Nguyên hàm đổi biến

Công thức:

\(\int f[u(x)] u^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\int f(t) \mathrm{d} t\) với \(\left.t=u(x)\right)\)

Các bước thực hiện:

B1: đặt t = u (x)

B2: tính vi phân dt = u'(x) dx

B3: viết lại nguyên hàm ban đầu theo biến t:

\(\int f(x) \mathrm{d} x=\int g(t)\)dt

B4: tính nguyên hàm theo biến t rồi chuyển lại biến x

Nguyên tắc:

• Đặt t bằng cái gì thì dt phải là phần còn lại, do đó cần nhẩm trước xem đặt vậy có phù hợp hay không
• Trong một số trường hợp, ta không dễ dàng nhìn ra cách đặt ẩn ngay mà phải qua một số phép biến đổi trung gian

• Nếu có căn => đặt t = căn
• Nếu có mẫu => đặt t = mẫu
• Nếu có lũy thừa bật cao => đặt t = lũy thừa bật cao

Có \(\sqrt{f(x)}\) => đặt t = \(\sqrt{f(x)}\)

ví dụ: \(\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x+1}} \mathrm{~d} x \quad\)=> đặt \(t=\sqrt{x+1}\)

Có \((a x+b)^{\alpha}\) => đặt t = ax+b

ví dụ: \(\int x(2 x-1)^{9} \mathrm{~d} x\) => đặt t = 2x-1

Có \(a^{f(x)}\) => đặt t = f(x)

ví dụ: \(\int x(2 x-1)^{9} \mathrm{~d} x\) => đặt t = tanx+1

Có lnx và \(\frac{\mathrm{d} x}{x}\) => đặt t = lnx hoặc t= biểu thức chứa lnx

ví dụ: \(\int \frac{\sqrt{2+\ln x}}{x} \mathrm{~d} x \quad \beta \quad t=\sqrt{2+\ln x}\)

Có \(e^{x}\) dx => đặt t = \(e^{x}\) hoặc biểu thức chứa \(e^{x}\)

ví dụ: \(\int \mathrm{e}^{2 x} \sqrt{2 \mathrm{e}^{x}-1} \mathrm{~d} x \quad t=\sqrt{2 \mathrm{e}^{x}-1}\)

Có sinxdx => đặt t = cosx

ví dụ: \(\int \cos ^{4} x \sin x \mathrm{~d} x\) => đặt \(t=\cos x\)

Có cosxdx => đặt t=sinx

ví dụ: \(\int \cos x \sqrt[3]{\sin x} \mathrm{~d} x\) => đặt \(t=\sin x\)

Có \(\frac{d x}{\cos ^{2} x}\) => t=tanx

ví dụ: \(\int \frac{1+\tan ^{2} x}{\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x \quad\)=> đặt \(t=\tan x\)

Có \(\frac{d x}{\sin ^{2} x}\) => đặt t=cotx

ví dụ \(\int \frac{e^{\cot x}}{2 \sin ^{2} x} d x\) = > đặt t = cotx

Hàm căn thức và lũy thừa bậc cao

a. \(\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x+1}} \mathrm{~d} x\)

b. \(\int x \sqrt[3]{x+1} \mathrm{~d} x\)

c. \(\int x^{5} \cdot \sqrt[3]{\left(1-2 x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x\)

d. \(\int \frac{(x-1)^{20}}{(x+2)^{22}} d x\)

Hàm loga và hàm mũ

a.\(\int \frac{1+\ln ^{2} x}{x} \mathrm{~d} x\)

b. \(\int \frac{\sqrt{2+\ln x} \ln x}{x} \mathrm{~d} x\)

c. \(\int \frac{1}{2 \mathrm{e}^{-x}-1} \mathrm{~d} x\)

d.\(\int \frac{\mathrm{e}^{\cot x}}{1-\cos 2 x} d x\)

Hàm lượng giác dạng( \(\left.\int \cos ^{n} x \cdot \sin ^{m} x d x\right)\)

*Ghi nhớ: 

• Nếu sin mũ kẻ thì đặt t=cos
• Nếu cos mũ lẻ thì đặt t bằng sin
• Nếu cả hai đều mũ chẵn thì hạ bậc

a.  \(\int \cos ^{6} x \cdot \sin x d x\)

b.\(\int \cos ^{3} x \cdot \sin ^{2} x d x\)

c. \(\int \cos ^{2} x \cdot \sin ^{2} x d x\)

d. \(\int \cos x \cdot \sqrt[3]{\sin x} d x\)

- Có \(a^{2}+x^{2}\) thì đặt x = \(|a| \tan t\) 

với \(t \in\left(-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right)\) hoặc \(x=|a| \cot t\) với \(t \in(0 ; \pi)\).

VD: \(\int \frac{1}{1+x^{2}}\) ta đặt x = tant hoặc a = cot t

- Có \(\sqrt{a^{2}+x^{2}}\) thì đặt \(x=|a| \tan t\) 

với \(t \in\left(-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right)\) hoặc \(x=|a| \cot t\) với \(t \in(0 ; \pi)\).

VD: \(\int \sqrt{4+x^{2}} \mathrm{~d} x\) ta đặt x=2tant hoặc x=2cot t

- Có \(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\) thì đặt \(x=|a| \sin t\) 

với \(t \in\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]\) hoặc \(x=|a| \cot t\) với \(t \in[0 ; \pi]\).

VD: \(\int \sqrt{4-x^{2}} d x\) ta đặt x=2sint hoặc 2cos t

- Có \(\sqrt{x^{2}-a^{2}}\) thì đặt \(x=\frac{|a|}{\sin t}\) 

với \(t \in\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right] \backslash\{0\}\) hoặc \(x=\frac{|a|}{\cos t}\) vơi \(t\)\([0 ; \pi] \backslash\left\{\frac{\pi}{2}\right\}\).

VD: \(\int \sqrt{x^{2}-9} \mathrm{~d} x\) ta đặt \(x=\frac{3}{\sin t}\) hoặc  \(x=\frac{3}{\cos t}\).

a/ Tìm nguyên hàm \(\int \frac{1}{x^{2}+2 x+4} d x\)

A. \(\frac{1+x}{\sqrt{3}}+C\).

B. \(\arctan (1+x) \sqrt{3}+C\).

C. \(\frac{\sqrt{3}}{3} \arctan \frac{1+x}{\sqrt{3}}+C\).

D. \(\arctan \frac{1-x}{\sqrt{3}}+C\).

GIẢI:

ta có \(\int \frac{1}{x^{2}+2 x+4} \mathrm{~d} x=\int \frac{1}{(x+1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}} \mathrm{~d} x\).

đặt x+1 = \(\sqrt{3} \tan t, t \in\left(-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right)\),

=> dx = \(\sqrt{3}\left(1+\tan ^{2} t\right)\)

khi đó ta có : 

\(\int \frac{1}{x^{2}+2 x+4} \mathrm{~d} x=\frac{\sqrt{3}}{3} \int \mathrm{d} t\)

\(\frac{\sqrt{3}}{3} t+C=\arctan \frac{1+x}{\sqrt{3}}+C\).

b/ Tìm nguyên hàm \(\int \frac{x^{3}}{1+x^{8}} d x\)

A. \(\frac{1}{4} \arctan x^{4}+C\)

B. \(\arctan x^{4}+C\).

C. \(\frac{1}{8} \arctan x^{4}+C\).

D. \(\frac{1}{2} \arctan x^{4}+C\).

giải:

ta có : \(\int \frac{x^{3}}{1+x^{8}} \mathrm{~d} x=\int \frac{x^{3}}{1+\left(x^{4}\right)^{2}} \mathrm{~d} x\).

đặt \(x^{4}=\tan t, t \in\left(-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right)\)

=> \(x^{3} \mathrm{~d} x=\frac{1}{4}\left(1+\tan ^{2} t\right) \mathrm{d} t\). 

khi đó \(\int \frac{x^{3}}{1+x^{8}} d x=\int \frac{x^{3}}{1+\left(x^{4}\right)^{2}} d x\)

= \(\frac{1}{4} \int \frac{1+\tan ^{2} t}{1+\tan ^{2} t} \mathrm{~d} t=\frac{1}{4} \int \mathrm{d} t=\frac{1}{4} t+C=\)

\(=\frac{1}{4} \arctan x^{4}+C\).

c/ Tìm nguyên hàm \(\int \frac{\cos x}{1+\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x\)

A. \(\arctan (\sin x)+C\).

B. \(\arcsin (\sin x)+C\).

C. \(2 \arctan (\sin x)+C\).

D. \(\arctan \left(\sin \frac{x}{2}\right)+C\).

giải:

đặt sinx = tan t, t \(\in\left(-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right)\)

=> cosx dx = (1+tan^2 t)

khi đó \(\int \frac{\cos x}{1+\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x=\int \frac{1+\tan ^{2} t}{1+\tan ^{2} x} \mathrm{~d} t\)

= \(\int\)dt = t+ C = arctan(sinx) + C

d/ Nếu đặt x = \(\sqrt{3}\) sint thì nguyên hàm \(\int \frac{x^{2}}{\sqrt{3-x^{2}}}\)dx trở thành

A. \(\int \sin ^{2} t \mathrm{~d} t\).

B. \(\int \cos ^{2} \mathrm{~d} t\).

C. \(3 \int \sin ^{2} t \mathrm{~d} t\).

D. \(3 \int \sin ^{2} t \mathrm{~d} x\).

giải:

x= \(\sqrt{3}\) sint

=> dx = \(\sqrt{3}\) cost dt

khi đó

 \(\int \frac{x^{2}}{\sqrt{3-x^{2}}} \mathrm{~d} x=\int \frac{3 \sin ^{2} t \cdot \sqrt{3} \cos t}{\sqrt{3} \cos t} \mathrm{~d} t=\int 3 \sin ^{2} t \mathrm{~d} t\).

e/ Nếu đặt x=2sint thì nguyên hàm \(\int \sqrt{\left(4-x^{2}\right)^{3}}\) dx trở thành

A. \(\int 4(1+\cos 2 t)^{2} \mathrm{~d} t\).

B. \(\int 4(1-\cos 2 t)^{2} \mathrm{~d} t\).

C. \(\int 4(\cos 2 t-1)^{2} \mathrm{~d} t\).

D. \(\int 4(1+\cos 2 t) \mathrm{d} t\).

giải:

đạt t =2sint

=> dx=2costdt

khi đó : \(\int \sqrt{\left(4-x^{2}\right)^{3}} \mathrm{~d} x=\int 16 \cos ^{4} t \mathrm{~d} t\)

 = \(\int 16\left(\cos ^{2} t\right)^{2} \mathrm{~d} t=\int 4(1+\cos 2 t)^{2} \mathrm{~d} t\).