5 phút nhớ cấp số cộng, cấp số nhân

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi \(d\) - công sai.

Đặc biệt, khi \(d=0\) thì CSC là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

\(\left(u_{n}\right)\) là một CSC, công thức truy hồi

Nếu CSC \(\left(u_{n}\right)\) có số hạng đầu \(u_{1}\) và công sai \(d\) thì số hạng tổng quát: \(u_{n}=u_{1}+(n-1) d, \forall n \geq 2\) 

CSC \(\left(u_{n}\right)\), mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng dứng kề với nó, nghĩa là \(u_{k}=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\) với \(k \geq 2\).

Tổng quát: Nếu \(\left(u_{n}\right)\) là CSC thì: \(u_{p}=\frac{u_{p-k}+u_{p+k}}{2}, 1 \leq k\lt p\)

CSC \(\left(u_{n}\right)\) có số hạng đầu \(u_{1}\) và công sai \(d\). 

Đặt \(S_{n}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}\) .Khi đó:

hoặc \(S_{n}=n u_{1}+\frac{n(n-1) d}{2}\) 

Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi \(q\).

Số \(q\) là công bội.

Nếu \(\left(u_{n}\right)\) là CSN với công bội \(q\), ta có công thức truy hồi: 

\(u_{n+1}=u_{n} q\) với \(n \in \mathbb{N}^{*}\).

Đặc biệt:

- Khi \(q=0\), CSN có dạng \(u_{1}, 0,0, \ldots, 0, \ldots\)

- Khi \(q=1\), CSN có dạng \(u_{1}, u_{1}, u_{1}, \ldots, u_{1}, \ldots\)

- Khi \(u_{1}=0\) thì với mọi \(q\), CSN có dạng \(0,0,0, \ldots, 0, \ldots\)

CSN có số hạng đầu \(u_{1}\) và công bội \(q\) thì số hạng tổng quát:

\(u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1}\) với  \(n \geq 2 \text {. }\)

Trong 1 CSN, bình phương của mỗi số hạng đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó:

\(u_{k}^{2}=u_{k-1} \cdot u_{k+1}\) với  \(k \geq 2 \text {. }\)

CSN \(\left(u_{n}\right)\) với công bội \(q \neq 1\). 

Đặt \(S_{n}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}\).

Khi đó \(S_{n}=\frac{u_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}\).

Chú ý: Nếu \(q=1\) thì CSN là \(u_{1}, u_{1}, u_{1}, \ldots, u_{1}, \ldots\) khi đó \(S_{n}=n u_{1}\).

Cho cấp số cộng \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_{5}=-15, u_{20}=60\). Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

Lời giải

Gọi \(u_{1}, d\) lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.

Ta có: \(\left\{\begin{array}{l}u_{5}=-15 \\ u_{20}=60\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u_{1}+4 d=-15 \\ u_{1}+19 d=60\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u_{1}=-35 \\ d=5\end{array}\right.\right.\right.\).

Vậy \(S_{10}=\frac{10}{2} \cdot\left(2 u_{1}+9 d\right)=5 \cdot[2 \cdot(-35)+9 \cdot 5]=-125\).

Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_{1}=3\), công bội \(q=2\). Ta có \(u_{5}\) bằng

A. 24 .

B. 11 .

C. 48 .

D. 9 .

Lời giải

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: \(u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1}\). Vậy\(u_{5}=3.2^{4}=48\).