Nguyên hàm có điều kiện

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=sinx+cosx thỏa mãn \(F\left(\frac{\pi}{2}\right)\)=2

A. \(F(x)=-\cos x+\sin x+3\)

B. \(F(x)=-\cos x+\sin x-1\).

C. \(F(x)=-\cos x+\sin x+1\).

D. \(F(x)=\cos x-\sin x+3\)

lời giải:

chọn C

Có F(x)=\(\int f(x) \mathrm{d} x=\int\)(sinx+cosx)dx= -cosx+sinx+C

Do \(F\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\cos \frac{\pi}{2}+\sin \frac{\pi}{2}\) + C = 2 

<=> 1+C=2 => C=1

=> F= -cosx+sinx+1

Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x) = \(e^{x}\) + 2x thỏa mãn F(0) = 3/2. Tìm F(x)

A. \(F(x)=e^{x}+x^{2}+\frac{1}{2}\)

B. \(F(x)=e^{2}+x^{2}+\frac{5}{2}\).

C. \(F(x)=e^{x}+x^{2}+\frac{3}{2}\).

D. \(F(x)=2 e^{x}+x^{2}-\frac{1}{2}\)

lời giải:

chọn A

ta có F(x)=\(\int\left(e^{x}+2 x\right) \mathrm{d} x=e^{x}+x^{2}+C\)

theo bài ra ta có:

F(0)=1+C=3/2

=> C=1/2 => F(x) = \(e^{x}+x^{2}+\frac{1}{2}\)

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x\(\mathrm{e}^{-x}\). Tiinhs F(x) biết F(0)=1

lời giải

chọn A

đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=x \\ \mathrm{~d} v=\mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} u=\mathrm{d} x \\ v=-\mathrm{e}^{-x} .\end{array}\right.\right.\)

do đó \(\int x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x=-x \mathrm{e}^{-x}+\int \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x\)

= \(-x \mathrm{e}^{-x}-\mathrm{e}^{-x}+C=F(x ; C)\).

F(0)=1 <=> \(-\mathrm{e}^{-0}\) + C =1 <=> C=2

Vậy F(x) = -(x+1)\(e^{-x}\) + 2

Biết F(x) là một nguyên hàm của f(x)= \(e^{2 x}\) và F(0)=0. Gía trị của F(ln3) bằng

A. \(F(\ln 3)=2\)

B. \(F(\ln 3)=6\).

C. \(F(\ln 3)=8\).

D. \(F(\ln 3)=4\)

lời giải:

chọn D

F(x)=\(\int e^{2 x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} e^{2 x}\) +C; F(0)=0

=>C=-1/2 => F(x)=1/2\(e^{2 x}\)=-1/2

Khi đó F(ln3)=1/2\(e^{2 \ln 3}\)-1/2=4

Biết F(x) là một nguyên hàm của f(x)=cos3x và F\(\left(\frac{n}{2}\right)\)= \(\frac{2}{3}\). Tính \(F\left(\frac{n}{9}\right)\)

A. \(\frac{\sqrt{3}+2}{6}\)

B. \(\frac{\sqrt{3}-2}{6}\).

C. \(\frac{-\sqrt{3}+2}{6}\).

D. \(\frac{\sqrt{3}-6}{6}\)

lời giải:

chọn C

\(\int_{\pi / 9}^{\pi / 2} \cos 3 x \mathrm{~d} x=F(\pi / 2)-F(\pi / 9)\)

<=> \(F(\pi / 9)=\int_{9 / 9}^{1 / 2} \cos 3 x \mathrm{~d} x+F(\pi / 2)\)

= \(\frac{-\sqrt{3}-2}{6}+\frac{2}{3}\).

VẬY \(F(\% / 9)=\frac{-\sqrt{3}-2}{6}+\frac{2}{3}=\frac{-\sqrt{3}+2}{6}\).

Câu 1. Cho f(x), g(x) là các hàm số xác định và liên tục trên R. Trong các công thức sau, công thức nào sai?

A. \(\int f(x) \cdot g(x) \mathrm{d} x=\int f(x) \mathrm{d} x \cdot \int g(x) \mathrm{d} x\).

B. \(\int 2 f(x) \mathrm{d} x=2 \int f(x) \mathrm{d} x\).

C. \(\int[f(x)-g(x)] \mathrm{d} x=\int f(x) \mathrm{d} x-\int g(x) \mathrm{d} x\).

D. \(\int[f(x)+g(x)] \mathrm{d} x=\int f(x) \mathrm{d} x+\int g(x) \mathrm{d} x\).

Câu 2. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=cos2x thỏa mãn F(\(\frac{\pi}{2}\)) \(=2 \pi\) là

A. \(\frac{1}{2} \sin 2 x+2 \pi\). 

B. \(x+\sin 2 x+\frac{3 \pi}{2}\).

C. \(\sin x+2 \pi\).

D. \(2 x+2 \pi\).

Câu 3. Cho hàm số f(x)=\(2 x^{3}+3\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. \(\int f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} x^{4}+3 x+C\).

B. \(\int f(x) d x=2 x^{4}+3 x+C\).

C. \(\int f(x) d x=\frac{1}{2} x^{6}+C\).

D. \(\int f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{4} x^{6}+3 x+C\).

Câu 4. Nguyên hàm của \(\int \frac{1}{2 x-1}\)dx bằng?

A. \(\ln |2 x-1|+C\).

B. \(\frac{1}{2} \ln |2 x-1|+C\).

C. \(2 \ln |2 x-1|+C\).

D. \(-2 \ln |2 x-1|+C\).

Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=\(\frac{2}{7 x-5}\) là

A. \(2 \ln |7 x-5|+C\).

B. \(\frac{2}{7} \ln |7 x-5|+C\).

C. \(\frac{1}{7} \ln |7 x-5|+C\).

D. \(-\frac{2}{7} \cdot \frac{1}{(7 x-5)^{2}}+C\).

Câu 6. Cho hàm số f(x)=\(2 x+4 x^{3}\). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A. \(\int f(x) \mathrm{d} x=3 x^{4}+x^{2}+C\).

B. \(\int f(x) \mathrm{d} x=x^{4}+x^{2}+C\).

C. \(\int f(x) \mathrm{d} x=3 x^{4}+2 x^{2}+C\).

D. \(\int f(x) \mathrm{d} x=x^{4}+2 x^{2}+C\).

Câu 7. Họ nguyên hàm của hàm số \(\frac{1}{x^{2}}-x^{2}-\frac{1}{3}\) là

A. \(\frac{-x^{4}+x^{2}+3}{3 x}+C\).

B. \(-\frac{x^{3}}{3}-\frac{1}{x}-\frac{x}{3}+C\).

C. \(-\frac{x^{3}}{3}+\frac{1}{x}-\frac{x}{3}+C\).

D. \(-\frac{2}{x^{2}}-2 x+C\).

Câu 8. Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=cos2x+3 là

A. \(-\frac{1}{2} \sin (2 x+3)+C\).

B. \(\sin (2 x+3)+C\).

C. \(\frac{1}{2} \sin (2 x+3)+C\).

D. \(-\sin (2 x+3)+C\).

Câu 9. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x)=sinx+2/x là

A. \(\cos x-\frac{2}{x^{2}}+C\).

B. \(-\cos x+2 \ln |x|+C\).

C. \(-\cos x-2 \ln |x|+C\).

D. \(\cos x+2 \ln |x|+C\).

Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=tan^2x là

A. tan x+c

B. tanx-x+c

C. x-tanx+C

D. tanx+x+C

Câu 11. Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=\(3 x^{2}-\sin x\) là

A. \(3 x^{3}-\cos x+C\).

B. \(x^{3}+\cos x+C\).

C. \(3 x^{3}+\cos x+C\).

D. \(x^{3}-\cos x+C\).

Câu 12. Nguyên hàm của hàm số f(x)=sin3x là

A. \(-\frac{\cos 3 x}{3}+C\).

B. \(\frac{\cos 3 x}{3}+C\).

D. \(-\frac{\sin 3 x}{3}+C\).

D. \(-\cos 3 x+C\).

Câu 13.Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=\(3 x^{2}+8\)sinx là

A. \(x^{3}-8 \cos x+C\).

B. \(6 x-8 \cos x+C\).

C. \(6 x+8 \cos x+C\).

D. \(x^{3}+8 \cos x+C\).

Câu 14. Cho hàm số f(x)=sin3x+1. tìm khẳng định đúng

A. \(\int f(x) \mathrm{d} x=-\frac{1}{3} \cos (3 x+1)+C\).

B. \(\int f(x) \mathrm{d} x=-3 \cos (3 x+1)+C\).

C. \(\int f(x) d x=\frac{1}{3} \cos (3 x+1)+C\).

D. \(\int f(x) \mathrm{d} x=3 \cos (3 x+1)+C\).

Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=sinxcosx là

A. 1/4 cos2x+C

B. -1/4cos2x+C

C. sin2x+C

D. -sinxcosx+C

Câu 16. Biết F(x) là một nguyên hàm của f(x)=\(\frac{1}{\sin ^{2} x}\) và đồ thị hàm số y=F(x) đi qua điểm M(pi/6;0). Tính F(pi/3)

A. \(F\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{2}{3}\).

B. \(F\left(\frac{\pi}{3}\right)=0\).

C. \(F\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{2 \sqrt{3}}{3}\).

D. \(F\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\).

Câu 17. Nguyên hàm của hàm số y=\(e^{-2 x+1}\) là

A. \(2 \mathrm{e}^{-2 x+1}+\) C.

B. \(-2 \mathrm{e}^{-2 x+1}+C\).

C. \(\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-2 x+1}+C\).

D. \(-\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-2 x+1}+C\).

Câu 18. Biết \(\int f(x) d x=e^{x}\) + sinx + C. mệnh đề nào đúng?

A. f(x)=\(e^{x}\)-sinx

B. f(x)=\(e^{x}\)-cosx

C.f(x)=\(e^{x}\)+cosx

D.f(x)=\(e^{x}\)+sinx

Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số y=\(2^{x}\)-3 là

A.\(2^{x}\)/ln2+3x+C

B. -\(2^{x}\)-3/x+C

C. \(2^{x}\)-3x+C

D. \(2^{x}\)/ln2-3x+C

Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số y=\(3^{2 x} \cdot 7^{x}\) là

A. \(63^{x} \cdot \ln 63+C\).

B. \(63^{x}+C\).

C. \(\frac{21^{1}}{\ln 21}+C\).

D. \(\frac{63^{2}}{\ln 63}+C\).

Câu 21. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x)= (2x-1)^8 là

A. \(\frac{(2 x-1)^{9}}{9}+C\).

B. \(\frac{(1-2 x)^{9}}{18}+C\).

C. \(\frac{(2 x-1)^{9}}{18}+C\).

D. \(\frac{(1-2 x)^{9}}{9}+C\).

Câu 22. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x)=\(2^{2 x} \cdot 3^{x} \cdot 7^{x}\) là

A. \(\frac{84^{x}}{\ln 84}+C\).

B. \(\frac{2^{2 x} \cdot 3^{x} \cdot 7^{x}}{\ln 4 \cdot \ln 3 \cdot \ln 7}+C\).

C. \(84^{x}+C\).

D. \(84^{x} \cdot \ln 84+C\).

Câu 23. Cho hàm số f(x)=\(2 \mathrm{e}^{2 x-1}+\frac{1}{x}\). trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. \(\int f(x) \mathrm{d} x=\mathrm{e}^{2 x-1}-\frac{1}{x^{2}}+C\).

B. \(\int f(x) \mathrm{d} x=4 \mathrm{e}^{2 x-1}-\frac{1}{x^{2}}+C\).

C. \(\int f(x) \mathrm{d} x=2 \mathrm{e}^{2 x-1}+\ln |x|+C\).

D. \(\int f(x) \mathrm{d} x=\mathrm{e}^{2 x-1}+\ln |x|+C\).

Câu 24. Cho hàm số f(x)=\(\frac{1}{3 x-2)^{3}}\). Mệnh đề nào là đúng?

A. \(\int f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{6(3 x-2)^{2}}+C\).

B. \(\int f(x) \mathrm{d} x=-\frac{1}{6(3 x-2)^{2}}+C\).

C. \(\int f(x) \mathrm{d} x=-\frac{1}{3(3 x-2)^{2}}+C\).

D. \(\int f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{3(3 x-2)^{2}}+C\).

Câu 25. Cho \(\int f(x) \mathrm{d} x=\left(x^{3}+1\right)^{3}+C\)

A. \(f(x)=3\left(x^{3}+1\right)^{2}\).

B. \(f(x)=3 x^{2}\left(x^{3}+1\right)^{2}\).

C. \(f(x)=9 x^{2}\left(x^{3}+1\right)^{2}\).

D. \(f(x)=18 x^{2}\left(x^{3}+1\right)^{2}\).

Câu 26. cho hàm số f(x) thỏa mãn f'(x)=x+sinx và f(0)=1. khi đó là hàm số f(x) là

A.. \(\frac{x^{2}}{2}\) - cosx + 2

B. . \(\frac{x^{2}}{2}\) - cosx - 2

C.  \(\frac{x^{2}}{2}\) + cosx +1/2

D. \(\frac{x^{2}}{2}\) + cosx

Câu 27. Cho hàm số f(x) thỏa mãn 2xf(x) + \(x^{2}\)f'(x)=1, \(\forall x \in \mathbb{R} \backslash\{0\}\) và \(f(1)=0\). giá trị của f(1/2) bằng?

A. -2

B. 1

C. 6

D. -1