Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến

Dấu hiệu để ta dùng phương pháp đổi biến loại 1:

\(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\)

=> \(x=a \sin t\), vói \(-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}\)

\(\sqrt{2 a x-x^{2}}\)

\(x-a=a \sin t\), vói \(-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}\)

\(a^{2}+x^{2}\)

x=atant với \(-\frac{\pi}{2}\lt t\lt \frac{\pi}{2}\)

\(\sqrt{x^{2}-a^{2}}\)

\(x=\frac{a}{\sin t}\) vói \(-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}\) và \(t \neq 0\)

\(\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}\) hoặc \(\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\)

x=acos2t với  \(0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}\)

\(\sqrt{(x-a)(b-x)}\)

\(x-a=(b-a) \sin ^{2} t\), vói \(0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}\)

b1. đặt  \(x=\varphi(t)\) với \(\varphi(t)\) có đạo hàm liên tục trên K, được chọn hợp lí .

b2. lấy vi phân của x theo biến số t, cụ thể là \(\mathrm{d} x=\varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t\).

b3. thay cả \(x=\varphi(t)\) lẫn \(\mathrm{d} x=\varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t\) vào \(\int f(x) \mathrm{d} x\) được bài toán mới theo t

b4. giải nguyên hàm mới: \(\int f(\varphi(t)) y^{\prime}(t) \mathrm{d} t\) 

được kết quả F(t) theo t, sau đó thay biểu thức \(x=\varphi(t)\) vào \(F(t)\)để tìm được nguyên hàm theo biến x

vd1. tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)=\(\sqrt{3-x^{2}}\)

A. \(\frac{3}{2} \arcsin \frac{x}{\sqrt{3}}+\frac{x \sqrt{1-x^{2}}}{2}+C\)

B. \(\frac{3}{2} \arcsin \frac{x}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{3}+C\).

C. \(\frac{3}{2} \arcsin x+\frac{x}{2}+C\).

D. \(\frac{3}{2} \arcsin \frac{x}{\sqrt{3}}+\frac{x \sqrt{x-2}}{2}+C\)

giải:

chọn A

Xét \(\int f(x) d x=\int \sqrt{3-x^{2}} d x\) *

Đặt x=\(\sqrt{3} \sin t \quad\left(-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}\right)\) thì \(\mathrm{d} x=\sqrt{3} \cos t \mathrm{~d} t\) và \(\cos t \geq 0\)

Thay vào *

I=\(\int \sqrt{3-3 \sin ^{2} t} \sqrt{3} \cos t \mathrm{~d} t=\int 3 \cos ^{2} t \mathrm{~d} t\)

<=> I=\(\int \frac{3(1+\cos 2 t)}{2}\)dt = \(\frac{3}{2} t+\frac{3}{4} \sin 2 t+C\)

x=\(\sqrt{3} \sin t\left(-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}\right)\)

=> \(\cos t=\sqrt{1-\sin ^{2} t}=\sqrt{\frac{3-x^{2}}{3}}\)

=> sin2t=2sintcost = \(\frac{2 x \sqrt{3-x^{2}}}{3}\)

Vậy I=\(\int f(x) \mathrm{d} x=\int \sqrt{3-x^{2}} \mathrm{~d} x\)

=\(\frac{3}{2} \arcsin \frac{x}{\sqrt{3}}+\frac{x \sqrt{1-x^{2}}}{2}+C\).

vd2. Tìm họ nguyên hàm của hàm sồ f(x)=\(\frac{1}{4+x^{2}}\)

A. \(2 \arctan 2 x+C\)

B. \(\arctan \frac{x \sqrt{3}}{2}+C\).

C. \(2 \arcsin x+C\).

D. \(\frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2}+C\)

giải:

chọn D

xét: \(\int f(x) d x=\int \frac{1}{4+x^{2}} d x\) *

đặt x=2tant \(\left(-\frac{n}{2}\lt t\lt \frac{\pi}{2}\right)\) thì \(\mathrm{d} x=2\left(1+\tan ^{2} t\right) \mathrm{d} t\).

thay vào * ta được

I=\(\int \frac{1}{4+4 \tan ^{2} t} 2 \cdot\left(1+\tan ^{2} t\right) d t\)

=\(\int \frac{1}{2} \mathrm{~d} t=\frac{1}{2} t+C\)

ta có: \(x=\sqrt{3} \sin t\left(-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}\right)\)

=> cost=\(\sqrt{1-\sin ^{2} t}=\sqrt{\frac{3-x^{2}}{3}}\)

vậy I=\(\int f(x) \mathrm{d} x=\int \frac{1}{4+x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2}+C\).

vd3. tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)\(=\sqrt{\frac{2-x}{2+x}}\)

A. \(-2 \arccos \frac{x}{2}+C\)

B. \(2 \arccos \frac{x \sqrt{4-x^{2}}}{2}+C\).

C. \(-2 \arccos \frac{x}{2}+\sqrt{4-x^{2}}+C\).

D. \(-2 \arccos \frac{x \sqrt{3}}{2}+\sqrt{4+x^{2}}+C\)

giải:

chọn C

xét họ nguyên hàm I = \(\int f(x) \mathrm{d} x=\int \sqrt{\frac{2-x}{2+x}} \mathrm{~d} x\).

đặt x = 2 cos2t \(t\left(0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}\right)\) thì dx=-4sin2t dt và  \(\sin t \geq 0 ; \cos t \geq 0\).

ngoài ra 

sin2t=\(\sqrt{1-\cos ^{2} 2 t}=\sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}}=\frac{1}{2} \sqrt{4-x^{2}}\).

như vậy

\(I=\int \sqrt{\frac{2-2 \cos 2 \mathrm{t}}{2+2 \cos 2 t}} \cdot(-4) \sin 2 t \mathrm{~d} t\)

= \(-4 \int \sqrt{\frac{\sin ^{2} t}{\cos ^{2} t}} \cdot \sin 2 t \mathrm{~d} t=-8 \int \sin ^{2} t \mathrm{~d} t\)

=> \(\int(1-\cos 2 t) \mathrm{d} t=-4 t+2 \sin 2 t+C\)

= \(-2 \arccos \frac{x}{2}+\sqrt{4-x^{2}}+C\)

Dấu hiệu để ta dùng phương pháp đổi biến loại 2 : \(\int f(t(x)) \cdot t^{\prime}(x) \mathrm{d} x\)

\(\int \frac{c x \cdot t^{\prime}(x)}{t(x)} \mathrm{d} x\)

=> biểu thức cần đặt t là biểu thức tx

\(\int f\left(e^{t(x)}\right) \cdot t^{\prime}(x) \mathrm{d} x\)

=> biểu thức cần đặt t là phần số mũ của e

\(\int f(t(x)) \cdot t^{\prime}(x) \mathrm{d} x\)

=> biểu thức cần đặt t là biểu thức chứa dấu trong dấu ngoặc

\(\int f(\sqrt[n]{t(x)}) \cdot t^{\prime}(x) \mathrm{d} x\)

=> đặt căn thức có trong dấu tích phân

\(\int f(\ln x) \cdot \frac{\mathrm{d} x}{x}\)

=> đặt biểu thức có chứa lnx nếu có \(\frac{\mathrm{d} x}{x}\) kèm theo

b1. đạt t=t(x)

hoặc đặt t=a.t(x) +b tùy vào bài cụ thể

b2. lấy vi phân của t theo x, cụ thể dt=t'(x)dx

b3. thay cả t=t(x) lẫn đt=t'(x) vào \(\int f(t(x)) \cdot t^{\prime}(x) \mathrm{d} x\).

b4. giải nguyên hàm mới \(\int f(t) d t\) ,được kết quả F(t) theo t, sau đó thay vào kết quả để tìm được nguyên hàm theo biến x

vd1. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) \(=\frac{\sin x}{1+3 \cos x}\).

A. \(-\frac{1}{3} \ln |1+3 \cos x|+C\)

B. \(1-\frac{1}{3} \ln |1+3 \cos x|+C\).

C. \(-\frac{1}{3}+\ln |3 \cos x|+C\).

D. \(3 \ln |1-3 \cos x|+C\)

giải:

chọn A

xét họ nguyên hàm I=\(=\int f(x) \mathrm{d} x=\int \frac{\sin x}{1+3 \cos x} d x\).

đặt t=1+3cosx thì dt=-3sinxdc

=>\(-\frac{1}{3}\) dt=sinxdx

như vậy I=\(-\frac{1}{3}\)\(\int \frac{d t}{t}=-\frac{1}{3} \ln |t|+C\)

=\(-\frac{1}{3} \ln |1+3 \cos x|+C\)

ta có:

\(\int \frac{\sin x}{1+3 \cos x} d x=-\frac{1}{3} \int \frac{-3 \sin x}{1+3 \cos x} d x\)

= \(-\frac{1}{3} \int \frac{d(1+3 \cos x)}{1+3 \cos x}=-\frac{1}{3} \ln |1+3 \cos x|+C\)

vd2. tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \(\frac{1}{1+e^{x}}\).

A. \(x+e^{x} \ln \left(1+e^{x}\right)+C\)

B. \(x-\ln \left(1+e^{x}\right)+C\).

C. \(e^{x}-\ln \left(1+e^{x}\right)+C\).

D. \(x+\ln \left(\frac{1+e^{x}}{1-e^{x}}\right)+C\)

giải:

chọn B

ta có

 I= \(\int f(x) \mathrm{d} x=\int \frac{1}{1+e^{x}} \mathrm{~d} x=\int\left(1-\frac{e^{x}}{1+e^{x}}\right) \mathrm{d} x=x-\int \frac{e^{x}}{1+e^{x}} \mathrm{~d} x\)

xét :\(\int \frac{e^{x}}{1+e^{x}} \mathrm{~d} x\). 

đặt \(t=1+e^{x}\) thì \(\mathrm{d} t=e^{x} \mathrm{~d} x\).

từ đó:

\(\int \frac{e^{x}}{1+e^{x}} \mathrm{~d} x=\int \frac{\mathrm{d} t}{t}=\ln |t|+C=\ln \left|1+e^{x}\right|+C=\ln \left(1+e^{x}\right)+C\)

vậy họ nguyên hàm của hàm số f(x) là

\(\int f(x) \mathrm{d} x=x-\ln \left(1+e^{x}\right)+C\)