Nền tảng nguyên hàm hữu tỉ
Mời các bạn độc giả cùng đến với một nội dung không mấy xa lạ khi làm các dạng bài tập về nguyên hàm hữu tỉ.
Mục lục bài viết
Với các dạng toán về nguyên hàm, nếu bạn cần có nền tảng về nó thì cần phải tham khảo qua bài viết về nguyên hàm hữu tỉ, một trong bài tập chứa đựng những kiến thức về hữu tỉ có gì khác với vô tỉ.
1. Tổng quát về phương pháp
Bài toán tổng quát:
Tính nguyên hàm I = với P(x) và Q(x) là các đa thức không căn
phương pháp giải:
- Nếu bậc tử lớn hơn hoặc bằng mẫu
=> dùng phương pháp chia đa thức
- Nếu bậc tử bé hơn bậc mẫu
=> xem xét mẫu và khi đó:
+ Nếu mẫu số phân tích được thành tích số, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức để đưa về dạng tổng của các phân số
Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp
\(\begin{array}{l}\frac{1}{(a x+m) \cdot(b x+n)} \\ =\frac{1}{a n-b m} \cdot\left(\frac{a}{a x+m}-\frac{b}{b x+n}\right) .\end{array}\)
- \(\frac{m x+n}{(x-a) \cdot(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}\)
= \(\frac{(A+B) \cdot x-(A b+B a)}{(x-a) \cdot(x-b)}\)
=> \(\left\{\begin{array}{l}A+B=m \\ A b+B a=-n\end{array}\right.\)
- \(\frac{1}{(x-m) \cdot\left(x^{2}+b x+c\right)}=\frac{A}{x-m}+\frac{B x+C}{a x^{2}+b x+c^{\prime}}\)
với \(\Delta=\mathrm{b}^{2}-4 \mathrm{ac}\lt 0\).
\(\frac{1}{(x-a)^{2} \cdot(x-b)^{2}}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a)^{2}}+\frac{C}{x-b}+\frac{D}{(x-b)}\)
+ Nếu mẫu số không phân tích được thành tích số (biến đổi và đưa về dạng lượng giác)
Các công thức cơ bản cần ghi nhớ
(1). \(\int \frac{1}{x+a} d x=\ln |x+a|+C\)
=> \(\int \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}=\frac{1}{\mathrm{a}} \ln |\mathrm{ax}+\mathrm{b}|+\mathrm{C}\)
(2) \(\int \frac{d x}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C\)
(3) \(\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}} d x=\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C\)
=> \(\int \frac{1}{\mathrm{u}^{2}+\mathrm{a}^{2}} \mathrm{du}=\frac{1}{\mathrm{a}} \arctan \frac{\mathrm{u}}{\mathrm{a}}+\mathrm{C}\)
2. Một số dạng nguyên hàm hữu tỉ
1. Dạng 1 (cơ bản)
\(\mathrm{I}=\int \frac{\mathrm{P}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}}{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}\)
phân tích
\(\frac{\mathrm{P}(\mathrm{x})}{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}=\mathrm{g}(\mathrm{x})+\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}\)
khi đó
\(\mathrm{I}=\int \mathrm{g}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}+\mathrm{k} \int \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}\)
2. Dạng 2
\(I=\int \frac{P(x) d x}{Q(x)}\) với \(\mathrm{Q}(\mathrm{x})=\mathrm{ax}^{3}+\mathrm{bx}{ }^{2}+\mathrm{cx}+\mathrm{d}\)
TH1:
\(\mathrm{ax}^{3}+\mathrm{bx}^{2}+\mathrm{cx}+\mathrm{d}=\mathrm{a}\left(\mathrm{x}-\mathrm{x}_{1}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{x}_{2}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{x}_{3}\right)\)
phân tích
\(\frac{\mathrm{P}(\mathrm{x})}{\mathrm{ax}^{3}+\mathrm{bx}^{2}+\mathrm{cx}+\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{x}-\mathrm{x}_{1}}+\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{x}-\mathrm{x}_{2}}+\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{x}-\mathrm{x}_{3}}\)マ
TH2:
phân tích
\(\frac{\mathrm{P}(\mathrm{x})}{\mathrm{ax}^{3}+\mathrm{bx}^{2}+\mathrm{cx}+\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{x}-\mathrm{x}_{1}}+\frac{\mathrm{Bx}+\mathrm{C}}{\left(\mathrm{x}-\mathrm{x}_{2}\right)^{2}}\)
TH3:
\(\mathrm{ax}^{3}+\mathrm{bx}^{2}+\mathrm{cx}+\mathrm{d}=\mathrm{a}\left(\mathrm{x}-\mathrm{x}_{1}\right)\left(\mathrm{mx}^{2}+\mathrm{nx}+\mathrm{p}\right)\)
trong đó \(\mathrm{mx}^{2}+\mathrm{nx}+\mathrm{p}=0\) vô nghiệm
phân tích \(\frac{\mathrm{P}(\mathrm{x})}{\mathrm{ax}^{3}+\mathrm{bx}+\mathrm{cx}+\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{x}-\mathrm{x}_{1}}+\frac{\mathrm{Bx}+\mathrm{C}}{\mathrm{mx}^{2}+\mathrm{nx}+\mathrm{p}}\)
3. Dạng 3
\(\mathrm{I}=\int \frac{\mathrm{P}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{4} \pm \mathrm{a}^{2}}\)
trong đó bậc của P(x) nhỏ hơn 4 .
TH1:
\(\mathrm{I}=\int \frac{\mathrm{P}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{4}+\mathrm{a}^{2}}\)
Phân tích
\(\frac{P(x)}{x^{4}+a^{2}}=\frac{A\left(x^{2}+a\right)+B\left(x^{2}-a\right)+C x^{3}+D x}{x^{4}+a^{2}}\)
khi đó ta có
\(I_{1}=\int \frac{x^{2}+a}{x^{4}+a^{2}} d x=\int \frac{1+\frac{a}{x^{2}}}{x^{2}+\frac{a^{2}}{x^{2}}} d x=\int \frac{d\left(x-\frac{a}{x}\right)}{\left(x-\frac{a}{x}\right)^{2}+2 a}\)
=> \(I_{1}=\int \frac{d u}{u^{2}+2 a}\)
\(I_{2}=\int \frac{x^{2}-a}{x^{4}+a^{2}} d x=\int \frac{1-\frac{a}{x^{2}}}{x^{2}+\frac{a^{2}}{x^{2}}} d x=\int \frac{d\left(x+\frac{a}{x}\right)}{\left(x+\frac{a}{x}\right)^{2}-2 a}\)
=> \(I_{2}=\int \frac{d u}{u^{2}-2 a}\)
\(I_{3}=\int \frac{x^{3} d x}{x^{4}+a^{2}}=\frac{1}{4} \int \frac{d\left(x^{4}+a^{2}\right)}{x^{4}+a^{2}}=\frac{1}{4} \ln \left|x^{4}+a^{2}\right|+C\)
\(I_{4}=\int \frac{x d x}{x^{4}+a^{2}}=\frac{1}{2} \int \frac{d\left(x^{2}\right)}{x^{4}+a^{2}} \rightarrow I_{4}=\frac{1}{2} \int \frac{d u}{u^{2}+a^{2}}\)
từ đó suy ra nguyên hàm \(I=\int \frac{P(x) d x}{x^{4}+a^{2}}\)
TH2:
\(I=\int \frac{P(x) d x}{x^{4}-a^{2}}\)
phân tích
\(\frac{\mathrm{P}(\mathrm{x})}{\mathrm{x}^{4}-\mathrm{a}^{2}}=\frac{\mathrm{Ax}^{3}+\mathrm{Bx}+\left(\mathrm{Cx}^{2}+\mathrm{D}\right)}{\mathrm{x}^{4}-\mathrm{a}^{2}}\)
khi đó xét
\(I_{1}=\int \frac{A x^{3}+B x}{x^{4}-a^{2}} d x=\frac{A}{4} \int \frac{d\left(x^{4}-a^{2}\right)}{x^{4}-a^{2}}+\frac{B}{2} \int \frac{d\left(x^{2}\right)}{x^{4}-a^{2}}\)
\(\mathrm{I}_{1}=\frac{\mathrm{A}}{4} \int \frac{\mathrm{du}}{\mathrm{u}}+\frac{\mathrm{B}}{2} \int \frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{v}^{2}-\mathrm{a}^{2}}\)
phân tích
\(I_{2}=\int \frac{C x^{2}+D}{x^{4}-a^{2}} d x=\int\left(\frac{M}{x^{2}-a}+\frac{N}{x^{2}+a}\right) d x\)
(đồng nhất tìm M, N)
3. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1
Tìm nguyên hàm của \(f(x)=\frac{1}{x^{2}+x-2}\)
giải:
Ta có
\(f(x)=\frac{1}{x^{2}+x-2}=\frac{1}{(x-1)(x+2)}\)
giải sử
\(\frac{1}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}\)
\(=\frac{A(x+2)+B(x-1)}{(x-1)(x+2)}=\frac{(A+B) x+2 A-B}{(x-1)(x+2)}\)
Đồng nhất hệ số ta có
\[\left\{\begin{array} { l } { \mathrm { A } + \mathrm { B } = 0 } \\{ 2 \mathrm { A } - \mathrm { B } = 0 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{A}=\frac{1}{3} \\\mathrm{~B}=-\frac{1}{3}\end{array}\right.\right.\]Khi đó
\(\int \frac{1}{x^{2}+x-2} d x=\frac{1}{3} \int \frac{1}{x-1} d x-\frac{1}{3} \int \frac{1}{x+2} d x\)
\[=\frac{1}{3} \ln |x-1|-\frac{1}{3} \ln |x+2|+C\]Ví dụ 2
Tìm nguyên hàm của \(\int \frac{1}{x^{2}-7 x+6} d x\)
giải:
\(\int \frac{1}{x^{2}-7 x+6} d x\) = \(\int \frac{1}{(x-1)(x-6)} d x\)
\(=\frac{1}{5} \int\left(\frac{1}{x-6}-\frac{1}{x-1}\right) d x\)
= \(\frac{1}{5}(\ln |x-6|-\ln |x-1|)+C\)
\(=\frac{1}{5} \ln \left|\frac{x-6}{x-1}\right|+C\)
Ví dụ 3
Tính nguyên hàm F(x) của hàm số
\(J=\int \frac{x^{2}+2 x+1}{x^{2}+2 x+1} d x\)
giải:
ta có \(x^{3}+2 x+1\)
= \((x+1)^{3}-3(x+1)^{2}+5(x+1)-2\)
suy ra
\(I=\int\left(x-2+\frac{5}{x+1}-\frac{2}{(x+1)^{2}}\right) d x\)
\(=\frac{x^{2}}{2}-2 x+5 \ln |x+1|+\frac{2}{x+1}+C\)
Ví dụ 4
Tính nguyên hàm F(x) của hàm số
\(\mathrm{K}=\int \frac{2 x^{2}+1}{(x+1)^{5}} d x\)
giải:
ta phân tích
\(2 x^{2}+1=2(x+1)^{2}-4(x+1)+3\)
suy ra
\(K=\int\left(\frac{2}{(x+1)^{3}}-\frac{4}{(x+1)^{4}}+\frac{3}{(x+1)^{5}}\right) d x\)
\(=-\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{4}{3(x+1)^{3}}-\frac{3}{4(x+1)^{4}}+C\)
Ví dụ 5
Tính nguyên hàm của hàm số sau
\(\mathrm{J}=\int \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}^{6}+1\right)^{2}}\)
giải:
ta phân tích
\(2 x^{2}+1=2(x+1)^{2}-4(x+1)+3\)
suy ra
\(K=\int\left(\frac{2}{(x+1)^{3}}-\frac{4}{(x+1)^{4}}+\frac{3}{(x+1)^{5}}\right) d x\)
\[=-\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{4}{3(x+1)^{3}}-\frac{3}{4(x+1)^{4}}+C .\]Học và ôn luyện với Examon
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình.
Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề củaExamon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bưởc 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bưởc 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một để thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát \(99.9 \%\) đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!