Nguyên hàm hàm lượng giác và nguyên hàm hàm số vô tỉ

Công thức cơ bản

\(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1\)

\(1+\tan ^{2} \alpha=\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}, \alpha \neq \frac{\pi}{2}+k_{\pi}\)

\(1+\cot ^{2} \alpha=\frac{1}{\sin ^{2} \alpha}, \alpha \neq k \pi\)

\(\tan \alpha \cdot \cot \alpha=1, \quad \boldsymbol{x} \neq \frac{k \pi}{2}\)

Công thức cộng

sin (a\(\pm\)b) = sinacosb \(\pm\) sinbcosa

cos(a\(\pm\)b)=cosacosb \(\pm\) sinasinb

tan(a\(\pm\)b)= \(\frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}\)

Công thức nhân đôi

sin2a=2sinacosa

cos2a=\(\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1=1-2 \sin ^{2} \alpha\)

\(\tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha},\left\{\begin{array}{l}\alpha \neq \frac{\pi}{4}+k \frac{\pi}{2} \\ \alpha \neq \frac{\pi}{2}+k \pi\end{array}\right.\)

Công thức hạ bậc

\(\sin ^{2} \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{2}\)

\(\cos ^{2} \alpha=\frac{1+\cos 2 \alpha}{2}\)

\(\tan ^{2} \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{1+\cos 2 \alpha}, \alpha \neq \frac{\pi}{2}+k \pi\)

Công thức tích thành tổng

cosacosb = \(\frac{1}{2}[\cos (a-b)+\cos (a+b)]\)

sinasinb =  \(\frac{1}{2}\)\([\cos (a-b)-\cos (a+b)]\)

sinacosb = \(\frac{1}{2}[\sin (a+b)+\sin (a-b)]\)

cosasinb = \(\frac{1}{2}[\sin (a+b)-\sin (a-b)]\)

1. Tìm nguyên hàm của \(\int \sin 3 x \cos 5 x \mathrm{~d} x\)

A. \(-\frac{1}{16} \cos 8 x+\frac{1}{4} \cos 2 x+C\)

B. \(2 \cos 8 x-2 \cos 2 x+C\).

C. \(2 \cos 8 x+2 \cos 2 x+C\).

D. \(-\frac{1}{16} \cos 10 x+C\)

giải:

chọn A

\(\int \sin 3 x \cos 5 x d x=\frac{1}{2} \int(\sin 8 x-\sin 2 x)\)dx

= \(-\frac{1}{16} \cos 8 x+\frac{1}{4} \cos 2 x+C\)

2. Tìm nguyên hàm của \(\int \frac{1}{4 \cos ^{4} x-4 \cos ^{2} x+1}\)dx

A. \(\sin ^{2} x-2 \sin ^{2} x+C\)

B. \(\frac{\cot x}{2}+C\).

C. \(\cos ^{2} x+2 \cos ^{2} x+C\).

D. \(\frac{\tan 2 x}{2}+C\)

giải:

chọn D

\(\int \frac{1}{4 \cos ^{4} x-4 \cos ^{2} x+1} d x=\int \frac{1}{\left(2 \cos ^{2} x-1\right)}\)dx

\(\int \frac{1}{\cos ^{2} 2 x} d x=\frac{\tan 2 x}{2}\) + C

3. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\frac{\cos x-2}{1+\cos x}\)

A. \(\sin ^{2} x-3 \tan x+C\)

B. \(x^{2}-3 \tan x+C\).

C. \(x-3 \tan \frac{x}{2}+C\).

D. \(\frac{x}{2}-\tan \frac{3 x}{2}+C\)

giải:

chọn C

Ta có: \(\int \frac{\cos x-2}{1+\cos x} \mathrm{~d} x=\int\left(1-\frac{3}{1+\cos x}\right) \mathrm{d} x\)

=\(\left(1-\frac{3}{2 \cos ^{2} \frac{x}{2}}\right) \mathrm{d} x=x-3 \tan \frac{x}{2}+C\).

4. Tính nguyên hàm của \(\int \cot ^{2}\)dx

A. 2cotx + C

B. -cotx -x + C

C. x - cotx + C

D. x/2 - cotx +C

giải:

chọn B

ta có: \(\int \cot ^{2} x \mathrm{~d} x=\int\left(\cot ^{2} x+1-1\right) \mathrm{d} x\)

\(\int\left(\cot ^{2} x+1\right) \mathrm{d} x-\int 1 \mathrm{~d} x=-\cot x-x+C\)

5. Biết F(x) là một nguyên hàm của f(x)=2x-3cosx  và F\(\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi^{2}}{4}\).

Tính F(x)

A. \(\pi^{2}+3\)

B. \(-\pi^{2}\).

C. \(2 \pi\).

D. \(\pi^{2}\)

giải:

chọn A

ta có: \(\int(2 x-3 \cos x) \mathrm{d} x=x^{2}-3 \sin x+C\)

theo giả thiết ta có:

\(F\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi^{2}}{4} \Leftrightarrow \frac{\pi^{2}}{4}-3+C=\frac{\pi^{2}}{4} \Leftrightarrow C=3\).

vậy:

\(x^{2}-3 \sin x+3 \Rightarrow F(\pi)=\pi^{2}+3\).

Xét f(x) là hàm số vô tỉ có dạng:

f(x) = P(x) . \(\sqrt{Q(x)}\)

=> \(\int\)f(x)dx = \(\int\)P(x) . \(\sqrt{Q(x)}\) dx

Thông thường ở dạng hàm vô tỉ ta sẽ dùng phương pháp đổi biến

Và ta nhẩm được:

(Q(x))' = P(x)

Khi đó:

b1: đặt \(t=\sqrt{Q(x)}\).A 

b2: tính vi phân dt: nhưng để vi phân thuận tiện, ta bình phương 2 vế \(t^{2}\)=Q(x)

=> 2t.dt = Q'(x).dc

=> 2t.dt = P(x).dx

b3: khi đó

 \(\int f(x) \mathrm{d} x=\int t \cdot 2 t \mathrm{~d} t=\int 2 t^{2} \mathrm{~d} t=\ldots\)

1. Tìm họ nguyên hàm của \(f(x)=x \sqrt[4]{1-x^{2}}\)

A. \(-\frac{2\left(1-x^{2}\right)^{2} \sqrt[4]{1-x^{2}}}{5}+C\)

B. \(\frac{2\left(1-x^{2}\right)^{2}}{5}+C\).

C. \(\frac{\left(1-x^{2}\right) \sqrt[4]{1-x^{2}}}{5}+C\).

D. \(\frac{\sqrt[4]{1-x^{2}}}{5}+C\)

giải:

chọn A

Đặt t = \(\sqrt[4]{1-x^{2}} \Rightarrow t^{4}=1-x^{2}\)

=> \(4 t^{3} \mathrm{~d} t=-2 x \mathrm{~d} x\)

<=> \(2 t^{3} \mathrm{~d} t\) = -xdx

2. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \(=\sin ^{3} x \sqrt{1+\cos x}\)

A. \(2\left(\frac{\sqrt{1+\cos x}}{2}-\frac{2 \sqrt{1+\cos x}}{5}\right)+C\)

B. \(2\left(\frac{\sqrt{1+\cos x}}{7}-\frac{2 \sqrt{1+\cos x}}{5}\right)+C\).

C. \(2(\sqrt{1+\cos x}-2 \sqrt{1+\cos x})+C\).

D. \(\sqrt{1-\cos x}+2 \sqrt{1-\cos x}^{2}+C\)

giải:

chọn B

đặt u = \(\sqrt{1+\cos x}\)

<=> \(u^{2}\) = 1 +cosx

=> 2udu = -sinxdx

khi đó:

\(\int \sin ^{2} x \cdot \sin x \sqrt{1+\cos x} d x=\int\left(1-\cos ^{2} x\right) \cdot \sin x \sqrt{1+\cos x} d x\)

Việc đi học thêm 1 lớp có 30 hs nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đều có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi TícH PHÂN yếu XÁC SUẤT như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng \(1 / 2\) time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VECTƠ giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.

Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phầm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa được việc học đến từng khả năng của học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư Al sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐlẺ̉M SỐ nhanh \(200 \%\)

Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

Từ tiêu chí số \(\mathbf{3}\) Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ \(\mathrm{Al}\) Gia sư Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống đề thi Examon, gia sư Al sẽ ghi lại tất cả các lỗi sai của bạn đưa về hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh 

Từ đó đưa ra các đề xuất bài tập phù hợp với từng cá nhân nhằm giúp người học rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc ĐIÊM SỐ mình mơ ước.