)=a x^{2}+b x+c\end{array}\right.\) có các trường hợp sau

1. Q(x) có \(\Delta\) > 0

nhận dạng:

+bậc tử < bậc mẫu

+mẫu có 2 nghiệm pb

cách 1:

I=\(\int \frac{m x+n}{a x^{2}+b x+c} \mathrm{~d} x=\int \frac{C\left(x-x_{1}\right)+D\left(x-x_{2}\right)}{a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)}\)

= \(\frac{1}{a} \int\left(\frac{C}{x-x_{2}}+\frac{D}{x-x_{1}}\right)\)dx

cách 2:

xét I = \(\int \frac{m x+n}{a x^{2}+b x+c} d x=\int \frac{m x+n}{a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)} d x\)

khi đó ta có :

\(I=\int \frac{m x+n}{a x^{2}+b x+c} \mathrm{~d} x=\int \frac{m x+n}{a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)} \mathrm{d} x\)

= \(\frac{1}{a}\left(X \cdot \ln \left|x-x_{1}\right|+Y \cdot \ln \left|x-x_{2}\right|\right)\)+ C

đến đây ta chỉ cần tìm X & Y bằng cách giải hệ

Lưu ý

1. Cách lấy các "hệ số" bỏ vào hệ ta lấy theo thứ tự từ phải -> trái

2. Với tử là hằng số, ta vẫn có thể áp dụng được cách này

ví dụ:

\(I=\int \frac{1}{a x^{2}+b x+c} \mathrm{~d} x\) ta xem hệ số m=0 và n=1 

3. Khuyết vị trí nào thì xem hệ số đó = 0

ví dụ:

\(I=\int \frac{n}{a x^{2}+b x+c} \mathrm{~d} x\) khuyết "mx" nên hệ số m=0

4. Chú ý hệ số a, bài đơn giản thường thấy a=1

2. Q(x) có \(\Delta\) =0

=> \(\int \frac{m x+n}{a x^{2}+b x+c} \mathrm{~d} x=\int \frac{m x+n}{a\left(x-x_{0}\right)^{2}} \mathrm{~d} x\)

=> đặt \(\left\{\begin{array}{l}t=x-x_{0} \\ \mathrm{dt}=\mathrm{d} x\end{array} \rightarrow x=t+x_{0}\right.\).

nhận dạng:

+tử < mẫu

+mẫu có nghiệm kép

3. Q(x) có \(\Delta\) < 0

=> \(\frac{m x+n}{a x^{2}+b x+c} \mathrm{~d} x=\int \frac{\lambda\left(a x^{2}+b x+c\right)^{\prime}+c}{a x^{2}+b x+c} \mathrm{~d} x\)

= \(\underbrace{\int \frac{\lambda\left(a x^{2}+b x+c\right)^{\prime}}{a x^{2}+b x+c} \mathrm{~d} x}_{\dot{H}}+\underbrace{\int \frac{\varepsilon}{a x^{2}+b x+c} \mathrm{~d} x}_{\dot{k}}\).

tính H = \(\int \frac{\lambda\left(a x^{2}+b x+c\right)^{\prime}}{a x^{2}+b x+c} d x\)

=> đặt \(t=a x^{2}+b x+c \Rightarrow \mathrm{dt}=\left(a x^{2}+b x+c\right)^{\prime} \mathrm{d} x\)

tính K = \(\int \frac{\varepsilon}{a x^{2}+b x+c} \mathrm{~d} x\)

=> lượng giác hóa

*nhận dạng

+bậc tử < bậc mẫu

+mẫu có nghiệm kép

\(\frac{1}{\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)}=\frac{A}{x-x_{1}}+\frac{B}{x-x_{2}}\)

\(\frac{1}{(x-m)\left(a x^{2}+b x+c\right)}=\frac{A}{x-m}+\frac{B x+C}{a x^{2}+b x+c}\)

với \(\Delta=b^{2}-4 a c\lt 0\)

\(\frac{1}{(x-a)^{2}(x-b)^{2}}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a)^{2}}+\frac{C}{x-b}+\frac{D}{(x-b)^{2}}\)